第22講：高頻考點(diǎn)分析之立體幾何探討

【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】

第22講：高頻考點(diǎn)分析之立體幾何探討

江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯

1?2講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，3?8講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，9?12講對(duì)數(shù)

學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。

立體兒何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，立體幾何試題是考查空間想象能力，邏輯思維能力和演繹推理能力

的基本載體近幾年高考立體幾何試題以基礎(chǔ)題和中檔題為主，熱點(diǎn)問(wèn)題主要有證明點(diǎn)線面的關(guān)系?？疾榈?/p>

重點(diǎn)是點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間距離和空間角，突出空間想象能力。。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，立體幾何的內(nèi)

容和考查要求有了較大的變化：增加了三視圖，更強(qiáng)調(diào)幾何直觀，幾何證明有所削弱，淡化了距離問(wèn)題。

因此，在復(fù)習(xí)中，以基本知識(shí)，基本方法為基礎(chǔ)，以通性通法為重點(diǎn)，培養(yǎng)空間兒何體的直觀認(rèn)知能力和

邏輯推理能力。

一般來(lái)說(shuō)，平面向量在高考中所占份量較大，結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以下五方面

探討立體幾何問(wèn)題的求解：

1.多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算；

2.由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計(jì)算：

3.關(guān)于線線、線面及面面平行的問(wèn)題；

4.關(guān)于線線、線面及面面垂直的問(wèn)題；

5.關(guān)于空間距離和空間角的問(wèn)題。

一、多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算：

典型例題：

例1.(2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分)已知三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，A4BC是邊長(zhǎng)

為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為【】

(A)夠(B)~(C)噂(D)烏

6632

【答案】A。

【考點(diǎn)】三棱錐的性質(zhì)。

【解析】???AA8C的外接圓的半徑廠=@,?,?點(diǎn)。到面A8C的距離J/??一戶=顯。

33

又???SC為球0的直徑，點(diǎn)5到面ABC的距離為2d=二二。

3

/.此棱錐的體積為丫=15.叱*21=！*@*宜5=也。故選A。

3AABC3436

例2.(2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分)平面a截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為明,

則此球的體積為【】

(A)#兀(B)4s兀(C)4#n(D)6757t

【答案】B。

【考點(diǎn)】點(diǎn)到平面的距離，勾股定理，球的體枳公式。

【解析】由勾股定理可得球的半徑為小，從而根據(jù)球的體積公式可求得該球的體積為：

V=-X7TX(省『=4鬲。故選B。

例3.(2012年江西省理5分)如下圖，已知正四棱錐S-A8CO所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記S￡=x(0<x<l),截面下面部分的體積

為V(x),則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為【】

ABCD

【答案】Ao

【考點(diǎn)】棱錐的體積公式，線面垂直，函數(shù)的思想。

【解析】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，若函數(shù)y=/(x)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí)，作為選擇題，可采

用定性排它法:

觀察圖形可知，當(dāng)0<x<；時(shí)，隨著x的增大，V(x)單調(diào)遞減，且遞減的速度越來(lái)越快，不

是SE=x的線性函數(shù)，可排除C,D。當(dāng)時(shí)，隨著x的增大，V(x)單調(diào)遞減，且遞減的速度

越來(lái)越慢，可排除B。只有A圖象符合。故選A。

如求解具體的解析式，方法繁瑣，而且計(jì)算復(fù)雜，很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄,

并且作為選擇題也沒(méi)有太多的時(shí)間去解答。我們也解答如下:

連接AC,BD,二者交于點(diǎn)。，連接SO,過(guò)點(diǎn)E作底面的垂線

當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，,:SB=SD=BC=CD,：.SE±BE,SELDE.

面BDE.

.?.當(dāng)SE=x=L時(shí)，截面為三角形EB。，截面下面部分錐體的底為

2

BCD。

又???S4=SC=1,AC=P，SO=^-o此時(shí)￡77=號(hào)。

.、11.V26

32424

當(dāng)0<SE(x)<；時(shí)，截面與4。和4B相交，分別交于點(diǎn)F、D,

設(shè)FG與AC相交于點(diǎn)，，則易得V⑴十…回。

錦元數(shù)學(xué)工作室繪制

由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=——,CS=1得

2

亞

y：EH=1(1-x),即

2

由E/〃&4,SE=x,CS=1,AC=V^^x：AI=T五,即A/=揚(yáng)。易知A4FG是等腰直角三角

形，即FG=2A/=2&x。/.S=—-FGAI=—-2-42x-y/2x=2x2?

AFC22

V=22

1SBCDFGEHSABCD-S&AFG),EH=y(1-2^-(1-X)=^-(1-2%)(1-X)

當(dāng)!<SE(x)<l時(shí)，截面與0c和8c相交，分別交于點(diǎn)M、N,設(shè)

MN與AC相交于點(diǎn)J,則易得丫(x)=1S?CMN-EHO

錦元數(shù)學(xué)工作室繪制

由E//〃S。，SE=x,CE=1-x,SO-——,CS=1得

2

y：EH=\(1-x),即￡”二三(1—力。

由EJ〃SA,SE-XfCE=1—x,CS=1,AC=V^得(1一x)：€7=1加，即CV二拉(1一x)。易知

V

ACMN是等腰直角三角形，即MN=2C/=2啦(1-x)。.?.SACMN=；，MMCJ=；-2VI(1-X),亞(1-X)=2(1-X)2。

AV(X)=^2(1-X)2-^y-(l-X)=^y-(l-X)3。

&

-

60<x<-

2

也

綜上所述，V(x)=<

2&4

-

3X<1

結(jié)合微積分知識(shí)，可判定A正確。

例4.(2012年湖北省理5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之,

九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積匕求其直徑”的一個(gè)近似

公式d"d/V°人們還用過(guò)一些類似的近似公式。根據(jù)乃=3.14159

判斷，下列近似公式中最精確的

一個(gè)是【】

【答案】Do

【考點(diǎn)】球的體積公式以及估算。

【解析】由球的體積公式V=&萬(wàn)內(nèi)得也

對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證:

3丫4萬(wàn)

—,116r7?166Q116x9-c”

對(duì)于A.da；一V有一x—,即7rp----=3.375；

V997i16

對(duì)于B.da瘍有2=9,即乃=9=3；

712

6x157

即%a=3.14；

300

對(duì)于D.有21a9,即江a絲旦a3.1429；

V1111兀21

中的數(shù)值最接近J?o故選D。

例5.（2012年重慶市理5分）設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,、反和。，且長(zhǎng)為。的棱與長(zhǎng)

為后的棱異面，則a的取值范圍是【】

(A)(0,72)(B)(0,G)(C)(1,72)(D)(1,V3)

【答案】A?

【考點(diǎn)】異面直線的判定，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，勾股定理和余弦定理的應(yīng)用。

【分析】如圖所示，設(shè)四面體ABCD的棱AC長(zhǎng)為a,取BD中點(diǎn)P,連接AP,CP，所以AP18D,CP18。,

在RtAABP中，由勾股定理得4P=CP=@。

2

.?.在A4CP中，

AC2=a2=AP2+CP2-2APCPcosZAPC-cosZAPC.

,?ZAPCe(0,萬(wàn))，AcosZAPCe(-1,1)?Aa2e(0,2)

ae(0,V2)o故選A。

例6.（2012年上海市理4分）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為

6兀

【答案】~T

【考點(diǎn)】空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開圖。

【解析】根據(jù)該圓錐的底面圓的半徑為「，母線長(zhǎng)為/,根據(jù)條件得到

L萬(wàn)2=2兀，解得母線長(zhǎng)/=2,2.=勿=2%/=1所以該圓錐的體積為:

2

——S/?=—XV22—I2K-——71。

"鉞333

例7.（2012年上海市文4分）一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2萬(wàn)，該圓柱的表面積為▲

【答案】6萬(wàn)。

【考點(diǎn)】圓柱的表面積。

【解析】根據(jù)該圓柱的底面周長(zhǎng)得底面圓的半徑為r=1,所以該圓柱的表面積為:

S-2兀1+2萬(wàn)/=4乃+2乃=6萬(wàn)。

例9.（2012年上海市理4分）如圖，與8c是四面體ABC。中互相垂直的棱，BC=2,若AO=2c,

KAB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是▲.

［答案］—cja~—c2-1。

3

【考點(diǎn)】四面體中線面的關(guān)系，橢圓的性質(zhì)。

【解析】作于E,連接CE,則

VBC1AD,BERBC=B,，AOJ_平面5EC。

又；CEu平面BEC,CELAD.

山題設(shè)，A5+B￡>=AC+CD=2a,B與C都在以AO為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于

焦距所在直線A。。8E=CE。

取8C中點(diǎn)/，連接EE,

BC=2,：.EF工BC,BF=\,EF=^BE2o

???SABEF=；BCEF=4BE2-1。

四面體ABCD的體積V=^S^EC-AD=。

顯然，當(dāng)E在AO中點(diǎn)，即8是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為b=4a2-c2。

Vmax=與Jq2-2-］。

例10.（2012年山東省理4分）如圖，正方體ABCD-A|B|C|D|的棱長(zhǎng)為1。E,F分別為線段AA1，B|C

上的點(diǎn)，則三棱錐Di-EDF的體積為▲。

【答案】I

6

【考點(diǎn)】三棱錐的面積。

【解析】???三棱錐D|-EDF與三棱錐F-D|DE表示的是同一棱錐，VD「EDF=VF_D,DE。

又???F-D]DE的底△口白￡的面積是正方形面積的一半，等于g;底△口□￡上的高等于正方形

FDDE

的棱長(zhǎng)1'VD_EDF=V_,=§X]X1°

例11.（2012年安徽省文5分）若四面體A8CO的三組對(duì)棱分別相等，即A8=CO,AC=BD,

AD=BC,則▲.（寫出所有正確結(jié)論編號(hào)）

①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直

②四面體48co每個(gè)面的面積相等

③從四面體A8CO每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°

④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互垂直平分

⑤從四面體4BCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)

【答案】②④⑤。

【考點(diǎn)】四面體的性質(zhì)。

【解析】①四面體A5CO每組對(duì)棱不相互垂直，命題錯(cuò)誤；

②四面體A8CO每個(gè)面是全等三角形，面積相等，命題正確；

③從四面體ABCO每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°,命題錯(cuò)誤；

④連接四血體ABC。每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分，命題正確；

例12.（2012年遼寧省文5分）已知點(diǎn)P,4,B,C。是球O表面上的點(diǎn),平面ABC。，四遽ABCD

是邊長(zhǎng)為26正方形。若PA=2遙，則△OAB的面積為▲.

【答案】36。

【考點(diǎn)】組合體的的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

【解析】??,點(diǎn)P,4,B,C。是球。表面上的點(diǎn)，％J_平面ABC。,

點(diǎn)尸，4,B,C。為球0內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，球心。為長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn)。

：./\OAB的面枳是該長(zhǎng)方體對(duì)角面面積的2。

4

VAB=2y/3,PA=2^/6?PB=6。；.SAOAB=；X26x6=36。

例13.（2012年江蘇省5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A3CA中,AB=AD=3cm,AA=2cm,則四棱錐

A-BBQQ的體積為▲cn?.

【答案】6。

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，棱錐的體積。

【解析】；長(zhǎng)方體底面A8CO是正方形，...△A3。中3D=3/cm,80邊上的高是上正cm（它也是

2

A-BBQQ中BBRD上的高）。

四棱錐A-38QQ的體積為1x3也x2x。&=6。

32

二、由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計(jì)算：

典型例題：

例1.（2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視

圖，則此幾何體的體積為【】

(A)6(B)9(C)12(D)18

【答案】B。

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。

【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為3。因此此幾何體的體積為:

V=Jx,x6x3x3=9。故選8。

32

例2.（2012年北京市理5分）某三梭錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是【】

A.28+675B.30+6指C.56+1275D.60+1275

mitre

【答案】B。

【考點(diǎn)】三棱錐的三視圖問(wèn)題。

【解析】如下圖所示。圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過(guò)

勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和。利用垂直關(guān)系、等腰三角形

的性質(zhì)和三角形面積公式，可得：

S底=g（2+3）-4=10,S后無(wú);O+^-IO,S右=；45=10S=；.2后，（如『-（4『=6石

這里有兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰三角形。

該三梭錐的表面積是30+6石。故選B。

例3.（2012年廣東省理5分）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為【

俯視圖

A.12nB.45兀C.57nD.81兀

【答案】Co

【考點(diǎn)】由三視圖求體積。

【解析】由三視圖可知，此組合體上部是一個(gè)母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑是

3的圓錐，下部是一個(gè)高為5,底面半徑是3的圓柱，幾何體的直觀圖如

圖所示。

圓錐的高產(chǎn)。1=V52-32=4

幾何體的體積丫=/柱贏/=9夕？519P4=57。。

故選C。

例4.（2012年廣東省文5分）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為【】

俯視圖

A.72萬(wàn)B.48萬(wàn)C.30萬(wàn)D.24萬(wàn)

【答案】Co

【考點(diǎn)】由三視圖求體積。

【解析】由圖知，該幾何體是圓錐和半球體的組合體，球的半徑是3,圓錐底面圓的半徑是3,圓錐母線

長(zhǎng)為5,由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4,

則它的體積V=%錐+V半球體=1^-32-4+1,1^-33=30^?故選C。

例5.（2012年江西省文5分）若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為【

左?U6

11

A.—B.5

2

【答案】Co

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積。

【解析】根據(jù)三視圖判斷此幾何體為直六棱柱，再分別計(jì)算棱柱的底面積和高，最后由棱柱的體積計(jì)算公

式求得結(jié)果：

由圖可知，此幾何體為直六棱柱，底面六邊形可看做兩個(gè)全等的等腰梯形，上底邊為1,下底邊

為3,高為1,

棱柱的底面積為—-———=4＞棱柱的高為1o

2

例6.（2012年浙江省文5分）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積是【】

儂視圖

A.lcm?B.2cm3C.3cm*D.6cm3

【答案】Co

【考點(diǎn)】三棱錐的三視圖。

【解析】由題意判斷出，底面是?個(gè)直角三角形，兩個(gè)直角邊分別為1和2,整個(gè)棱錐的高由側(cè)視圖可得

為3,所以三棱錐的體積為』x』xlx2x3=l。故選C。

32

例7.（2012年湖北省理5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體枳為【

俯視圖

c10%

A.—B.3%C.------D.67r

33

【答案】Bo

【考點(diǎn)】由何體的三視圖求體積。

【解析】此幾何體為一個(gè)圓柱切去了一部分，此圓柱底面半徑為1,高為4,現(xiàn)在此幾何體上方補(bǔ)上一個(gè)

和此幾何體完全一樣的幾何體，從而構(gòu)成一個(gè)底面半徑為1,高為6的圓柱，這個(gè)圓柱的體積為V=6萬(wàn),

要求幾何體的體積為圓柱體積的一半，為。故選B。

例8.（2012年湖南省理5分）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是[]

【答案】Do

【考點(diǎn)】組合體的三視圖。

【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示知，原圖卜面圖為圓柱或直四棱柱，上面

是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C都可能是該幾何體的俯視圖，D不

可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形。故選D。

例9.（2012年福建省理5分）一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是【】

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

【答案】Do

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖。

【解析】球的三視圖大小形狀相同.三棱錐的三視圖也可能相同，正方體三種視圖也相同，只有圓柱不同。

故選D。

例10.（2012年陜西省文5分）將正方形（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該

幾何體的左視圖為【

【答案】B?

【考點(diǎn)】空間圖像的直觀圖與三視圖。

【解析】因?yàn)閺淖竺娲怪惫饩€在豎直平面上的正投影是正方形，其中。①的正投影是正方形右斜的對(duì)角線

（實(shí)線），8c的正投影是正方形左斜的對(duì)角線（被遮住是虛線）。故選B。

例11.（2012年天津市理5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體積為▲

m}.

【答案】18+9萬(wàn)。

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖的畫法與體枳的計(jì)算。

【分析】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體，所以其體積為：

43

V=3X6X1+2X-^-X（^）3=18+9^機(jī)\

例12.（2012年天津市文5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體積▲

【答案】30。

【考點(diǎn)】由三視圖求幾何體的體積。

【分析】由三視圖可知這是一個(gè)下面是個(gè)長(zhǎng)方體，上面是個(gè)平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體。長(zhǎng)方體的體積

為3x4x2=24,五棱柱的體積是創(chuàng)辿xlx4=6,所以幾何體的總體積為30。

2

例13.(2012年安徽省理5分)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是.

4

【答案】92o

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。

【解析】山三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱.

.??幾何體的表面積是S=2x；x(2+5)x4+(2+5+4+j42+(5—2?)x4=9

例14.(2012年安徽省文5分)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是▲

確我國(guó)

【答案】56o

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。

【解析】山三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱。

幾何體的的體積是V=』x（2+5）x4x4=56。

2

例15.（2012年浙江省理4分）已知某三棱錐的三視圖（單位：c〃？）如圖所示，則該三棱錐的體積等于

Acm3.

儂W陽(yáng)

【答案】1。

【考點(diǎn)】由三棱錐的三視圖求體積。

【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形.故體積等于

1|3

—x3xlx2x-=1（cm'）?

23

例16.（2012年湖北省文5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為▲.

【答案】12萬(wàn)。

【考點(diǎn)】由幾何體的三視圖求體積

【解析】由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個(gè)相同的圓柱（底面圓半徑為2,高為1）與中間一個(gè)圓柱

（底面圓半徑為1,高為4）組合而成，故該幾何體的體積是V=7x22xlx2+乃xFx4=12萬(wàn)。

例17.（2012年遼寧省理5分）?個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

-?I~1~~2__Fn--HJ.sk-~2~

【答案】38。

【考點(diǎn)】由幾何體的三視圖求面積。

【解析】由三視圖可知該幾何體為個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分

別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓

柱的底面積，即為2（3*4+4xl+3xl）+27xlxl-2?=38。

例18.（2012年遼寧省文5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為▲.

l<--MD.2-H>

rl

【答案】12+萬(wàn)。

【考點(diǎn)】由幾何體的三視圖求體積。

【解析】由三視圖可知該幾何體為-個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)等高的圓柱的組合體，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別

為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為3x4x1+1x1x1=12+〃。

三、關(guān)于線線、線面及面面平行的問(wèn)題：

典型例題：

例1.（2012年四川省文5分）下列命題正確的是【】

A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若?個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另?個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行

C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行

D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行

【答案】Co

【考點(diǎn)】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)。

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所

以A錯(cuò)；一個(gè)平面不在同?條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè)

平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確。故選C。

例2.(2012年浙江省文5分)設(shè)/是直線，a,是兩個(gè)不同的平面【】

A.若/〃a,l//p,貝I]a〃夕B.若/〃a,I邛,則a,夕

C.若al。,ILa,貝D.若a_L",I//a,貝

【答案】B。

【考點(diǎn)】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)。

【解析】利用面面垂直的判定定理可證明B是正確的，對(duì)于其它選項(xiàng)，可利用舉反例法證明其是錯(cuò)誤命題:

A,若/〃a,l//p,則滿足題意的兩平面可能相交，排除A；

B,若/〃a,I邛,則在平面a內(nèi)存在一條直線垂直于平面“，從而兩平面垂直，故B正確;

C,若aJL￡,Zia,貝M可能在平面夕內(nèi)，排除C；

D,若a邛,l//a,則/可能與夕平行,相交,排除D。

故選B?

例3.(2012年山東省文12分)如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，ZXABD為正三角形，CB=CD,EC1BD.

(I)求證：BE=DE；

(1I)若NBCD=12O°,M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM〃平面BEC.

【答案】解：(I)證明：取BD中點(diǎn)為O,連接OC,0E,

VBC=CD,ACOIBD,

XVEC1BD,COnEC=C,；.BDJ_平面OCE.。

又：0Eu平面OCE.,

?,.BD1OE,即OE是BD的垂直平分線。

BE=DEo

(^)取AB中點(diǎn)N,連接MN,DN,

；M是AE的中點(diǎn)，；.MN〃BE。

「△ABD是等邊三角形，，DNJ_AB,NABD=60。。

VZBCD=120°,BC=CD,AZCBD=30°?

AZABC=60°+30o=90°,即BCJ_AB。

，ND〃BC。

又：MNnND=N,BECIBC=B,.?.平面MND〃平面BEC。

又；DMu平面MND,二DM〃平面BEC。

【考點(diǎn)】線面垂直和平行的證明，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)。

【解析】(I)要證BE=DE,只要證點(diǎn)E是BD垂直平分線上的點(diǎn)即可。故取BD中點(diǎn)為O,連接OC,0E,

由已知證明BD10E即可。

(II)要證DM〃平面BEC只要證明DM在一個(gè)平行于平面BEC的另一個(gè)平面上,故取AB中點(diǎn)N,

連接MN,DN,證明平面MND//平面BEC即可。

例4.(2012年福建省理13分)如圖，在長(zhǎng)方體力BC。一4|8|C|。|中，AAt=AD^\,E為CO中點(diǎn).

(I)求證：BxE±ADli

(H)在棱AA上是否存在一點(diǎn)P,使得。P〃平面SAE?若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由;

(III)若二面角A-8|E-4的大小為30。，求A8的長(zhǎng).

【答案】解：(I)如圖，以A為原點(diǎn)，通,At),府?的方向分別為x軸,

y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。

設(shè)"=0則40,0,0)，。(0/,0)，。1(。,1,1)，端，1，0)，

二耐=(0,1,1),蹄=(甘，1,-1),屆=伍,0,1),

然=住1,0)。

:仍?誰(shuí)=一1x0+lxl+(—l)xl=0,：.B\ELADX.

(II)假設(shè)在棱441上存在一點(diǎn)2(0,0,zo)，使得〃平面81AE,此時(shí)加=(0,-1,z0)o

又設(shè)平面8ME的法向量”=(x,y,z).

ax+z=O,

平面BME,.".nLASt，n^Ak,得《公

菱+y=0.

取x=l,得平面SAE的一個(gè)法向量"=（1,一a）。

要使。P〃平面BAE,只要“，司＞,即|一azo=O，解得Zo=；。

又。P坪面SME,...存在點(diǎn)P,滿足。尸〃平面S4E,此:時(shí)AP=；。

(III)連接A。，ByC,山長(zhǎng)方體ABCO-AiBiCQi及44|=AO=1,得力￡)44。。

'：BXC//AXD,：.ADt±BiCo

又由（I）知8|E_L4。],且B|CCI8|E=8],

.?.4￡）」平面。（78|4。

.?.助|是平面A\B}E的一個(gè)法向量，此時(shí)府51=（0,1,1）。

a

rjt----a

設(shè)/百與”所成的角為仇則。0$6=3組工=—,2

川曲聞1+1+/

???二面角A-B.E-A,的大小為30°,

3a

."cos0l=cos30。，即——,2=乎，解得“=2,即AB的長(zhǎng)為2。

【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定。

【解析】（I）由題意及所給的圖形，以A為原點(diǎn)，值,Ab,的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB=m給出圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出向量??和雎的坐標(biāo)，驗(yàn)證其數(shù)量積

為0即可證出兩線段垂直。

（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA|上存在一點(diǎn)尸（0,0,zo），使得OP〃平面B|AE,求出平面80E法

向量，可法向量與直線。P的方向向量?jī)?nèi)積為0,由此方程解出zo的值，若能解出，則說(shuō)明存在，若不存

在符合條件的Zo的值，說(shuō)明不存在這樣的點(diǎn)尸滿足題意。

（III）由題設(shè)條件，可求面夾二面角的兩個(gè)平面的法向量，利用兩平面的夾角為30。建立關(guān)于4的

方程，解出。的值即可得出AB的長(zhǎng)。

例5.（2012年遼寧省文12分）如圖，直三棱柱ABC—A"。/,ABAC=90°,AB=AC=y/2,A'A=\,

點(diǎn)M,N分別為WB和B'C，的中點(diǎn)。

(I)證明：MN〃平面看ACC/;

(H)求三棱錐A，-MNC的體積。

(椎體體積公式丫=，5/?,其中S為底面面積，力為高)

3

【答案】解(I)證明:連接AL、AC',

?.?NBAC=90°,AB=AC,

二三棱柱為直三棱柱。

.?.M為A8'中點(diǎn)。

又：N為3七’的中點(diǎn)，：.MN//AC.

B錦元數(shù)學(xué)工作室繪制

又,/MN仁平面A'ACC1：.MN//平面A1ACC1。

(11)連接8犯由題意得平面RHc/n平面B'BCC'=8'C',

A'N工平面NBC。

2

VVV=211=

A'-MNC="N-A'NC=\N-A'BC=|A'-NBC???'''?

錦元數(shù)學(xué)工作室繪制

B

【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，直線與平面平行的判定，棱錐體積的計(jì)算，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

【解析】(D連接AB'、AC,說(shuō)明三棱柱ABC-A/B/。/為直三棱柱,推出MN〃AC，，然后證明MN〃平

面HACCJ

另解：取A3,的中點(diǎn)P,連接〃尸、NP。

M、N分別為4"、80的中點(diǎn)，

J.MP//AA',NP//A'C'.

：.AfP〃平面ANCC,PN//平面A么CC'?

又,：MPCNP=P,；.平面MPN〃平面4為CC，。

又,/MNU平面MPN,MN〃平面A'ACC'.

(II)連接BN,由V*_MNC=VN-A'NC=g7N-KBC=\匕Sc可求。

例6.(2012年江蘇省14分)如圖，在直三棱柱ABC-48cl中，A,B,=A,C,,D,E分別是棱BC,CC,±

的點(diǎn)(點(diǎn)。不同于點(diǎn)C),且AZ)_LOE,F為用G的中點(diǎn).

求證:(1)平面AZ)E_L平面5CC內(nèi);

(2)直線4尸〃平面4OE.

【答案】證明(1)；ABC-48c是直三棱柱，...CG，平面ABC。

又ADu平面ABC,；.CCt±AD。

又,：AD上DE,GC、DEu平面BCCiBpCC^DE^E,AOJ■平面BCC#。

又ADu平面ADE,；.平面ADE_L平面BCC、B}.

(2)；A￡=AC，尸為4G的中點(diǎn)，*,?A,F1B,C,o

又■平面A4G，且A(u平面AB￡,.?.CC|_LA/。

又,/eg,4Gu平面BCG瓦，CGnHG=G,A,F±平面44G。

由（1）知，AO_L平面BCG4，AAXF//AD.

又VADu平面ADE,\Fi平面ADE，二直線AXF//平面ADE

【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。

【解析】（1）要證平面人力七工平面二。。"，只要證平血4OE上的4O_L平面8CC4即可。它可由已知

ABC-A,4G是直三棱柱和AD1DE證得。

（2）要證直線A/〃平面4OE,只要證A/〃平面AOE上的A。即可。

四、關(guān)于線線、線面及面面垂直的問(wèn)題：

典型例題：

例1.（2012年浙江省理5分）已知矩形ABC。，AB=l,8C=JI.將A45O沿矩形的對(duì)角線5。所

在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，【】

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線8。垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線4。與直線垂直

D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與60”，“45與CO”，“AO與BC”均不垂直

【答案】B。

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。

【解析】如圖，AELBD,CF1BD,依題意，AB=\,BC=6,AE=CF=—,

3

BE=EF=FD=上.

3

A,若存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線8。垂直，則???8。LAE,.?.6。_L平面AEC,從

而8OJ_EC,這與已知矛盾，排除A；

B,若存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直，則CD，平面ABC,輛ABCJL平面BCD。

取中點(diǎn)M,賺ME,則ME，5。，,ZAEM就是二面角A-BD-C的平面角，此角顯然存在,

即當(dāng)A在底面上的射影位于8c的中點(diǎn)時(shí)，直線A8與直線CO垂直，故B正確；

C,若存在某個(gè)位置，使得直線AO與直線垂直，則平面4c。，從而平面4。。_1平

面3CO,即A在底面8CO上的射影應(yīng)位于線段CD上，這是不可能的，排除C；

D,由上所述，可排除D。

故選B（.

例2.（2012年全國(guó)課標(biāo)卷文12分）如圖，三棱柱ABC-A|BQ中，側(cè)棱垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=；

AAi，D是棱AA1的中點(diǎn)

（I）證明：平面BDC」平面BDC

（II）平面BDG分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。

【答案】解：(I)證明：,??由題設(shè)，三棱柱ABC-A|B|G中，側(cè)棱垂直底面，ZACB=90°,

/.BClCCj,BC1AC,CGnAC=C,；.BC_L平面ACGA|。

又「DCiU平面ACC|A”ADCjlBCo

???山題設(shè)，AC=BC,=；AA”D是棱AA1的中點(diǎn)，

.?.NA|DC產(chǎn)NADC=45°,AZCDC=90°,即DC|_LDC。

又；DCnBC=C,BDC?

又：DGu平面BDG，平面BDC」平面BDC。

(H)設(shè)棱錐B-DACCi的體積為V1,AC=a,則V1=n?^xaxa=#。

又：三棱柱ABC—ABG的體積V=1xaxax2a=a3,

2

...V|：(V-V1)=l:l。

，平面BDC1分此棱柱為兩部分體積的比為1：lo

【考點(diǎn)】直三棱柱的性質(zhì)，平面和平面的位置關(guān)系，棱柱和棱錐的體積。

【解析】（I）要證明平面BDCi_L平面BDC,只要證一個(gè)平面的一條直線垂直于另一個(gè)平面即可。由由題

設(shè)可證得DC|_LBC,DC」DC,山DCp|BC=C得DC」平面BDC,而DGu平面BDC,,1st平面BDC,±

平面BDC。

（II）求出三棱柱ABC-A|B|G的體積和棱錐B