突破2021中考數(shù)學(xué)壓軸題培優(yōu)《03 二次函數(shù)與相似問題》(江蘇專版)（解析版）

專題03二次函數(shù)與相似問題

【真題再現(xiàn)】

1.（2019年鎮(zhèn)江第27題）如圖，二次函數(shù)y=-f+4x+5圖象的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸是直線I,一次函數(shù)）=|x+l

的圖象與x軸交于點(diǎn)4,且與直線DA關(guān)于/的對(duì)稱直線交于點(diǎn)B.

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)是（2,9）；

（2）直線/與直線48交于點(diǎn)C,N是線段0c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。、C重合），點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為〃.過點(diǎn)

N作直線與線段04、分別交于點(diǎn)P、Q,使得△OP。與△D4B相似.

①當(dāng)”=期時(shí)，求OP的長；

9

②若對(duì)于每一個(gè)確定的〃的值，有且只有一個(gè)△OP。與aDAB相似，請(qǐng)直接寫出〃的取值范圍

21

【分析】（1）直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；

9r13

（2）由對(duì)稱軸可知點(diǎn)C（2,-）,A（-小0）,點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（三~,0）,借助AQ的直線解

5/2

析式求得8（5,3）；①當(dāng)〃=暫時(shí)，N（2,y）,可求D4=竽，DN=CD=磬當(dāng)尸?！?8時(shí)，△

QQ

DPQ^/^DAB,DP=DP=^V5；當(dāng)P。與A8不平行時(shí)，DP=1V5,；②當(dāng)PQ〃A8,OB=O尸時(shí)，DB

=3甚,￡W=普，所以N（2,—）,則有且只有一個(gè)△OPQ與△D48相似時(shí)，-<n<―

5b

【解析】（1）頂點(diǎn)為O（2,9）；

故答案為（2,9）；

（2）對(duì)稱軸x=2,

9

：.C(2,一)，

5

由已知可求A(-1,0),

13

點(diǎn)A關(guān)于x=2對(duì)稱點(diǎn)為(丁，0)，

則A。關(guān)于工=2對(duì)稱的直線為y=-21+13,

：.B(5,3),

①當(dāng)〃=暫時(shí)，N(2,Y),

.八人9二a18二八36

..DA=DN=虧，CD=-y

當(dāng)戶?！ˋ3時(shí)，ADPQsRDAB,

VADAC^ADPA^,

.DPDN

DADC

/.DP=3小;

當(dāng)PQ與48不平行時(shí)，△OPQSADBA,

：./\DNQ^/\DCA,

.DPDN

??~~~~=~~~,

DBDC

：.DP=|3Vr5-；

綜上所述，DP=|>/5,DP=1A/5；

②當(dāng)PQ〃AB,DB=DPV^,

DB=3層,

.DPDN_

?■~~,~?

DADC

24

:?DN=g

21

:.N(2,—),

5

991

...有且只有一個(gè)△OP。與△D48相似時(shí)，-V〃V等;

55

故答案為，V?V告；

53

點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2018年揚(yáng)州第28題）如圖1,四邊形OA8C是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,6）,

點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)，沿AB以每秒

2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

（1）當(dāng)f=2時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為§2）；

（2）當(dāng)△CBQ與△以。相似時(shí)，求f的值；

（3）當(dāng)f=1時(shí)，拋物線y=/+fcv+c經(jīng)過P,。兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M,拋物線的頂點(diǎn)為K,如圖2所

示，問該拋物線上是否存在點(diǎn)。，使若存在，求出所有滿足條件的。的坐標(biāo)；若不

存在，說明理由.

【分析】（1）先根據(jù)時(shí)間r=2,和P,Q的運(yùn)動(dòng)速度可得動(dòng)點(diǎn)P和。的路程OP和AQ的長，再根據(jù)中

點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得：ZB=ZPAQ=90°,所以當(dāng)△CBQ與△B4Q相似時(shí)，存在兩種情況：

P40BPABC

①當(dāng)△%QS/\QBC時(shí)，—=②當(dāng)△鞏時(shí)，—=分別列方程可得，的值；

（3）根據(jù)f=l求拋物線的解析式，根據(jù)Q（3,2）,M（0,2）,可得MQ〃x軸，則KM=KQ,KE1.

MQ,畫出符合條件的點(diǎn)證明△KEQS^QA/H或利用三角函數(shù)，列比例式可得點(diǎn)。的坐標(biāo)，同理根

據(jù)對(duì)稱可得另一個(gè)點(diǎn)D.

【解析】（1）如圖1,：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,

，OA=3,

當(dāng)r=2時(shí)，OP=t=2,4。=2r=4,

：.P（2,0）,Q（3,4）,

2+30+45

二線段P。的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（~y-，石一），即2）；

故答案為：（|，2）；

(2)如圖1,?.?當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，且△以?？梢詷?gòu)成三角形,

.\0</<3,

???四邊形OABC是矩形,

：.ZB=ZPAQ=90a

...當(dāng)△CB。與△B4Q相似時(shí)，存在兩種情況:

,PAQB

①當(dāng)△出Qs408C時(shí)，-=—，

.3-t6-2t

?.=,

2t3

4?-15什9=0,

53）T=0,

o

n=3（舍），及=14,

,PABC

②當(dāng)△出0s△CBQ時(shí)，—=—,

3-t3

2t-6-2t

r-%+9=0,

9±3石

9+3V5

,:----->3,

2

；.仁2±筍不符合題意，舍去，

39-3V5

綜上所述，當(dāng)△CB。與△物。相似時(shí)，r的值是［或一會(huì)；

(3)當(dāng)f=l時(shí)，P(1,0),Q(3,2),

把P(1,0),Q(3,2)代入拋物線y=f+fex+c中得：

0+b+c=O解得.僅=.3,

(9+3b+c=2帆付,tc=2

.?.拋物線：y=/-3x+2=(x-|)2-1,

頂點(diǎn)k(-,—.),

'：Q(3,2),M(0,2),

；.MQ〃x軸，

作拋物線對(duì)稱軸，交M。于￡,設(shè)。。交y軸于H,

:,KM=KQ,KElMQf

：.NMKE=ZQKE=寺NMKQ,

如圖2,/MQD=RMKQ=NQKE,

3

?MH5

即---=----r,MH=2,

32+-

4

：.H(0,4),

易得HQ的解析式為：尸一|x+4,

2

則丫=一尹+4,

y=x2-3%4-2

2

x9-3"2=一亨+4,

解得：XI=3(舍)，X2=-|.

同理，在M的下方，)，軸上存在點(diǎn)，，如圖3,使/HQW=*/MKQ=NQKE,

由對(duì)稱性得：H(0,0),

易得。。的解析式：)，=會(huì)?,

則卜=|x，

,y=x2—3x+2

7-3x+2=

解得：Xl=3（舍），X2=

74024

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為：D(-,-一)或(一，

3939

點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，三角

形和四邊形的面積，二次函數(shù)的最值問題的應(yīng)用，函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，本題比較復(fù)雜，注意用f表示出

線段長度，再利用相似即可找到線段之間的關(guān)系，代入可解決問題.

3.(2018年鎮(zhèn)江第27題)如圖，二次函數(shù)y=7-3x的圖象經(jīng)過O(0,0),A(4,4),B(3,0)三點(diǎn)，

以點(diǎn)。為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得到△OA'B',二次函數(shù))，=??+法+,

(。#0)的圖象經(jīng)過。，A',B'三點(diǎn).

(1)畫出△OA'B',試求二次函數(shù)y=ox2+fcc+c(oWO)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P(??7,n)在二次函數(shù)-3x的圖象上，相W0,直線OP與二次函數(shù)(a￥0)

的圖象交于點(diǎn)Q(異于點(diǎn)O).

①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(橫、縱坐標(biāo)均用含機(jī)的代數(shù)式表示)

②連接AP,若2Ap＞。。，求，"的取值范圍；

③當(dāng)點(diǎn)。在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)。作QQ'平行于x軸，與二次函數(shù)y=a/+6x+c(a#0)的圖象交于另

一點(diǎn)、Q：與二次函數(shù)y=7-3x的圖象交于點(diǎn)M,N(M在N的左側(cè))，直線OQ'與二次函數(shù)y=/

-3x的圖象交于點(diǎn)P.△g，P'Ms△。9N,則線段NO的長度等于6.

>'A

【分析】(1)由位似求出4'、B'坐標(biāo)，代入解析式即可；

(2)①用m表示P的坐標(biāo)及0P解析式，用m表示0P與拋物線交點(diǎn)。的坐標(biāo)，表示用m表示AP.

0Q,代入2Ap＞。。，求出桁范圍；

②用表示Q。'解析式，得到P坐標(biāo)，求出M、N坐標(biāo)，應(yīng)用P'MSAQB，N構(gòu)造方程求

OAiOB，

【解析】(1)由以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△0A8按相似比2：1放大，得=

VA(4,4),B(3,0)

(8,8),B'(6,0)

將O(0,0),A'(8,8),B'(6,0)KAy^a^+bx+c

(c=0

得，36a+6b=0

(64a+8b=0

解得［：三3

二次函數(shù)的解析式為y=Jr2-3x；

(2)①..?點(diǎn)P在y=f-3x的圖象上，

?

??n=m2-3rm,

:?P(m,/n2-3m),

設(shè)直線O尸的解析式為丁=履

將點(diǎn)P代入，得〃戊=加2-3"7,解得攵="?-3,

OP：y=(m-3)x

,:直線OP與y=32-3%交于點(diǎn)Q

.".^x2-3x=(tn-3)x,解得xi=O(舍)，X2=2m,

Q(2/n,2nr-6m)

②?"("?，n)在二次函數(shù)y=/-3x的圖象上

n=m2-3m

/.P("?,m2-3m)

設(shè)直線OP的解析式為y=去，將點(diǎn)尸(a,m2-3/n)代入函數(shù)解析式，

得mk=n?-3ni

:.k=tn-3

???OP的解析是為尸(/H-3)x

<?*OP與~3x交于Q點(diǎn)

y=(m—3)x

y=12—3□x

解得｛；:；(不符合題意舍去)｛；二葬2一6小

(2加，2w2-6m)過點(diǎn)尸作PC_Lx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)Q作。。_Lx軸于點(diǎn)￡>

22

則。。=|刑，PC=|m-3m\fOD=\2m\900=|2-6m\

■3OQ

*.*—=—=2

OCOP

???△OCPs/xo。。

:.0Q=20P

'：2AP>0Q

：.2AP>2OP,BPAP>OP

yjfjn—4)2+(m2—3m—4)2>yjm2+(m2—3m)2

化簡，得，/一2,”-4V0,解得1一祈<?7<1+有，且mWO；

③尸(m,，/-3，〃)，Q(2m,2m2-6m)

..?點(diǎn)。在第一象限，

(2m>0

解得＞

127n2-6m>03

由Q(2〃?，2m2-6/n),得QQ'的表達(dá)式是y=2m2-6"?

QQ'交y=p-3x交于點(diǎn)Q'

(12Q

\y=2^-3x

(y=2m2—6m

解瞰二舞-6儲(chǔ)不符合題意，舍)[y=2m"-6m

?，?0(6-2m,2m2-6m)

設(shè)O。'的解析是為y=—(6-2/w)k=2億-6m

解得k=-m,OQ'的解析式為y=-m

???OQ'與y=/-3x交于點(diǎn)P

；?--3x

解得xi=0(舍)，X2=3-m

:.P'(3-"z,m2-3m)

I。。'與y=x2-3x交于點(diǎn)P

-mx=j?-3x

解得xi=0(舍去)，X2=3-m

:.P'(3-/??,ni2-3m)

VQQf與y=7-3x交于點(diǎn)M、N

-3x=2/n2-6m

KF34-J87n2-24m+93—J8m2-24m4-9

解得xi=——------2-----------，工2=——------2-----------

??，M在N左側(cè)

3+x/8m2-24?n+9,

：.M(------------------------,2m2-6w)

2

3—，87n2—24?n+9

N(------------------------,2nor-6m)

2

VAQ,P'MS/\QB'N

.P，Q，QM

**QBf一QN

..(P，Q、2_(3_zn)2+(m2_3m)2_1

QB(2?n-6)24-(2m2—6m)2，

即3-V8m2-24?n+9-(6-2m)1

r3+j8?n2247n+92

2m--------------------

2

化簡得nr-12m+27=0

解得：/Ml=3(舍)，團(tuán)2=9

：.N(12,108),Q(18,108)

:.QN=6.

故答案為：6.

點(diǎn)睛：本題二次函數(shù)背景的代數(shù)幾何綜合題，綜合考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)，應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4.(2018年連云港第26題)如圖1,圖形A8CD是由兩個(gè)二次函數(shù)與*=a?+b(a>0)

的部分圖象圍成的封閉圖形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,-3).

(1)直接寫出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)判斷圖形ABC。是否存在內(nèi)接正方形(正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上)，并說明理由；

(3)如圖2,連接BC,CD,AD,在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△BOC與△ADE相似(其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)

應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn)E的坐標(biāo)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;

(2)先確定出(1-w2)-(3m2-3)=4-4"P,進(jìn)而建立方程2m=4-4,/,即可得出結(jié)論；

(3)先利用勾股定理求出40=VTU,同理：8=同，BC=y[2,再分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)時(shí)，得出篝=器，進(jìn)而求出DE=|,即可得出E(0,-1),

DEDFEPQ；i.Q

再判斷出得出57=-=求出。尸=一廠，EF=再用面積法求出EM-

即可得出結(jié)論；

DBDCq

②如圖2,當(dāng)時(shí)，得出詬二族，求出4氏=熱

當(dāng)E在直線AD左側(cè)時(shí)，先利用勾股定理求出PA=荔PO=1進(jìn)而得出PE=f,再判斷出絲=空即

336pg0Q

可得出點(diǎn)E坐標(biāo)，當(dāng)E在宜線D4右側(cè)時(shí)，即可得出結(jié)論.

【解析】(1)I?點(diǎn)4(1,0),B(0,1)在二次函數(shù)yi=fcv2+m(&<0)的圖象上，

.心+TH=0

**tm=1

v，

，二次函數(shù)解析式為yi=-7+1,

??,點(diǎn)A(1,0),D(0,-3)在二次函數(shù)”=蘇+力(?>0)的圖象上，

?[Q+b=0

,*U=-3'

.fa=3

?，U=-3，

工二次函數(shù)”=3/-3；

(2)設(shè)M-病+])為第一象限內(nèi)的圖形A3CO上一點(diǎn)，M(爪3病-3)為第四象限的圖形上一

點(diǎn)，

：?MM=(1-w2)-(3m2-3)=4-4n?2,

由拋物線的對(duì)稱性知，若有內(nèi)接正方形，

/.2w=4-4加~,

.-1+717辭一1-/17/仝、

..in=或m=-------(舍),

?；0〈二號(hào)K<i,

4

...存在內(nèi)接正方形，此時(shí)其邊長為-1+0工

2

(3)在RtZ\AOO中，。4=1,00=3,

：.AD=>JOA2+OD2=V10,

同理：CD^V10,

在RtZ\BOC中，O8=OC=1,

Z.BC=y/OC2+OB2=V2,

①如圖1,當(dāng)△DBCs/XDAE時(shí)，

"：ZCDB^ZADO,

...在y軸上存在E,由整=器，

DADE

._4___V10

工局二~DE'

.,.D￡=|.

■：D(0,-3),

1、

?**E(0,-2

由對(duì)稱性知，在直線OA右側(cè)還存在?點(diǎn)E使得△OBCS^QAE,

連接EE交D4于/點(diǎn)，作EM_LO。于M,連接EQ,

VE,￡關(guān)于DA對(duì)稱，

???。尸垂直平分線EE,

:,叢DEFSRDAO,

?DEDFEF

DA~DO~AOf

EF

工?2局A=~竺=~9

.?3v'T0??vTO

?■DnF=-4->EF=—,

115

■:SgEU=沙E?EM=EFXDF=號(hào)，

3

???EM=1,

；￡>E=￡)E=|,

在RtZ\OEM中，DM=y/DE'2-E'M2=2,

0M=I,

._4___V10

'而=~AE

：.AE=I，

當(dāng)E在宜線AC左側(cè)時(shí)，設(shè)AE交y軸于P,作EQLAC于

NBDC=ADAEVAODA,

：.PD=PA,

設(shè)PD=n,

.'.PO=3-77,PA=n,

222

在RtZ\4O2中，PA=OA+OPf

/?=(3-n)2+l,

5

H=-

3‘

54

尸

為=--

33

5

A化--

2

在AE。中，。尸〃E。，

APAO

?a?—，

PEOQ

?，.0Q另，

..OP_竺，

'PE~AE~39

：.QE=2,

1

：.E-2）,

當(dāng)E在直線DA右側(cè)時(shí)，

根據(jù)勾股定理得，AE=心根+QE2=|,

.?.A￡=|

?：4DAE=/BDC,/BDC=NBDA,

:,NBDA=/DAE,

:.AE//OD,

E（11-搟），

綜上，使得△8。。與△ADE相似（其中點(diǎn)C與E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)）的點(diǎn)E的坐標(biāo)有4個(gè)，

13耳1

即：（0,-4）或（-,-1）或（1,-^）或（-4.-2）.

2222

點(diǎn)睛：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查/待定系數(shù)法，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)稱性，

正確作出輔助線和用分類討論的思想是解本題的關(guān)鍵.

5.（2018年宿遷第27題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=（x-a）（%-3）（0<a<3）的圖象與

x軸交于點(diǎn)4、B（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)。，過其頂點(diǎn)C作直線CPLx軸，垂足為點(diǎn)P,

連接A。、BC.

（1）求點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)；

（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；

（3）點(diǎn)。、。、C、B能否在同一個(gè)圓上？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可以直接得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0,即可求得點(diǎn)。的縱

坐標(biāo);

（2）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，易得線段尸8、尸C的長度:

①若△AOQSABPC時(shí)，則非=當(dāng)，將相關(guān)線段的長度代入求得。的值;

②若時(shí)，則黑=器，將相關(guān)線段的長度代入求得a的值;

CPPB

33

⑶能.理由如下：聯(lián)結(jié)Q取中點(diǎn)例，則以。、8在同一個(gè)圓上，且圓心M為（?-?）.若點(diǎn)C

也在圓上，則MC=”從根據(jù)兩點(diǎn)間的坐標(biāo)求得相關(guān)線段的長度，借助于方程解答即可.

【解析】(1)；y=(x-tz)(x-3)(0<a<3),

(a,0),B(3,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a,

：.D(0,3a)；

(2)VA(a,0),B(3,0),

對(duì)稱軸直線方程為：尤=受.

當(dāng)為=竽時(shí)，y=-（辭）2,

3+Q3-CL)

：.C(——，-(——)l2),

22

3+a3-CL、

PB=3一半，PC=(——)2,

22

Lr/ODOma3a

①若△AOQS/\BPC時(shí)，則荔=”，即。3+a=■=&支

DrCr產(chǎn)

3----2--(----I---2--，

解得〃=0或。=±3（舍去）;

…AODOa3a

②若△AOQSACPB時(shí)，則下=而，即.

I22

解得a=3(舍去)或”=孑

7

所以a的值是3

(3)能.理由如下:

聯(lián)結(jié)8。，取中點(diǎn)例

33

???。、0、8在同一個(gè)圓上，且圓心M為(一，一〃)?

22

?33+u33—33\

若點(diǎn)。也在圓上，則即(--——)2o+(一〃+(——)2)2=(--3)29+(-6/-0)2

222222

整理，得

a4-14/+45=0,

所以(a2-5)(a2-9)=0,

解得m=遍，a2=-V5(舍)，々3=3(舍)，〃4=-3(舍)，

...〃=V5.

點(diǎn)睛：考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，拋物線對(duì)稱軸的求法，相似三角

形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，方程思想的應(yīng)用.解題時(shí)，注意“分類討論”、“方程思想”等數(shù)學(xué)思想

的應(yīng)用，難度較大.

【專項(xiàng)突破】

【題組一】

1.(2019秋?江陰市期末)如圖，己知二次函數(shù)y=x2-2x+〃?的圖象與x軸交于點(diǎn)A、8,與y軸交于點(diǎn)C,

直線4c交二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸于點(diǎn)D,若點(diǎn)C為A。的中點(diǎn).

(1)求加的值;

(2)若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)Q,使得tan/ABQ=3,求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)對(duì)于(2)中的。點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得△QBPSACQA?若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=l,點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A(-1,0),即可求解;

(2)lan/ABQ=3,點(diǎn)8(3,0),則4。所在的直線為：y=±3x(x-30),即可求解；

(3)分點(diǎn)。(2,-3)、點(diǎn)。(-4,21)兩種情況，分別求解即可.

【解析】(1)設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,直線AC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)

函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=l,點(diǎn)C為AQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)4(-1,0),

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：加=-3,

故拋物線的表達(dá)式為：y=/-2r-3…①；

(2)tanNA8Q=3,點(diǎn)B(3,0),

則AQ所在的直線為：y=±3(x-3)…②，

聯(lián)立①②并解得：x=-4或3(舍去)或2,

故點(diǎn)。(-4,21)或(2,-3)；

(3)不存在，理由;

△QBPs^coa,則/。8P=90°

①當(dāng)點(diǎn)。（2,-3）時(shí)，

則8P的表達(dá)式為：y=—（x-3）…③，

聯(lián)立①③并解得：x=3（舍去）或一宗故點(diǎn)P（一宗蔡），

此時(shí)8P：PQ^OA：AC,故點(diǎn)P不存在；

②當(dāng)點(diǎn)。（-4,21）時(shí)，

711

同理可得：點(diǎn)P（—?—）,

39

此時(shí)BP：PQ^OA-.OB,故點(diǎn)P不存在；

綜上，點(diǎn)尸不存在.

2.（2019秋?張家港市期末）如圖，拋物線）=〃（x-1）（x-3）（a>0）與x軸交于A,B兩點(diǎn)，拋物線上

另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCAs^OBC.

（1）求線段OC的長度；

（2）設(shè)直線BC與）,軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)C是8。的中點(diǎn)時(shí)，求直線8。和拋物線的解析式，

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)尸是直線3c下方拋物線上的一點(diǎn)，過P作PELBC于點(diǎn)E,作P尸〃AB交

BD于點(diǎn)、F,是否存在一點(diǎn)尸，使得PE+PF最大，若存在，請(qǐng)求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）解方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)、點(diǎn)8的坐標(biāo)，得到OA=1,。8=3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出

比例式，求出OC；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出8。，根據(jù)勾股定理求出。。，利用待定系數(shù)法求出宜線8。的解析式,

根據(jù)中點(diǎn)的概念求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）作PG_L08交8力/G,根據(jù)正切的定義得到/。8。=30°,用PG分別表示出PE、PF,根據(jù)題

意列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【解析】（1）a（x-1）（x-3）=0,

Xl=l,X2=3,

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）,

：.OA=]f08=3,

,:△OCAS^OBC,

—OA=—OC,B口P「—1=—OC,

OCOBOC3

解得，OC=遮：

(2)在RtZXB。。中，點(diǎn)C是BO的中點(diǎn),

：.BD=2OC=2y[3,

由勾股定理得，?！?gt;=>JBD2-OB2=J(2V3)2-32=回

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-V3)

設(shè)直線8。的解析式為：y^kx+b,

(,_>/3

解得，『=丁，

b=—V3

則直線8。的解析式為：尸等-百，

:點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-怖)，點(diǎn)C是8。的中點(diǎn),

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(|,一坐)，

:=a(—―1)(—―3),

222

解得，a=|V3,

二拋物線的解析式：(x-1)(%-3).即)=?V5X+2V5；

(3)作PGLOB交BD于G,

tanZOBD=OF=T,

：.ZOBD=30°,

YPFI/AB,

：.ZPFG=ZOBD=m0,

：.PF=陋PG,

'：PE±BC,PFIPG,

：.ZEPG=ZPFG=30°,

:.PE=gpG,

：.PE+PF=6PG+乎PG=等PG,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(〃?，,>/4〃尸—\百，〃+26)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，"，-^-m—y/3'),

在2

28

---

333

=-gV3W?2+3V3/??-3-\/3

:,PE+PF=挈PG

2

2727

丁2

9227

-+--

416

3.(2020?山西模擬)如圖，二次函數(shù)y=0.5/+6x+c的圖象過點(diǎn)B(0,1)和C(4,3)兩點(diǎn)，與x軸交于

點(diǎn)。、點(diǎn)E,過點(diǎn)8和點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)A.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，存在點(diǎn)尸使△PBC是直角三角形，請(qǐng)你求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在x軸上沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。也從A點(diǎn)

出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，是否存在以4、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似？若

存在，直接寫出〃的值；若不存在，說明理由.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為(x,0),根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可求BC,BP,CP的長度，根據(jù)勾股定理可列方程可求

x的值，即可求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(3)根據(jù)題意可求點(diǎn)A,點(diǎn)。坐標(biāo)，即可求A8,AD的長，由以4、P、。為頂點(diǎn)的三角形與相

似，可分兩種情況討論可求〃的值.

【解析】(1)?.?二次函數(shù)y=0.5，+6x+c的圖象過點(diǎn)8(0,I)和C(4,3)兩點(diǎn)

.(1=c

??〔3=8+4b+c

解得：b=c=\

.??拋物線解析式產(chǎn)旨―|x+l

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,0)

?點(diǎn)P(x,0),點(diǎn)8(0,1),點(diǎn)C(4,3)

：.PB=J(m—0)2+(0-1)2=Vm2+1

CP=V(4-x)2+(3-0)2=y/x2-8x+25

BC=7(4-0)2+(3-1)2=2V5

若/8CP=90°,則BP2=BC1+CP2.

；./+l=20+/-8x+25

.11

-x=~2

若NCBP=90°,則CP2=BC2+BP2.

.?./+1+20=?-8x+25

.1

■'x=2

若/8PC=90。，貝ijBd=Bh+C產(chǎn).

/+1+X2-8x+25=20

?—■1iX2~3

綜上所述：點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,0),(3,0),(-,0),(―,0)

22

(3)存在

?.?拋物線解析式y(tǒng)="-頭+1與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

>?0—7I一引"+1

??.點(diǎn)。(1,0)

?:點(diǎn)B(0,1),C(4,3)

?二直線BC解析式產(chǎn)親+1

-2

當(dāng)y=0時(shí)，X--2

.?.點(diǎn)A(-2,0)

?點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)D(1,0)

：.AD=3,AB=y15

設(shè)經(jīng)過f秒

.,.AP=2t,AQ=at

若△APQS"￡>8

APAD

AQ-AB

若△"—△ABD

APAB

AQAD

綜上所述：a=竽或^

4.(2019?建昌縣一模)如圖，二次函數(shù)^=一W/+桁+°與x軸交于點(diǎn)4(-2,0)、與y軸交于點(diǎn)C(0,

4),過點(diǎn)A的直線)=》+1與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B,0是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式并直接寫出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是線段A8上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABP的面積最大，最

大面積是多少？

(3)如圖2,設(shè)直線48與y軸交于點(diǎn)E.點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)4、8重合)，當(dāng)△〃口7

與△40E相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可以得到頂點(diǎn)。的坐

標(biāo)；

(2)設(shè)與直線尸方+1平行且相切的直線為PQy=；x+6,則點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)所求三角形面枳最大；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)CM〃x軸時(shí)，△MEC與△AOE相似，當(dāng)CM'1MB時(shí)，與△AOE相

似，

【解析】(1)???二次函數(shù)》=一;/+以+c與*軸交于點(diǎn)A(-2,0)、與y軸交于點(diǎn)C(0,4),

gx(-2)2-2b+c=0,解得

19

，拋物線的解析式為：y=-1x2+x+4,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-).

(2)設(shè)與直線y=%+l平行且相切的直線為PQ

y=%+從。為P。與x軸交點(diǎn)，H為PQ與y軸交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AGLPQ于點(diǎn)G,則當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí),

△ABP的面積最大，

-2%2+x+4=2太+。，

化簡得：x2-x+2h-8=0,

.*.△=1-4(2/7-8)=0,

,.33

?，?/-x+2x竿—8=0

,1

..X1=X2=于

135

，點(diǎn)P坐標(biāo)為(二，—).

28

尸。解析式為：)=%+等，

Q(—不，0),又。=-g~,

?"。=等25。。=洋33

33

tanZG(2A=裊=于

.??sin/GQA=的==專，

T

?廠」5花

??GA=-4-，

y=一鼻2+%+4

11解得加=-2,%2=3,

{y=>+i

?M(3,|),AB=J[3-(-2)P+(1-0)2=

.?115店575125

??SAABP=X4BXGA—亍x—5—x―：—=?1公

ZLL4-iO

A(-2,0)、C(0,4),

.OE1

?*=1,

OA2

當(dāng)CM〃x軸時(shí)，△〃￡1，與△AOE相似，由。。=4,OE=}f可得CE=3,

??.CM=6,即點(diǎn)M橫坐標(biāo)為6,代入）=%+1得y=3,

：.M(6,4)；

當(dāng)CM'_LAB時(shí)，△MEC與△AOE相似，由竺=工，CE=3可得CM'=誓，EM'=婆,

OA255

由面積法可得M'k|,

【題組二】

5.(2019?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)丫=0?+公+0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),

C(0,-6),其對(duì)稱軸為直線x=2.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)若直線y=-發(fā)+機(jī)將△AOC的面積分成相等的兩部分，求m的值；

(3)點(diǎn)B是該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)。是直線x=2上位于x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是第

四象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線x=2右側(cè).若以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的△BE。與△4OC相

似，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【分析】(1)把點(diǎn)A、C坐標(biāo)及對(duì)稱軸x=2代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解：

1113

(2)求出直線產(chǎn)一打+加與y軸的交點(diǎn)為(0,機(jī))，由S^AOC=^x2x6=6,-x-(m+6)(m+6)=3,

,428

即可求解;

(3)分△QEOs/XAOC、△8E￡>SZ\AOC兩種情況，分別求解即可.

4a—2b+c=0f_1

c=-6,解得：

{-五=2(=-6

故拋物線的表達(dá)式為：)，=p-2x-6,

同理可得直線AC的表達(dá)式為：y=-3x-6；

y=-3x-6&

1,,解得：x=-p(m4-6),

{y=-/+m8

直線尸一#+m與y軸的交點(diǎn)為(0,m),

1,

SAAOC=2x2x6=6,

13

由題意得：一x-(m+6)(m+6)=3,

28

解得：〃2=-2或-10(舍去-10),

tn=-2；

OC

(3)???OA=2,OC=6,J—=3,

OA

…BEOC

①當(dāng)△DEBs2XAOC時(shí)，IJIiJ—=—=3,

如圖I,過點(diǎn)E作EF,直線x=2,垂足為R過點(diǎn)8作8G,ER垂足為G,

則一=—=3,則BG=3EF,

EFED

設(shè)點(diǎn)E(力，k),則3G=-匕FE=h-2,

則-左=3(/?-2),即2=6-3)

:點(diǎn)E在二次函數(shù)上，故:-2h-6=6-3h,

解得：/?=4或-6(舍去-6),

則點(diǎn)￡(4,-6)；

,BEOA1

②當(dāng)時(shí)，一=—=一,

EDOC3

過點(diǎn)E作直線x=2,垂足為M,過點(diǎn)8作8Ml.例E,垂足為M

BNBE11

則RtABETV^RtAEDM,則一=—=一，貝ljNB=4EM,

EMDE33

設(shè)點(diǎn)E(p,g),則8N=-q,EM=p-2,

則-q=4(p-2),解得：〃=旦苧史或(舍去);

333

皿—、-5+V1451-V145

故點(diǎn)E坐標(biāo)為(4,-6)或(-------，-------).

39

6.(2019?恩施州)如圖，拋物線尸―-2or+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,-2),頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,一步

與x軸交于A、8兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)連接AC,E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△AOCS^AEB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和一的值.

AB

(3)點(diǎn)E(0,y)是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)y為何值時(shí)，^FC+BF的值最小.并求出這個(gè)最小值.

(4)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為“，當(dāng)/FC+BF取最小值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使△

是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）將點(diǎn)C、。的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）當(dāng)△AOCs/XAEB時(shí)，=（―）2=（―）2=A,求出），E=由△A0Cs/\AE8得：—=

S^AEBAB41675AC

~=即可求解；

ABV5

（3）如圖2,連接8尸，過點(diǎn)F作FG_LAC于G,當(dāng)折線段8FG與BE重合時(shí)，取得最小值，即可求解；

（4）①當(dāng)點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，由Rt^Q”MsRt△尸得：。仞2=②當(dāng)點(diǎn)”為直角頂點(diǎn)時(shí),

點(diǎn)”（0,2）,則點(diǎn)Q（l,2）：③當(dāng)點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得：點(diǎn)。（I,-|）.

2

-r

解得Q=

【解析】（1）由題可列方程組：｛:二;a+c=--

8,=3

一3kc-2

/.拋物線解析式為：y=I）-%-2；

(2)如圖1,/AOC=90°,AC=V5,A8=4,

設(shè)直線AC的解析式為：y^kx+b,則｛[￡[?=°，解得：

，直線AC的解析式為：y=-2A--2；

當(dāng)△AOCs/XAEB時(shí)

鬻=（余if）?/，

,**S/^AOC=1，S/\AEB=下-，

1AA

/.-4BX|y￡：|=AB=4f則y￡=一耳,

1Q

則點(diǎn)E（一引—g）;

40AE1

由△AOCS/V