河南省頂尖名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題

頂尖名校聯(lián)盟2021~2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3．本卷命題范圍：必修5，選修11第一章，第二章.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B.3 C.或2 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，從而可得答案【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，可得.故選：C2.下列雙曲線中，虛軸長(zhǎng)為的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)虛軸長(zhǎng)的定義分別求得各雙曲線的虛軸長(zhǎng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，中，虛軸長(zhǎng)為，所以A正確；對(duì)于B，中，虛軸長(zhǎng)為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，中，虛軸長(zhǎng)為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，中，虛軸長(zhǎng)為，所以D錯(cuò)誤；故選：A.3.在中，已知，，，則的面積為（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面積公式計(jì)算．【詳解】因?yàn)橹校阎?，，，所以，由余弦定理得，解得?，所以的面積或．故選：B.4.已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)F(3,0)是雙曲線的?個(gè)焦點(diǎn)設(shè)雙曲線的方程為，然后根據(jù)漸近線方程得到，解方程得到即可得到雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是雙曲線的?個(gè)焦點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線方程為，a>0，∵是雙曲線的一條漸近線，∴，解得a2=4，∴雙曲線方程為.故選：D.5.已知m＞0，則“m=3”是“橢圓=1的焦距為4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過(guò)討論焦點(diǎn)的位置，得到關(guān)于m的方程，求出對(duì)應(yīng)的m的值，根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦點(diǎn)在x軸上，則c2=m25=4，又m＞0，∴m=3，若焦點(diǎn)在y軸上，則c2=5m2=4，m＞0，∴m=1，故“m=3”是“橢圓的焦距為4”的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，考查橢圓的定義，是一道基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】湊配出積為定值，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A．7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，若，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知求得，再由兩點(diǎn)的距離公式和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闄E圓，所以所以，所以，設(shè)，則，又，解得或，而，所以，故選：D.8.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，則由下列關(guān)系確定的數(shù)列也一定是等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】A中設(shè)數(shù)列的公差為，求出的表達(dá)式，再根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷．BCD中通過(guò)特例求出，根據(jù)通項(xiàng)公式形式可判斷．【詳解】A．設(shè)數(shù)列的公差為，由，又由，故數(shù)列也一定是等差數(shù)列.若，是等差數(shù)列，B．，不是等差數(shù)列，C．，不是等差數(shù)列，D．，不是等差數(shù)列，故選：A．9.已知在前n項(xiàng)和為的數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用并項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】由，有，則．故選：C10.已知橢圓：和橢圓：的離心率相同，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離心率相同可得的關(guān)系，化簡(jiǎn)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題意有，可得，有，有，有.故選：C.11.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由以及，結(jié)合二倍角的正切公式，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據(jù)基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.12.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵直線的方程為∴直線的傾斜角為∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，且∴設(shè)，聯(lián)立，得由得∴，∴，即∴故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的定義及簡(jiǎn)單的性質(zhì)，本題利用直線的傾斜角結(jié)合圖形推導(dǎo)出線段的幾何關(guān)系，再聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求出參數(shù),因此根據(jù)題意畫出正確的圖形是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.以雙曲線的左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】首先求雙曲線的左頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意知雙曲線的左頂點(diǎn)為，則拋物線方程設(shè)為，由條件可知，所以拋物線方程為.故答案為：.14.若滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，由得，由得，是直線的縱截距的相反數(shù)，向上平移時(shí)，減小，∴向上平移直線，減小，當(dāng)過(guò)時(shí)，．故答案為：．15.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)在點(diǎn)的上方，若，則直線的斜率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】如圖所示，設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，求出即得解.【詳解】如圖所示，設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則，解得，又，故直線的斜率為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：類似這種直線和拋物線相交的計(jì)算問(wèn)題，要注意以下知識(shí)的綜合應(yīng)用：（1）拋物線的定義；（2）平面幾何的相似；（3）直角三角函數(shù).16.已知遞增的等差數(shù)列滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出公差，得到通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，則.所以故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，如圖，為線段上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將化為，結(jié)合，化簡(jiǎn)整理可得，從而可求出，進(jìn)而可求出角的值；（2）在中利用余弦定理可求出，從而可得，則有，而，所以【詳解】解：（1）根據(jù)正弦定理得，整理得因?yàn)?，所以，又，可得?）在中，由余弦定理得：將（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知，有，因?yàn)?，所?18.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）已知條件用和公比表示后解得，得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，由求得最大時(shí)的值，再計(jì)算出最大的．【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，有①，又由，有，得②，①②有，解得或(舍去)，由，可求得，有，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），若，可得，可得當(dāng)且時(shí)；當(dāng)且時(shí)，故最大，又由，可得，故的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求等差數(shù)列前項(xiàng)和最大值，求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值方法：數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，（1）求出前項(xiàng)和的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；（2）解不等式，不等式的解集中最大的整數(shù)就是使得最大的值，由此可計(jì)算出最大的（注意0時(shí)，）．19.已知，且，：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；：方程表示離心率大于2的雙曲線．如果“”為假，“"為真，求的取值范圍．【答案】【解析】【分析】先求出和為真時(shí)的的取值范圍，再結(jié)合題意可得和一真一假，進(jìn)而求解.【詳解】若為真，則對(duì)稱軸，即，又，則．若為真，則，即．因?yàn)椤啊睘榧?，“”為真，所以和一真一假．若真假，則，得；若真假，則，得．綜上所述，的取值范圍是．20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且傾斜角為的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分.（1）求的值；（2）直線是拋物線的切線，為切點(diǎn)，且，求以為圓心且與相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，結(jié)合平分及，得可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得，根據(jù)判別式為零求出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓的半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.小問(wèn)1詳解】由題意可知，設(shè)，，則.由，得，∴，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，代入，得，∵為拋物線的切線，∴，解得，∴.∵到直接的距離，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax＋2by－ab＝0相切．（1）求橢圓C的離心率；（2）如圖，過(guò)F1作直線l與橢圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF2的周長(zhǎng)為4，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切建立等式即可求得離心率；（2）聯(lián)立直線和橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理得出＝求出范圍，結(jié)合斜率不存在的情況求解最值.【詳解】(1)由題意知，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化簡(jiǎn)得a2＝2b2，所以；(2)因?yàn)椤鱌QF2的周長(zhǎng)為，所以4a＝，得a＝，由(1)知b2＝1，所以橢圓C方程為＋y2＝1，且焦點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，①若直線l的斜率不存在，則直線l⊥x軸，直線方程為x＝－1，P，Q，故②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，由，消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝，由k2＞0可得∈.綜上所述，∈，所以的最大值是.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓離心率和方程，根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求解范圍問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉討論斜率不存在的情況.22.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且，正項(xiàng)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，恒成立？若存在，求正整數(shù)的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件，求出公比，即可得出的通項(xiàng)公式；再由累乘法求出，根據(jù)題中條件求出，代入驗(yàn)證，即可得出的通項(xiàng)公