（人教A版2019必修第一冊）高一數(shù)學上學期同步精講精練 5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（精講）（原卷版+解析）

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析重點題型一：正切函數(shù)的定義域與值域問題角度1：正切函數(shù)的定義域角度2：正切函數(shù)的值域重點題型二：正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用角度1：求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度2：單調(diào)性的應(yīng)用重點題型三：正切函數(shù)的周期性與奇偶性重點題型四：正切函數(shù)圖象的對稱性重點題型五：與正切（型）函數(shù)有關(guān)的值域（最值）問題重點題型六：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用第四部分：高考（模擬）題體驗第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：正切函數(shù)的圖象知識點二：正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當時是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當,時，由，解出單調(diào)增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則的圖像的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學附中高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．4．（2022·云南昭通·高一期末）函數(shù)的定義域為___________.5．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則的一個值可以是___________.第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析重點題型一：正切函數(shù)的定義域與值域問題角度1：正切函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數(shù)的定義域為__________．例題2．（2022·安徽·涇縣中學高一開學考試）函數(shù)的定義域為___________.同類題型演練1．（2022·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高一期中）函數(shù)的定義域為______．2．（2022·吉林·長春外國語學校高一期末）函數(shù)的定義域為_____________________.3．（2022·廣東·陽江市第三中學高一期中）函數(shù)的定義域是______________角度2：正切函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·湖南·高一課時練習）函數(shù)，的值域為________．例題2．（2022·全國·高一課時練習）求函數(shù)，的最大值和最小值.同類題型演練1．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）函數(shù)在上的最小值為__________.2．（2022·全國·高一課前預習）求函數(shù)，的值域．重點題型二：正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用角度1：求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．（2022·上海市仙霞高級中學高一期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______.例題2．（2022·廣東·韶關(guān)市田家炳中學高一期末）（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；同類題型演練1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．2．（2022·廣東深圳·高三階段練習）若函數(shù)的最小正周期為，則下列區(qū)間中單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·高一課時練習）求函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間．角度2：單調(diào)性的應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·北京·高一期末）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的一個取值可以為___________.例題3．（2022·全國·高三專題練習（文））若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則___________.例題4．（2022·上海市奉賢中學高一期中）已知函數(shù)在內(nèi)是嚴格減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·湖南·高一課時練習）利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，．2．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．重點題型三：正切函數(shù)的周期性與奇偶性典型例題例題1．（2022·全國·高一課前預習）函數(shù)是（

）A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)例題2．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的最小正周期是______．例題3．（2022·上海·華東政法大學附屬中學高一期中）函數(shù)，的最小正周期為，則實數(shù)______．同類題型演練1．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高一階段練習）已知函數(shù)的最小正周期為，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·山西太原·高一期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是最小正周期為的偶函數(shù) B．是最小正周期為的偶函數(shù)C．是最小正周期為的奇函數(shù) D．是最小正周期為的奇函數(shù)3．（2022·上?！とA師大二附中高一期中）函數(shù)，若，則的值為________重點題型四：正切函數(shù)圖象的對稱性典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題2．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）函數(shù)圖象的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（2022·遼寧·沈陽市第三十中學高一期中）曲線的對稱中心可能是（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（多選）（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期中）函數(shù)的對稱中心可以是（

）A． B． C． D．2．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則的一個值可以是___________.3．（2022·河南駐馬店·高一期中（文））函數(shù)的圖象的對稱中心為______．4．（2022·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標是______．重點題型五：與正切（型）函數(shù)有關(guān)的值域（最值）問題典型例題例題1．（2022·江西·模擬預測（文））函數(shù)的最大值為________．例題2．（2022·安徽·碭山中學高一期中）函數(shù)，的值域為______．同類題型演練1．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的值域為_______________.重點題型六：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·廣東茂名·高一期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值是，則_______；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________．例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．（1）當時，求的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．同類題型演練1．（2022·全國·高一課時練習）已知.（1）求的最小正周期；（2）若是奇函數(shù)，則應(yīng)滿足什么條件？并求出滿足的值.第四部分：高考（模擬）題體驗第四部分：高考（模擬）題體驗1．（2021·寧夏·銀川一中模擬預測（文））函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．2．（多選）（2022·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的定義域為C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞增3．（多選）（2021·山東濰坊·模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若的最小正周期是，則B．當時，的一個對稱中心為C．當時，D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為4．（2021·河南·三模）函數(shù)的最小正周期為___________.5．（2021·寧夏·海原縣第一中學二模（文））已知函數(shù)的最小正周期為，則ω=___________.5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析重點題型一：正切函數(shù)的定義域與值域問題角度1：正切函數(shù)的定義域角度2：正切函數(shù)的值域重點題型二：正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用角度1：求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間角度2：單調(diào)性的應(yīng)用重點題型三：正切函數(shù)的周期性與奇偶性重點題型四：正切函數(shù)圖象的對稱性重點題型五：與正切（型）函數(shù)有關(guān)的值域（最值）問題重點題型六：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用第四部分：高考（模擬）題體驗第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：正切函數(shù)的圖象知識點二：正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當時是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當,時，由，解出單調(diào)增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則的圖像的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則有的周期，解得，于是得，所以的圖像的對稱中心橫坐標方程滿足，（），解得，（）,可知為其一個對稱中心.故選：C2．（2022·全國·高一）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得，函數(shù)在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞增且，因為，所以，所以.故選：A.3．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學附中高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，即，故選：C.4．（2022·云南昭通·高一期末）函數(shù)的定義域為___________.【答案】【詳解】若使函數(shù)有意義，需滿足：，解得；故答案為：5．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則的一個值可以是___________.【答案】（答案不唯一）【詳解】解：因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，，則，.當時，故答案為：第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析重點題型一：正切函數(shù)的定義域與值域問題角度1：正切函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數(shù)的定義域為__________．【答案】【詳解】解：由題意得.解得.故答案為：例題2．（2022·安徽·涇縣中學高一開學考試）函數(shù)的定義域為___________.【答案】【詳解】解：由，有，可得，，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.同類題型演練1．（2022·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高一期中）函數(shù)的定義域為______．【答案】【詳解】令，，可得，，故函數(shù)的定義域為．故答案為：2．（2022·吉林·長春外國語學校高一期末）函數(shù)的定義域為_____________________.【答案】【詳解】由，解得即函數(shù)的定義域為故答案為：3．（2022·廣東·陽江市第三中學高一期中）函數(shù)的定義域是______________【答案】【詳解】函數(shù)的定義域滿足即，所以函數(shù)的定義域為故答案為：角度2：正切函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·湖南·高一課時練習）函數(shù)，的值域為________．【答案】【詳解】y＝tan(π－x)＝－tanx，在上為減函數(shù)，所以值域為(－，1)．故答案為：(－，1).例題2．（2022·全國·高一課時練習）求函數(shù)，的最大值和最小值.【答案】，【詳解】因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當時，，當時，.同類題型演練1．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）函數(shù)在上的最小值為__________.【答案】【詳解】正切函數(shù)在給定的定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為.2．（2022·全國·高一課前預習）求函數(shù)，的值域．【答案】(1,].【詳解】由得,從而,即,所求函數(shù)的值域為(].重點題型二：正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用角度1：求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．（2022·上海市仙霞高級中學高一期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______.【答案】【詳解】解：令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.故答案為：.例題2．（2022·廣東·韶關(guān)市田家炳中學高一期末）（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，同類題型演練1．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.當時:區(qū)間為：.故選：A.2．（2022·廣東深圳·高三階段練習）若函數(shù)的最小正周期為，則下列區(qū)間中單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且其增區(qū)間為，對于函數(shù)，其最小正周期為，可得，則，由，解得，其中，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，函數(shù)在上遞減，在上不單調(diào)，在上遞增，在上遞減.故選：C3．（2022·湖南·高一課時練習）求函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間．【答案】定義域為，單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；【詳解】解：因為，所以，令，解得，所以函數(shù)的定義域為；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；角度2：單調(diào)性的應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】對于A，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故A正確；對于B,．故B不正確；對于C，，．又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故C不正確；對于D，，．又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故D正確.故選：AD.例題2．（2022·北京·高一期末）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的一個取值可以為___________.【答案】（答案不唯一）【詳解】解：因為正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以.故答案為：（答案不唯一）例題3．（2022·全國·高三專題練習（文））若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則___________.【答案】##-0.25【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，則，又因為函數(shù)在上的最大值為，所以，即，所以.故答案為：例題4．（2022·上海市奉賢中學高一期中）已知函數(shù)在內(nèi)是嚴格減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)存在減區(qū)間，則由，可得，由題意函數(shù)在內(nèi)是嚴格減函數(shù)，可得且滿足，解得.故選：B.同類題型演練1．（2022·湖南·高一課時練習）利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，．【答案】(1)(2)(1)因為在上單調(diào)遞增，而，所以(2)因為在上單調(diào)遞增，因為，而，所以，即.2．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：因為，所以，所以，解得，即．故答案為：重點題型三：正切函數(shù)的周期性與奇偶性典型例題例題1．（2022·全國·高一課前預習）函數(shù)是（

）A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)【答案】D【詳解】∵的周期為，定義域為加上絕對值符號后，周期未改變，又，∴為偶函數(shù).故選：D．例題2．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的最小正周期是______．【答案】##【詳解】由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：與的最小周期均為，與的圖象如圖所示，

所以函數(shù)與最小正周期也一樣，函數(shù)的最小正周期是，的最小正周期也是．故答案為：例題3．（2022·上?！とA東政法大學附屬中學高一期中）函數(shù)，的最小正周期為，則實數(shù)______．【答案】##0.5【詳解】由題可知，，∴.故答案為：.同類題型演練1．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高一階段練習）已知函數(shù)的最小正周期為，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意，.故選：B2．（2022·山西太原·高一期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是最小正周期為的偶函數(shù) B．是最小正周期為的偶函數(shù)C．是最小正周期為的奇函數(shù) D．是最小正周期為的奇函數(shù)【答案】C【詳解】解：的最小正周期為,令，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.又，所以函數(shù)是奇函數(shù).故選：C3．（2022·上?！とA師大二附中高一期中）函數(shù)，若，則的值為________【答案】0【詳解】因為，且，所以，得，所以，故答案為：0重點題型四：正切函數(shù)圖象的對稱性典型例題例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】的圖象關(guān)于原點對稱，故，因為可以推出，但推不出，所以“函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.例題2．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）函數(shù)圖象的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，所以的對稱中心為，取時，得.故選：A例題3．（多選）（2022·遼寧·沈陽市第三十中學高一期中）曲線的對稱中心可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】由，，得，，當時，，故D正確；當時，，故B正確；當時，，故C正確；由得，故A不正確.故選：BCD同類題型演練1．（多選）（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期中）函數(shù)的對稱中心可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】對于函數(shù)，令，求得，，∴函數(shù)的對稱中心為，，取，得對稱中心為；取，得對稱中心為；不可能是，.故選：BC．2．（2022·河南省嵩縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則的一個值可以是___________.【答案】（答案不唯一）【詳解】解：因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，，則，.當時，故答案為：3．（2022·河南駐馬店·高一期中（文））函數(shù)的圖象的對稱中心為______．【答案】【詳解】令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為.故答案為：.4．（2022·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標是______．【答案】（答案不唯一）【詳解】令，解得,則圖象的對稱中心的坐標是．當時，，則是圖像的一個對稱中心．故答案為：（答案不唯一）.重點題型五：與正切（型）函數(shù)有關(guān)的值域（最值）問題典型例題例題1．（2022·江西·模擬預測（文））函數(shù)的最大值為________．【答案】##【詳解】解：∵，∴，由題意得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．故答案為：例題2．（2022·安徽·碭山中學高一期中）函數(shù)，的值域為______．【答案】【詳解】因為，所以，，則當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.同類題型演練1．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的值域為_______________.【答案】【詳解】由得，，故當時，有最小值，當時，有最大值.故答案為：.重點題型六：正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·廣東茂名·高一期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值是，則_______；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________．【答案】

【詳解】因為，且在此區(qū)間上的最大值是，所以．因為f(x)max=2tan=，所以tan==，即ω=．由，得．令，得，即在區(qū)間上單調(diào)遞增．又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以<，即．所以的取值范圍是．故答案為：1，例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．（1）當時，求的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）4，，；（2）.【詳解】（1）當時，的最小正周期,故最小正周期為4；要求的單調(diào)區(qū)間，只需，解得：，故的增區(qū)間為