(人教A版2019選擇性必修第一冊)高二數(shù)學上冊數(shù)學同步精講 第三章 圓錐曲線的方程 章節(jié)驗收測評卷（綜合卷）（原卷版+解析）

第三章圓錐曲線的方程章節(jié)驗收測評卷（綜合卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2022·浙江·三模）雙曲線的實軸長度是（

）A．1 B．2 C． D．42．（2022·安徽·高二期末）已知拋物線上一點到軸的距離是2，則點到焦點的距離為（

）A． B．2 C． D．33．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線為，下焦點到下頂點的距離為1，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·模擬預測（文））設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．305．（2022·貴州黔東南·高二期末（理））已知雙曲線C：的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．6．（2022·山東青島·二模）設O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內(nèi)的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2022·江蘇·南京市第一中學高三開學考試）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．48．（2022·安徽·合肥一中高二期末）如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術高級中學模擬預測）若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中正確的是（

）A．若為橢圓，則 B．若為雙曲線，則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則10．（2022·全國·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點M，點Q在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．的最大值為4C．的面積可能為2 D．的最小值為11．（2022·山東·德州市教育科學研究院三模）已知線段BC的長度為4，線段AB的長度為，點D,G滿足，，且點在直線AB上，若以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立平面直角坐標系，則（

）A．當時，點的軌跡為圓B．當時，點的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為C．當時，點的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為D．當時，面積的最大值為312．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）設，F(xiàn)為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的動點，且橢圓上至少有17個不同的點，，，，…組成公差為d的遞增等差數(shù)列，則（

）A．的最大值為B．的面積最大時，C．d的取值范圍為D．橢圓上存在點P，使三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·貴州遵義·高二期末（理））過點且與雙曲線：的漸近線垂直的直線方程為__________．14．（2022·河南商丘·三模（文））寫出一個同時滿足以下條件的拋物線的方程為___________．①的頂點在坐標原點；②的對稱軸為坐標軸；③的焦點到其準線的距離為15．（2022·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線：的左，右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓：上一動點，則的最小值為______．16．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，連接，若直線與另一條漸近線交于點，且，則___________；的周長為___________．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2022·甘肅武威·模擬預測（文））已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且．(1)求此橢圓的方程；(2)若點P在第二象限，，求的面積．18．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）已知雙曲線：過點，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)設點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．19．（2022·河南·二模（文））已知拋物線的準線為，過拋物線上一點向軸作垂線，垂足恰好為拋物線的焦點，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設與軸的交點為，過軸上的一個定點的直線與拋物線交于兩點．記直線的斜率分別為，若，求直線的方程.20．（2022·四川廣安·模擬預測（理））已知P為橢圓（）上一點，，分別是橢圓的左、右焦點，，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過的直線l交橢圓于A，B兩點，點C與點B關于x軸對稱，求面積的最大值21．（2022·山東青島·二模）已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.22．（2022·上海奉賢·二模）橢圓上有兩點和，．點A關于橢圓中心的對稱點為點，點在橢圓內(nèi)部，是橢圓的左焦點，是橢圓的右焦點．(1)若點在直線上，求點坐標；(2)是否存在一個點，滿足，若滿足求出點坐標，若不存在請說明理由；(3)設的面積為，的面積為，求的取值范圍．第三章圓錐曲線的方程章節(jié)驗收測評卷（綜合卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2022·浙江·三模）雙曲線的實軸長度是（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D的，所以.故雙曲線的實軸長度是.故選：D.2．（2022·安徽·高二期末）已知拋物線上一點到軸的距離是2，則點到焦點的距離為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B到軸的距離是2，可得，焦點則點到焦點的距離為2.故選:B.3．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線為，下焦點到下頂點的距離為1，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A因為雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線為，所以即，又下焦點到下頂點的距離為1，所以，結合解得，，故選：A．4．（2022·全國·模擬預測（文））設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A由，可得又是是雙曲線上的一點，則，則，，又則，則則的面積等于故選：A5．（2022·貴州黔東南·高二期末（理））已知雙曲線C：的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B由已知，，在中，∵H，C為，中點，∴.又，所以，∴.故選：B6．（2022·山東青島·二模）設O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內(nèi)的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C因為拋物線的焦點，由題可知，，即拋物線方程為，令代入拋物線方程，可得，代入雙曲線方程，可得，可設，，，由有兩邊平方相減可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D錯誤.故選：C.7．（2022·江蘇·南京市第一中學高三開學考試）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】B解法1：拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，則∵，由拋物線定義可知，∴，又因為，所以即，由①②可得：所以.∵，當時，，當時，，∴，則弦AB的中點到C的準線的距離，d最大值是.∴弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是，故選：B.解法2：弦AB的中點到C的準線的距離，根據(jù)結論，，，故選：B.8．（2022·安徽·合肥一中高二期末）如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B解法一：設拋物線的方程，則，得，所以拋物線方程為，焦點，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點，即直線l過焦點F.設直線l的方程為：，設P、Q坐標分別為和，由聯(lián)立，得，∴，，∴，，，當且僅當，即，時取等號.解法二：，又，，當且僅當，即，時等號成立.故選：B.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術高級中學模擬預測）若方程所表示的曲線為，則下面四個命題中正確的是（

）A．若為橢圓，則 B．若為雙曲線，則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則【答案】BC若為橢圓，則，且，故A錯誤若為雙曲線，則，，故B正確若為圓，則，，故C正確若為橢圓，且長軸在軸上，則，，故D錯誤故選：BC10．（2022·全國·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點M，點Q在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．的最大值為4C．的面積可能為2 D．的最小值為【答案】ABD對于選項A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項A正確；對于選項B，由橢圓的定義可得，所以，即的最大值為4，故選項B正確；對于選項C，當點P位于橢圓的上、下頂點時，的面積取得最大值，故選項C錯誤；對于選項D，易知，則圓，所以，故選項D正確，故選：ABD．11．（2022·山東·德州市教育科學研究院三模）已知線段BC的長度為4，線段AB的長度為，點D,G滿足，，且點在直線AB上，若以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立平面直角坐標系，則（

）A．當時，點的軌跡為圓B．當時，點的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為C．當時，點的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為D．當時，面積的最大值為3【答案】BCD根據(jù)題意可知：點A的軌跡為以B為圓心，半徑為的圓B，點D為線段AB的中點，點為線段的中垂線與直線AB的交點，則當時，線段為圓B的弦，則的中垂線過圓心B，點即點B，A錯誤；當時，如圖1，點在線段AB上，連接則∴點的軌跡為以B，C為焦點，長軸長為的橢圓，即則橢圓的離心率，B正確；當為橢圓短軸頂點時，面積的最大若時，則，最大面積為，D正確；當時，過點作圓的切線，切點為若點在劣弧（不包括端點）上，如圖2，點在BA的延長線上，連接則∴點的軌跡為以B，C為焦點，長軸長為的雙曲線的左半支若點在優(yōu)弧（不包括端點）上，如圖3，點在AB的延長線上，連接則∴點的軌跡為以B，C為焦點，長軸長為的雙曲線的右半支則點的軌跡為雙曲線∴，漸近線方程為，C正確；故選：BCD．12．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）設，F(xiàn)為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的動點，且橢圓上至少有17個不同的點，，，，…組成公差為d的遞增等差數(shù)列，則（

）A．的最大值為B．的面積最大時，C．d的取值范圍為D．橢圓上存在點P，使【答案】ABC由橢圓方程知，.選項A：因為P為橢圓上的動點，所以，所以的最大值為，故A正確；選項B：當點P為短軸頂點時，的高最大，所以的面積最大，此時，所以B正確；選項C：設，，，…組成公差為d的等差數(shù)列為，所以，，，故C正確；選項D：因為，又，所以，而，當且僅當時取等號.此時，故此時最大.此時故D不成立.故選：ABC．三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·貴州遵義·高二期末（理））過點且與雙曲線：的漸近線垂直的直線方程為__________．【答案】，由雙曲線：可得其漸近線方程為，∴過點且與雙曲線：的漸近線垂直的直線方程為，即，.故答案為：，.14．（2022·河南商丘·三模（文））寫出一個同時滿足以下條件的拋物線的方程為___________．①的頂點在坐標原點；②的對稱軸為坐標軸；③的焦點到其準線的距離為【答案】（答案不唯一）由①②可知的方程為拋物線的標準方程，由③可知，，所以拋物線的方程可以為．故答案為：(答案不唯一)15．（2022·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線：的左，右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓：上一動點，則的最小值為______．【答案】雙曲線中，，，，，圓半徑為，，，(當且僅當共線且在之間時取等號)，，當且僅當是線段與雙曲線的交點時取等號．的最小值是7．故答案為：7.16．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，連接，若直線與另一條漸近線交于點，且，則___________；的周長為___________．【答案】

雙曲線的漸近線方程為，如下圖所示：不妨設點在第三象限，則直線的方程為，因為，則，，則為的中點，又因為為的中點，則，所以，，即，則，，解得，所以，，即直線的傾斜角為，，則，，在中，，，，由余弦定理可得，因此，的周長為.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2022·甘肅武威·模擬預測（文））已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且．(1)求此橢圓的方程；(2)若點P在第二象限，，求的面積．【答案】(1)；(2).(1)設橢圓的標準方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標準方程為．(2)設點坐標為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.18．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）已知雙曲線：過點，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)設點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．【答案】(1)(2)2（1）由題設可知，解得則：．（2）設點M的橫坐標為當直線斜率不存在時，則直線：易知點到軸的距離為﹔當直線斜率存在時，設：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時點到軸的距離大于2；綜上所述，點到軸的最小距離為2．19．（2022·河南·二模（文））已知拋物線的準線為，過拋物線上一點向軸作垂線，垂足恰好為拋物線的焦點，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設與軸的交點為，過軸上的一個定點的直線與拋物線交于兩點．記直線的斜率分別為，若，求直線的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅰ）由題意，代入，得，，拋物線的方程為.（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，與題意不符，所以直線的斜率一定存在，設直線的方程為代入到中，，設，，則，，所以直線的方程為．20．（2022·四川廣安·模擬預測（理））已知P為橢圓（）上一點，，分別是橢圓的左、右焦點，，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過的直線l交橢圓于A，B兩點，點C與點B關于x軸對稱，求面積的最大值【答案】(1)(2)(1)由P為橢圓（）上一點，，分別是橢圓的左、右焦點，，可得，，所以，又，則，所以，，故橢圓的標