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【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】
第22講:高頻考點(diǎn)分析之立體幾何探討
江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯
1?2講,我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討,3?8講,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討,9?12講對(duì)數(shù)
學(xué)解題方法進(jìn)行了探討,從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。
立體兒何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,立體幾何試題是考查空間想象能力,邏輯思維能力和演繹推理能力
的基本載體近幾年高考立體幾何試題以基礎(chǔ)題和中檔題為主,熱點(diǎn)問(wèn)題主要有證明點(diǎn)線面的關(guān)系??疾榈?/p>
重點(diǎn)是點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間距離和空間角,突出空間想象能力。。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中,立體幾何的內(nèi)
容和考查要求有了較大的變化:增加了三視圖,更強(qiáng)調(diào)幾何直觀,幾何證明有所削弱,淡化了距離問(wèn)題。
因此,在復(fù)習(xí)中,以基本知識(shí),基本方法為基礎(chǔ),以通性通法為重點(diǎn),培養(yǎng)空間兒何體的直觀認(rèn)知能力和
邏輯推理能力。
一般來(lái)說(shuō),平面向量在高考中所占份量較大,結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例,我們從以下五方面
探討立體幾何問(wèn)題的求解:
1.多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算;
2.由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計(jì)算:
3.關(guān)于線線、線面及面面平行的問(wèn)題;
4.關(guān)于線線、線面及面面垂直的問(wèn)題;
5.關(guān)于空間距離和空間角的問(wèn)題。
一、多面體及球體的概念、性質(zhì)、計(jì)算:
典型例題:
例1.(2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分)已知三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,A4BC是邊長(zhǎng)
為1的正三角形,SC為球。的直徑,且SC=2;則此棱錐的體積為【】
(A)夠(B)~(C)噂(D)烏
6632
【答案】A。
【考點(diǎn)】三棱錐的性質(zhì)。
【解析】???AA8C的外接圓的半徑廠=@,?,?點(diǎn)。到面A8C的距離J/??一戶=顯。
33
又???SC為球0的直徑,點(diǎn)5到面ABC的距離為2d=二二。
3
/.此棱錐的體積為丫=15.叱*21=!*@*宜5=也。故選A。
3AABC3436
例2.(2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分)平面a截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為明,
則此球的體積為【】
(A)#兀(B)4s兀(C)4#n(D)6757t
【答案】B。
【考點(diǎn)】點(diǎn)到平面的距離,勾股定理,球的體枳公式。
【解析】由勾股定理可得球的半徑為小,從而根據(jù)球的體積公式可求得該球的體積為:
V=-X7TX(省『=4鬲。故選B。
例3.(2012年江西省理5分)如下圖,已知正四棱錐S-A8CO所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一
動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分,記S£=x(0<x<l),截面下面部分的體積
為V(x),則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為【】
ABCD
【答案】Ao
【考點(diǎn)】棱錐的體積公式,線面垂直,函數(shù)的思想。
【解析】對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題,若函數(shù)y=/(x)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí),作為選擇題,可采
用定性排它法:
觀察圖形可知,當(dāng)0<x<;時(shí),隨著x的增大,V(x)單調(diào)遞減,且遞減的速度越來(lái)越快,不
是SE=x的線性函數(shù),可排除C,D。當(dāng)時(shí),隨著x的增大,V(x)單調(diào)遞減,且遞減的速度
越來(lái)越慢,可排除B。只有A圖象符合。故選A。
如求解具體的解析式,方法繁瑣,而且計(jì)算復(fù)雜,很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄,
并且作為選擇題也沒(méi)有太多的時(shí)間去解答。我們也解答如下:
連接AC,BD,二者交于點(diǎn)。,連接SO,過(guò)點(diǎn)E作底面的垂線
當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí),,:SB=SD=BC=CD,:.SE±BE,SELDE.
面BDE.
.?.當(dāng)SE=x=L時(shí),截面為三角形EB。,截面下面部分錐體的底為
2
BCD。
又???S4=SC=1,AC=P,SO=^-o此時(shí)£77=號(hào)。
.、11.V26
32424
當(dāng)0<SE(x)<;時(shí),截面與4。和4B相交,分別交于點(diǎn)F、D,
設(shè)FG與AC相交于點(diǎn),,則易得V⑴十…回。
錦元數(shù)學(xué)工作室繪制
由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=——,CS=1得
2
亞
y:EH=1(1-x),即
2
由E/〃&4,SE=x,CS=1,AC=V^^x:AI=T五,即A/=揚(yáng)。易知A4FG是等腰直角三角
形,即FG=2A/=2&x。/.S=—-FGAI=—-2-42x-y/2x=2x2?
AFC22
V=22
1SBCDFGEHSABCD-S&AFG),EH=y(1-2^-(1-X)=^-(1-2%)(1-X)
當(dāng)!<SE(x)<l時(shí),截面與0c和8c相交,分別交于點(diǎn)M、N,設(shè)
MN與AC相交于點(diǎn)J,則易得丫(x)=1S?CMN-EHO
錦元數(shù)學(xué)工作室繪制
由E//〃S。,SE=x,CE=1-x,SO-——,CS=1得
2
y:EH=\(1-x),即£”二三(1—力。
由EJ〃SA,SE-XfCE=1—x,CS=1,AC=V^得(1一x):€7=1加,即CV二拉(1一x)。易知
V
ACMN是等腰直角三角形,即MN=2C/=2啦(1-x)。.?.SACMN=;,MMCJ=;-2VI(1-X),亞(1-X)=2(1-X)2。
AV(X)=^2(1-X)2-^y-(l-X)=^y-(l-X)3。
&
-
60<x<-
2
也
綜上所述,V(x)=<
2&4
-
3X<1
結(jié)合微積分知識(shí),可判定A正確。
例4.(2012年湖北省理5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,
九而一,所得開立方除之,即立圓徑,“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積匕求其直徑”的一個(gè)近似
公式d"d/V°人們還用過(guò)一些類似的近似公式。根據(jù)乃=3.14159
判斷,下列近似公式中最精確的
一個(gè)是【】
【答案】Do
【考點(diǎn)】球的體積公式以及估算。
【解析】由球的體積公式V=&萬(wàn)內(nèi)得也
對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證:
3丫4萬(wàn)
—,116r7?166Q116x9-c”
對(duì)于A.da;一V有一x—,即7rp----=3.375;
V997i16
對(duì)于B.da瘍有2=9,即乃=9=3;
712
6x157
即%a=3.14;
300
對(duì)于D.有21a9,即江a絲旦a3.1429;
V1111兀21
中的數(shù)值最接近J?o故選D。
例5.(2012年重慶市理5分)設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,、反和。,且長(zhǎng)為。的棱與長(zhǎng)
為后的棱異面,則a的取值范圍是【】
(A)(0,72)(B)(0,G)(C)(1,72)(D)(1,V3)
【答案】A?
【考點(diǎn)】異面直線的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,勾股定理和余弦定理的應(yīng)用。
【分析】如圖所示,設(shè)四面體ABCD的棱AC長(zhǎng)為a,取BD中點(diǎn)P,連接AP,CP,所以AP18D,CP18。,
在RtAABP中,由勾股定理得4P=CP=@。
2
.?.在A4CP中,
AC2=a2=AP2+CP2-2APCPcosZAPC-cosZAPC.
,?ZAPCe(0,萬(wàn)),AcosZAPCe(-1,1)?Aa2e(0,2)
ae(0,V2)o故選A。
例6.(2012年上海市理4分)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2n的半圓面,則該圓錐的體積為
6兀
【答案】~T
【考點(diǎn)】空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開圖。
【解析】根據(jù)該圓錐的底面圓的半徑為「,母線長(zhǎng)為/,根據(jù)條件得到
L萬(wàn)2=2兀,解得母線長(zhǎng)/=2,2.=勿=2%/=1所以該圓錐的體積為:
2
——S/?=—XV22—I2K-——71。
"鉞333
例7.(2012年上海市文4分)一個(gè)高為2的圓柱,底面周長(zhǎng)為2萬(wàn),該圓柱的表面積為▲
【答案】6萬(wàn)。
【考點(diǎn)】圓柱的表面積。
【解析】根據(jù)該圓柱的底面周長(zhǎng)得底面圓的半徑為r=1,所以該圓柱的表面積為:
S-2兀1+2萬(wàn)/=4乃+2乃=6萬(wàn)。
例9.(2012年上海市理4分)如圖,與8c是四面體ABC。中互相垂直的棱,BC=2,若AO=2c,
KAB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù),則四面體的體積的最大值是▲.
[答案]—cja~—c2-1。
3
【考點(diǎn)】四面體中線面的關(guān)系,橢圓的性質(zhì)。
【解析】作于E,連接CE,則
VBC1AD,BERBC=B,,AOJ_平面5EC。
又;CEu平面BEC,CELAD.
山題設(shè),A5+B£>=AC+CD=2a,B與C都在以AO為焦距的橢球上,且BE、CE都垂直于
焦距所在直線A。。8E=CE。
取8C中點(diǎn)/,連接EE,
BC=2,:.EF工BC,BF=\,EF=^BE2o
???SABEF=;BCEF=4BE2-1。
四面體ABCD的體積V=^S^EC-AD=。
顯然,當(dāng)E在AO中點(diǎn),即8是短軸端點(diǎn)時(shí),BE有最大值為b=4a2-c2。
Vmax=與Jq2-2-]。
例10.(2012年山東省理4分)如圖,正方體ABCD-A|B|C|D|的棱長(zhǎng)為1。E,F分別為線段AA1,B|C
上的點(diǎn),則三棱錐Di-EDF的體積為▲。
【答案】I
6
【考點(diǎn)】三棱錐的面積。
【解析】???三棱錐D|-EDF與三棱錐F-D|DE表示的是同一棱錐,VD「EDF=VF_D,DE。
又???F-D]DE的底△口白£的面積是正方形面積的一半,等于g;底△口□£上的高等于正方形
FDDE
的棱長(zhǎng)1'VD_EDF=V_,=§X]X1°
例11.(2012年安徽省文5分)若四面體A8CO的三組對(duì)棱分別相等,即A8=CO,AC=BD,
AD=BC,則▲.(寫出所有正確結(jié)論編號(hào))
①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直
②四面體48co每個(gè)面的面積相等
③從四面體A8CO每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°
④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互垂直平分
⑤從四面體4BCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)
【答案】②④⑤。
【考點(diǎn)】四面體的性質(zhì)。
【解析】①四面體A5CO每組對(duì)棱不相互垂直,命題錯(cuò)誤;
②四面體A8CO每個(gè)面是全等三角形,面積相等,命題正確;
③從四面體ABCO每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°,命題錯(cuò)誤;
④連接四血體ABC。每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形,線段互垂直平分,命題正確;
例12.(2012年遼寧省文5分)已知點(diǎn)P,4,B,C。是球O表面上的點(diǎn),平面ABC。,四遽ABCD
是邊長(zhǎng)為26正方形。若PA=2遙,則△OAB的面積為▲.
【答案】36。
【考點(diǎn)】組合體的的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。
【解析】??,點(diǎn)P,4,B,C。是球。表面上的點(diǎn),%J_平面ABC。,
點(diǎn)尸,4,B,C。為球0內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),球心。為長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn)。
:./\OAB的面枳是該長(zhǎng)方體對(duì)角面面積的2。
4
VAB=2y/3,PA=2^/6?PB=6。;.SAOAB=;X26x6=36。
例13.(2012年江蘇省5分)如圖,在長(zhǎng)方體ABC。-A3CA中,AB=AD=3cm,AA=2cm,則四棱錐
A-BBQQ的體積為▲cn?.
【答案】6。
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì),棱錐的體積。
【解析】;長(zhǎng)方體底面A8CO是正方形,...△A3。中3D=3/cm,80邊上的高是上正cm(它也是
2
A-BBQQ中BBRD上的高)。
四棱錐A-38QQ的體積為1x3也x2x。&=6。
32
二、由三視圖判別立體圖形和表面積、體積的計(jì)算:
典型例題:
例1.(2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視
圖,則此幾何體的體積為【】
(A)6(B)9(C)12(D)18
【答案】B。
【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。
【解析】由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是俯視圖,高為3。因此此幾何體的體積為:
V=Jx,x6x3x3=9。故選8。
32
例2.(2012年北京市理5分)某三梭錐的三視圖如圖所示,該三梭錐的表面積是【】
A.28+675B.30+6指C.56+1275D.60+1275
mitre
【答案】B。
【考點(diǎn)】三棱錐的三視圖問(wèn)題。
【解析】如下圖所示。圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度,黑色數(shù)字代表通過(guò)
勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和。利用垂直關(guān)系、等腰三角形
的性質(zhì)和三角形面積公式,可得:
S底=g(2+3)-4=10,S后無(wú);O+^-IO,S右=;45=10S=;.2后,(如『-(4『=6石
這里有兩個(gè)直角三角形,一個(gè)等腰三角形。
該三梭錐的表面積是30+6石。故選B。
例3.(2012年廣東省理5分)某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為【
俯視圖
A.12nB.45兀C.57nD.81兀
【答案】Co
【考點(diǎn)】由三視圖求體積。
【解析】由三視圖可知,此組合體上部是一個(gè)母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑是
3的圓錐,下部是一個(gè)高為5,底面半徑是3的圓柱,幾何體的直觀圖如
圖所示。
圓錐的高產(chǎn)。1=V52-32=4
幾何體的體積丫=/柱贏/=9夕?519P4=57。。
故選C。
例4.(2012年廣東省文5分)某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為【】
俯視圖
A.72萬(wàn)B.48萬(wàn)C.30萬(wàn)D.24萬(wàn)
【答案】Co
【考點(diǎn)】由三視圖求體積。
【解析】由圖知,該幾何體是圓錐和半球體的組合體,球的半徑是3,圓錐底面圓的半徑是3,圓錐母線
長(zhǎng)為5,由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4,
則它的體積V=%錐+V半球體=1^-32-4+1,1^-33=30^?故選C。
例5.(2012年江西省文5分)若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為【
左?U6
11
A.—B.5
2
【答案】Co
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積。
【解析】根據(jù)三視圖判斷此幾何體為直六棱柱,再分別計(jì)算棱柱的底面積和高,最后由棱柱的體積計(jì)算公
式求得結(jié)果:
由圖可知,此幾何體為直六棱柱,底面六邊形可看做兩個(gè)全等的等腰梯形,上底邊為1,下底邊
為3,高為1,
棱柱的底面積為—-———=4>棱柱的高為1o
2
例6.(2012年浙江省文5分)已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積是【】
儂視圖
A.lcm?B.2cm3C.3cm*D.6cm3
【答案】Co
【考點(diǎn)】三棱錐的三視圖。
【解析】由題意判斷出,底面是?個(gè)直角三角形,兩個(gè)直角邊分別為1和2,整個(gè)棱錐的高由側(cè)視圖可得
為3,所以三棱錐的體積為』x』xlx2x3=l。故選C。
32
例7.(2012年湖北省理5分)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體枳為【
俯視圖
c10%
A.—B.3%C.------D.67r
33
【答案】Bo
【考點(diǎn)】由何體的三視圖求體積。
【解析】此幾何體為一個(gè)圓柱切去了一部分,此圓柱底面半徑為1,高為4,現(xiàn)在此幾何體上方補(bǔ)上一個(gè)
和此幾何體完全一樣的幾何體,從而構(gòu)成一個(gè)底面半徑為1,高為6的圓柱,這個(gè)圓柱的體積為V=6萬(wàn),
要求幾何體的體積為圓柱體積的一半,為。故選B。
例8.(2012年湖南省理5分)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是[]
【答案】Do
【考點(diǎn)】組合體的三視圖。
【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示知,原圖卜面圖為圓柱或直四棱柱,上面
是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是該幾何體的俯視圖,D不
可能是該幾何體的俯視圖,因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形。故選D。
例9.(2012年福建省理5分)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同大小均相等,那么這個(gè)幾何體不可以是【】
A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱
【答案】Do
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖。
【解析】球的三視圖大小形狀相同.三棱錐的三視圖也可能相同,正方體三種視圖也相同,只有圓柱不同。
故選D。
例10.(2012年陜西省文5分)將正方形(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該
幾何體的左視圖為【
【答案】B?
【考點(diǎn)】空間圖像的直觀圖與三視圖。
【解析】因?yàn)閺淖竺娲怪惫饩€在豎直平面上的正投影是正方形,其中。①的正投影是正方形右斜的對(duì)角線
(實(shí)線),8c的正投影是正方形左斜的對(duì)角線(被遮住是虛線)。故選B。
例11.(2012年天津市理5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:加),則該幾何體的體積為▲
m}.
【答案】18+9萬(wàn)。
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖的畫法與體枳的計(jì)算。
【分析】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體,所以其體積為:
43
V=3X6X1+2X-^-X(^)3=18+9^機(jī)\
例12.(2012年天津市文5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:加),則該幾何體的體積▲
【答案】30。
【考點(diǎn)】由三視圖求幾何體的體積。
【分析】由三視圖可知這是一個(gè)下面是個(gè)長(zhǎng)方體,上面是個(gè)平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體。長(zhǎng)方體的體積
為3x4x2=24,五棱柱的體積是創(chuàng)辿xlx4=6,所以幾何體的總體積為30。
2
例13.(2012年安徽省理5分)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是.
4
【答案】92o
【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。
【解析】山三視圖可知,該幾何體是底面是直角梯形,高為4的直四棱柱.
.??幾何體的表面積是S=2x;x(2+5)x4+(2+5+4+j42+(5—2?)x4=9
例14.(2012年安徽省文5分)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是▲
確我國(guó)
【答案】56o
【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。
【解析】山三視圖可知,該幾何體是底面是直角梯形,高為4的直四棱柱。
幾何體的的體積是V=』x(2+5)x4x4=56。
2
例15.(2012年浙江省理4分)已知某三棱錐的三視圖(單位:c〃?)如圖所示,則該三棱錐的體積等于
Acm3.
儂W陽(yáng)
【答案】1。
【考點(diǎn)】由三棱錐的三視圖求體積。
【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形,右側(cè)面也是一直角三角形.故體積等于
1|3
—x3xlx2x-=1(cm')?
23
例16.(2012年湖北省文5分)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為▲.
【答案】12萬(wàn)。
【考點(diǎn)】由幾何體的三視圖求體積
【解析】由三視圖可知,該幾何體是由左右兩個(gè)相同的圓柱(底面圓半徑為2,高為1)與中間一個(gè)圓柱
(底面圓半徑為1,高為4)組合而成,故該幾何體的體積是V=7x22xlx2+乃xFx4=12萬(wàn)。
例17.(2012年遼寧省理5分)?個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為
-?I~1~~2__Fn--HJ.sk-~2~
【答案】38。
【考點(diǎn)】由幾何體的三視圖求面積。
【解析】由三視圖可知該幾何體為個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱,其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分
別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓
柱的底面積,即為2(3*4+4xl+3xl)+27xlxl-2?=38。
例18.(2012年遼寧省文5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為▲.
l<--MD.2-H>
rl
【答案】12+萬(wàn)。
【考點(diǎn)】由幾何體的三視圖求體積。
【解析】由三視圖可知該幾何體為-個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)等高的圓柱的組合體,其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別
為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為3x4x1+1x1x1=12+〃。
三、關(guān)于線線、線面及面面平行的問(wèn)題:
典型例題:
例1.(2012年四川省文5分)下列命題正確的是【】
A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行
B、若?個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另?個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行
C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行
D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行
【答案】Co
【考點(diǎn)】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)。
【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所
以A錯(cuò);一個(gè)平面不在同?條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故B錯(cuò);若兩個(gè)
平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯(cuò);故選項(xiàng)C正確。故選C。
例2.(2012年浙江省文5分)設(shè)/是直線,a,是兩個(gè)不同的平面【】
A.若/〃a,l//p,貝I]a〃夕B.若/〃a,I邛,則a,夕
C.若al。,ILa,貝D.若a_L",I//a,貝
【答案】B。
【考點(diǎn)】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)。
【解析】利用面面垂直的判定定理可證明B是正確的,對(duì)于其它選項(xiàng),可利用舉反例法證明其是錯(cuò)誤命題:
A,若/〃a,l//p,則滿足題意的兩平面可能相交,排除A;
B,若/〃a,I邛,則在平面a內(nèi)存在一條直線垂直于平面“,從而兩平面垂直,故B正確;
C,若aJL£,Zia,貝M可能在平面夕內(nèi),排除C;
D,若a邛,l//a,則/可能與夕平行,相交,排除D。
故選B?
例3.(2012年山東省文12分)如圖,幾何體E-ABCD是四棱錐,ZXABD為正三角形,CB=CD,EC1BD.
(I)求證:BE=DE;
(1I)若NBCD=12O°,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM〃平面BEC.
【答案】解:(I)證明:取BD中點(diǎn)為O,連接OC,0E,
VBC=CD,ACOIBD,
XVEC1BD,COnEC=C,;.BDJ_平面OCE.。
又:0Eu平面OCE.,
?,.BD1OE,即OE是BD的垂直平分線。
BE=DEo
(^)取AB中點(diǎn)N,連接MN,DN,
;M是AE的中點(diǎn),;.MN〃BE。
「△ABD是等邊三角形,,DNJ_AB,NABD=60。。
VZBCD=120°,BC=CD,AZCBD=30°?
AZABC=60°+30o=90°,即BCJ_AB。
,ND〃BC。
又:MNnND=N,BECIBC=B,.?.平面MND〃平面BEC。
又;DMu平面MND,二DM〃平面BEC。
【考點(diǎn)】線面垂直和平行的證明,線段垂直平分線的判定和性質(zhì),等邊三角
形的性質(zhì)。
【解析】(I)要證BE=DE,只要證點(diǎn)E是BD垂直平分線上的點(diǎn)即可。故取BD中點(diǎn)為O,連接OC,0E,
由已知證明BD10E即可。
(II)要證DM〃平面BEC只要證明DM在一個(gè)平行于平面BEC的另一個(gè)平面上,故取AB中點(diǎn)N,
連接MN,DN,證明平面MND//平面BEC即可。
例4.(2012年福建省理13分)如圖,在長(zhǎng)方體力BC。一4|8|C|。|中,AAt=AD^\,E為CO中點(diǎn).
(I)求證:BxE±ADli
(H)在棱AA上是否存在一點(diǎn)P,使得。P〃平面SAE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由;
(III)若二面角A-8|E-4的大小為30。,求A8的長(zhǎng).
【答案】解:(I)如圖,以A為原點(diǎn),通,At),府?的方向分別為x軸,
y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。
設(shè)"=0則40,0,0),。(0/,0),。1(。,1,1),端,1,0),
二耐=(0,1,1),蹄=(甘,1,-1),屆=伍,0,1),
然=住1,0)。
:仍?誰(shuí)=一1x0+lxl+(—l)xl=0,:.B\ELADX.
(II)假設(shè)在棱441上存在一點(diǎn)2(0,0,zo),使得〃平面81AE,此時(shí)加=(0,-1,z0)o
又設(shè)平面8ME的法向量”=(x,y,z).
ax+z=O,
平面BME,.".nLASt,n^Ak,得《公
菱+y=0.
取x=l,得平面SAE的一個(gè)法向量"=(1,一a)。
要使。P〃平面BAE,只要“,司>,即|一azo=O,解得Zo=;。
又。P坪面SME,...存在點(diǎn)P,滿足。尸〃平面S4E,此:時(shí)AP=;。
(III)連接A。,ByC,山長(zhǎng)方體ABCO-AiBiCQi及44|=AO=1,得力£)44。。
':BXC//AXD,:.ADt±BiCo
又由(I)知8|E_L4。],且B|CCI8|E=8],
.?.4£)」平面。(78|4。
.?.助|是平面A\B}E的一個(gè)法向量,此時(shí)府51=(0,1,1)。
a
rjt----a
設(shè)/百與”所成的角為仇則。0$6=3組工=—,2
川曲聞1+1+/
???二面角A-B.E-A,的大小為30°,
3a
."cos0l=cos30。,即——,2=乎,解得“=2,即AB的長(zhǎng)為2。
【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定。
【解析】(I)由題意及所給的圖形,以A為原點(diǎn),值,Ab,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向
建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB=m給出圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo),可求出向量??和雎的坐標(biāo),驗(yàn)證其數(shù)量積
為0即可證出兩線段垂直。
(II)由題意,可先假設(shè)在棱AA|上存在一點(diǎn)尸(0,0,zo),使得OP〃平面B|AE,求出平面80E法
向量,可法向量與直線。P的方向向量?jī)?nèi)積為0,由此方程解出zo的值,若能解出,則說(shuō)明存在,若不存
在符合條件的Zo的值,說(shuō)明不存在這樣的點(diǎn)尸滿足題意。
(III)由題設(shè)條件,可求面夾二面角的兩個(gè)平面的法向量,利用兩平面的夾角為30。建立關(guān)于4的
方程,解出。的值即可得出AB的長(zhǎng)。
例5.(2012年遼寧省文12分)如圖,直三棱柱ABC—A"。/,ABAC=90°,AB=AC=y/2,A'A=\,
點(diǎn)M,N分別為WB和B'C,的中點(diǎn)。
(I)證明:MN〃平面看ACC/;
(H)求三棱錐A,-MNC的體積。
(椎體體積公式丫=,5/?,其中S為底面面積,力為高)
3
【答案】解(I)證明:連接AL、AC',
?.?NBAC=90°,AB=AC,
二三棱柱為直三棱柱。
.?.M為A8'中點(diǎn)。
又:N為3七’的中點(diǎn),:.MN//AC.
B錦元數(shù)學(xué)工作室繪制
又,/MN仁平面A'ACC1:.MN//平面A1ACC1。
(11)連接8犯由題意得平面RHc/n平面B'BCC'=8'C',
A'N工平面NBC。
2
VVV=211=
A'-MNC="N-A'NC=\N-A'BC=|A'-NBC???'''?
錦元數(shù)學(xué)工作室繪制
B
【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,棱錐體積的計(jì)算,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。
【解析】(D連接AB'、AC,說(shuō)明三棱柱ABC-A/B/。/為直三棱柱,推出MN〃AC,,然后證明MN〃平
面HACCJ
另解:取A3,的中點(diǎn)P,連接〃尸、NP。
M、N分別為4"、80的中點(diǎn),
J.MP//AA',NP//A'C'.
:.AfP〃平面ANCC,PN//平面A么CC'?
又,:MPCNP=P,;.平面MPN〃平面4為CC,。
又,/MNU平面MPN,MN〃平面A'ACC'.
(II)連接BN,由V*_MNC=VN-A'NC=g7N-KBC=\匕Sc可求。
例6.(2012年江蘇省14分)如圖,在直三棱柱ABC-48cl中,A,B,=A,C,,D,E分別是棱BC,CC,±
的點(diǎn)(點(diǎn)。不同于點(diǎn)C),且AZ)_LOE,F為用G的中點(diǎn).
求證:(1)平面AZ)E_L平面5CC內(nèi);
(2)直線4尸〃平面4OE.
【答案】證明(1);ABC-48c是直三棱柱,...CG,平面ABC。
又ADu平面ABC,;.CCt±AD。
又,:AD上DE,GC、DEu平面BCCiBpCC^DE^E,AOJ■平面BCC#。
又ADu平面ADE,;.平面ADE_L平面BCC、B}.
(2);A£=AC,尸為4G的中點(diǎn),*,?A,F1B,C,o
又■平面A4G,且A(u平面AB£,.?.CC|_LA/。
又,/eg,4Gu平面BCG瓦,CGnHG=G,A,F±平面44G。
由(1)知,AO_L平面BCG4,AAXF//AD.
又VADu平面ADE,\Fi平面ADE,二直線AXF//平面ADE
【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。
【解析】(1)要證平面人力七工平面二。。",只要證平血4OE上的4O_L平面8CC4即可。它可由已知
ABC-A,4G是直三棱柱和AD1DE證得。
(2)要證直線A/〃平面4OE,只要證A/〃平面AOE上的A。即可。
四、關(guān)于線線、線面及面面垂直的問(wèn)題:
典型例題:
例1.(2012年浙江省理5分)已知矩形ABC。,AB=l,8C=JI.將A45O沿矩形的對(duì)角線5。所
在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過(guò)程中,【】
A.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線8。垂直
B.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線垂直
C.存在某個(gè)位置,使得直線4。與直線垂直
D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與60”,“45與CO”,“AO與BC”均不垂直
【答案】B。
【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。
【解析】如圖,AELBD,CF1BD,依題意,AB=\,BC=6,AE=CF=—,
3
BE=EF=FD=上.
3
A,若存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線8。垂直,則???8。LAE,.?.6。_L平面AEC,從
而8OJ_EC,這與已知矛盾,排除A;
B,若存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直,則CD,平面ABC,輛ABCJL平面BCD。
取中點(diǎn)M,賺ME,則ME,5。,,ZAEM就是二面角A-BD-C的平面角,此角顯然存在,
即當(dāng)A在底面上的射影位于8c的中點(diǎn)時(shí),直線A8與直線CO垂直,故B正確;
C,若存在某個(gè)位置,使得直線AO與直線垂直,則平面4c。,從而平面4。。_1平
面3CO,即A在底面8CO上的射影應(yīng)位于線段CD上,這是不可能的,排除C;
D,由上所述,可排除D。
故選B(.
例2.(2012年全國(guó)課標(biāo)卷文12分)如圖,三棱柱ABC-A|BQ中,側(cè)棱垂直底面,ZACB=90°,AC=BC=;
AAi,D是棱AA1的中點(diǎn)
(I)證明:平面BDC」平面BDC
(II)平面BDG分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比。
【答案】解:(I)證明:,??由題設(shè),三棱柱ABC-A|B|G中,側(cè)棱垂直底面,ZACB=90°,
/.BClCCj,BC1AC,CGnAC=C,;.BC_L平面ACGA|。
又「DCiU平面ACC|A”ADCjlBCo
???山題設(shè),AC=BC,=;AA”D是棱AA1的中點(diǎn),
.?.NA|DC產(chǎn)NADC=45°,AZCDC=90°,即DC|_LDC。
又;DCnBC=C,BDC?
又:DGu平面BDG,平面BDC」平面BDC。
(H)設(shè)棱錐B-DACCi的體積為V1,AC=a,則V1=n?^xaxa=#。
又:三棱柱ABC—ABG的體積V=1xaxax2a=a3,
2
...V|:(V-V1)=l:l。
,平面BDC1分此棱柱為兩部分體積的比為1:lo
【考點(diǎn)】直三棱柱的性質(zhì),平面和平面的位置關(guān)系,棱柱和棱錐的體積。
【解析】(I)要證明平面BDCi_L平面BDC,只要證一個(gè)平面的一條直線垂直于另一個(gè)平面即可。由由題
設(shè)可證得DC|_LBC,DC」DC,山DCp|BC=C得DC」平面BDC,而DGu平面BDC,,1st平面BDC,±
平面BDC。
(II)求出三棱柱ABC-A|B|G的體積和棱錐B
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