2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)選修4-4全冊(cè)導(dǎo)學(xué)案新人教A版

2017~2018學(xué)人教A版高中數(shù)學(xué)

選修4-4全冊(cè)課堂導(dǎo)學(xué)案匯編

目錄

-平面直角坐標(biāo)系..................................1

-極坐標(biāo)系.........................................5

三簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程............................7

四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介........................10

-曲線的參數(shù)方程.................................14

-圓錐曲線的參數(shù)方程.............................17

三直線的參數(shù)方程.................................21

四漸開線與擺線..................................26

平面直角坐標(biāo)系

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、建立平面直角坐標(biāo)系解決問題

我們已經(jīng)熟悉了平面直角坐標(biāo)系，借此工具,討論軌跡非常方便.請(qǐng)看例1.

【例1】?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26,求點(diǎn)M的軌跡.

解：如圖.

?P(x,y)

A0Bx

以AB所在直線為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-3,0),B(3,0),設(shè)

動(dòng)點(diǎn)P(x,y),由已知得|PA「+|PB「=26,即x2+y=4.

這即是點(diǎn)M的軌跡方程,是以AB的中點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓.

溫馨提示

由此可見,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,一些看似困難的問題就很容易解決了.

各個(gè)擊破

類題演練1

已知A為定點(diǎn),線段BC在定直線1上滑動(dòng)，|BC為4,點(diǎn)A到1的距離為3.求Z\ABC外心的

軌跡方程.

解：以1為x軸，過A與1垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A為(0,3),設(shè)AABC的

外心為P(x,y).因?yàn)镻是BC的中垂線上的點(diǎn),故B,C坐標(biāo)分別為(x-2,0),(x+2,0).因P在線

段AB的中垂線上，故|PA|=|PB|,即

忖+(y_3)2=朽+y2,即x2-6y+5=0.

變式提升1

證明三角形的三條高線交于一點(diǎn).

證明：如圖，AABC,則AD,BE,CO分別是AABC的三條高,取邊AB所在的直線為x軸,CO所在的

直線為y軸,建立坐標(biāo)系.

設(shè)BE交AD于點(diǎn)H(x,y),A(-a,O,),B(b,0),C(0,c),則

BH=(x-b,y),AH=(x+a,y),BC=(-b,c),AC=(a,c).

?：AC.L'BH^AC-~BH=Of

即a(x~b)+cy=0,①

???BC工AHQBC?AH=0,

1

故(-b)(x+a)+cy=O,②

①-②得(a+b)x=0.

Va+b^O,Ax=0.

AH在AB的高線上,即aABC三條高線交于一點(diǎn).

二、坐標(biāo)變換問題

【例2】在同一平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換「一3”后的

=4〉

圖形.

①『=2x;②y=3sin2x.

1x=2x\

【X，=一尤，g

解：由伸縮變換，2得，1,y'.(*)

y'=4y尸了

①將(*)代入y'2x,得(1y'尸=2?(2x').

4

Ay,=64xz.

???經(jīng)過伸縮變換后拋物線y2=2x變成了拋物線y'2=64x'.

②將(*)代入y=3sin2x,得Ly'=3sin2?(2x‘)，

4

y*=12sin4x,.

.?.經(jīng)過伸縮變換后，曲線y=3sin2x變成了曲線y'=12sin4x'.

類題演練2

將曲線C按伸縮變換公式!2"變換后的曲線方程為X，2+丫，2=1,則曲線。的方程為

卜=3y

()

x-2y2x2y2

A.---1---=1B.—+—=1

4994

C.4x2+9y2=36D.4x2+9yz=l

解析:將卜，=2*'代入方程X,、y，2=],得4x?+9y2=i.故選D.

17=3)

答案:D

變式提升2

已知fl(X)=COSX,f2(x)=cos3x(3>0),f2(x)的圖象可以看作是把fi(x)的圖象在其所在的坐

標(biāo)系中的橫坐標(biāo)壓縮到原來的,倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的,則3為()

3

A.—B.2C.3D.—

23

解析:fi(x)=cosxf(2x)=cos3x.

/.3=3,選C.

2

答案:C

三、利用直角坐標(biāo)系解決應(yīng)用題

［例3］某河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬8m,一木船寬4%高2nb

載貨后木船露在水面上的部分高為士3m,問水面漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí)，木船開始

4

不能通航？

解：以水平面與拱的截面的交線為X軸，以該交線的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.

由題意，點(diǎn)A(-4,0),B(4,0),C(0,5).

則可設(shè)拋物線為y=ax2+c.

把A,C代入得16a+c=0且c=5.

55

??a二----.??y=----x2+5.

1616

當(dāng)船沿拱的中心方向通過時(shí),D為(-2,0),代入得

5，「15

y二----?4+5二—,

164

即拱到水平面的高為”

4

又船高2叫???水面上漲的余地為‘15-2二7,，若保證船通過，則水平面漲到與拱頂相距1？3m

444

時(shí)，船開始不能通航，其中二13二5-士7.

44

類題演練3

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知,從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與

上市時(shí)間的關(guān)系用圖(1)的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(2)的拋

物線表示.

(1)寫出圖(1)表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t);寫出圖(2)表示的種植成本與時(shí)

間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t).

(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？(注：市場(chǎng)售價(jià)和

種植成本的單位：元/IO,千克，時(shí)間單位：天)

解：(1)由題圖(1)可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

300-/,0</<200,

f(t)=<

2z-300,200<r<300.

3

由題圖(2)可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

g(t)=-(t-150)2+100,0^t^300.

200

⑵設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t),則由題意得h(t)=f(t)-g(t),

11175

-------/2+-t+——,0<r<200,

20022

即h(t)

^^,200<r<300.

2

當(dāng)0<tW200時(shí)，配方整理得h(t)=一」一(t-50)2+100,

200

所以當(dāng)t=50時(shí),h(t)取得區(qū)間［0,200］上的最大值100;

當(dāng)200<tW300時(shí)，配方整理得h(t)=---------(t-350)2+100.

200

所以當(dāng)t=300時(shí),h(t)取得區(qū)間(200,300］上的最大值87.5.

綜上，由100>87.5可知,h(t)在區(qū)間［0,300］上可以取得最大值100,此時(shí)t=50,即從2

月1日開始的第50天時(shí),上市的西紅柿純收益最大.

4

二極坐標(biāo)系

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、求極坐標(biāo)方程

【例1】0二二的直角坐標(biāo)方程是_

4

解：根據(jù)極坐標(biāo)的定義.

cV

tan?！?,

x

即y=-x(xWO).

答案:y=-x(xWO)

溫馨提示

充分利用坐標(biāo)互化公式.

各個(gè)擊破

類題演練1

27r

將M(5,——)化為直角坐標(biāo).

3

解:由x=Pcos0=——,y=psin0=—^3,

22

；?M為(---,—V3).

22

變式提升1

極坐標(biāo)方程P=sin0+2cos0所表示的曲線是.

解：由互化公式得(xT)2+(y-')2=9.

24

答案：圓

二、應(yīng)用公式，求距離及角

TT7T

【例2】已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo)A(3,—),B(3,勺，則|AB|=____________,AB與極軸正方向所

26

成的角為.

解：如圖.

A

X一

0X

根據(jù)極坐標(biāo)的定義可得|A0|=|B0|=3,ZA0B=60°,即aAOB為正三角形.答案立得.

,.,,_.5兀

答案：3—

6

溫馨提示

在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)Pl(P“Q1),P2(P2,。2)(PI,P2>0),則Pl,Pz兩點(diǎn)間距離是

22

PRI=yjpt+p2-lpyp2cos(^2-6>!).

類題演練2

5

TTSir

在極坐標(biāo)系中，若等邊aABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A(2,-),B(2,二)，則C的坐標(biāo)可能是()

44

,3兀、/rr37r、

A.(4,—)B.(y/3,—)

33

C.(273,—)D.(3,n)

4

答案:C

變式提升2

IT7T

直線1過點(diǎn)A(3,-),B(3,生)，則直線1與極軸的夾角等于___________.

36

A

0cx

解析:如圖所示,先在圖中找到直線與極軸的夾角，另外注意夾角是銳角.

77"JTTT

***|A01二|B0|二3,NAOB二一-一二一,

366

兀

兀---《

.\ZOAB=-——^-=—,

212

八“兀、兀兀

??NACO二n---——=—.

3124

田—.37r

答案：二

3

三、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化

【例3】將y2+x2-2x7=0化為極坐標(biāo)方程.

解：由x=Pcos0,y=Psin0,得

P'-2pcos0-1=0.

溫馨提示

熟記公式：p2=x2+y2,

tan。=—(xWO).

x

類題演練3

將P=cos0化為直角坐標(biāo)方程.

解:整理,得P2=PCOS0,

將x=pcos0,y=psin0代入得

2.2

x+y=x.

變式提升3

將yMx化為極坐標(biāo)方程.

解：設(shè)x=pcos0,y=Psin0,則

P2sin2()=4Pcos0.

故得Psin20-4cos0=0.

6

三簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、圓的極坐標(biāo)方程

[例1]寫出圓心在(3,0)且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程.

jrTT

解：由P=2acos0及題意a=3,。e[-一，—],

22

得P=6cos。，即P'=6Pcos6,

由x'+y'=p",pcos9=x,得

x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.

溫馨提示

直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，最重要的是記熟并會(huì)運(yùn)用互化公式：4x-〃°c.os:a

y=psin0.

其次還要注意“湊”出公式的形式.

各個(gè)擊破

類題演練1

把x2+y2=x化為極坐標(biāo)方程.

解：由公式得P■=Pcos9,

即P=cos6.

變式提升1

從極點(diǎn)作圓P=2acos6的弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

解:設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(r,<t>),

9=6,

把0=和P=2r代入P=2acos0,得

2r=2acos,

冗JI

即r=acos6(--W6W—),

22

即其軌跡是以(q,o)為圓心，半徑為色的圓.

22

二、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化

【例2】寫出圓心在⑵左7T)處且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程,并把它化為直角坐標(biāo)方程.

2

解：由P=2asin0,0<0W允，得

P=4sin0,0W。Wn,

變?yōu)閜MpsinO.

由<得X+y=4y,

y=psin9.

即x2+(y-2)=4.

7

溫馨提示

當(dāng)圓心不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時(shí)，要建立圓的極坐標(biāo)方程,通常把極點(diǎn)放置在圓心

處,極軸與X軸同向,這樣,圓的極坐標(biāo)方程十分簡(jiǎn)單,為p=R.

類題演練2

寫出圓心在（-1,1）處,且過原點(diǎn)的圓的直角坐標(biāo)方程,并化為極坐標(biāo)方程.

解：圓的半徑為R=7（-1）2+（1）2=V2,

故方程為（x+1）2+（y-l）2=2,

變?yōu)閤2+y2=-2（x-y）,

即P=2（sin0-cos0）.

變式提升2

jrjr

畫出極坐標(biāo)方程（。-々）P+（±-0）sin0=0的圖形.

44

解析:若所給曲線的極坐標(biāo)方程比較復(fù)雜時(shí),可將其方程分解因式,分解成幾個(gè)常見曲線方程

連乘積的形式,然后分別作出圖形,放在一起即為所求方程的曲線.

Ox

解:如圖,將原方程分解因式得（0-72T）（P-sin。）=0,

4

o--=o,

4

即。=三為一條射線，或P-sin。=0為一個(gè)圓.

4

三、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題

【例3】從極點(diǎn)作圓P=4sin6的弦，求各條弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M（r,。），則

9=6,

1把。=小和p=2r代入P=4sin0,得2r=4sin"，即r=2sin4>,--.

r——p.22

2

其軌跡是以（2,0）為圓心，以2為半徑的圓.

溫馨提示

尋找一個(gè)關(guān)鍵三角形，使動(dòng)點(diǎn)的極半徑和極角與已知條件成為該三角形的元素，借助于

三角形的邊角關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為三角形法.若三角形為直角三角形,

可利用勾股定理及其他邊角關(guān)系建立動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程:若三角形為一般三角形,可利用正,

余弦定理建立動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程.如變式提升3.

類題演練3

判斷點(diǎn)9衛(wèi)）是否在曲線P=cos-±.

232

至

解：?.,點(diǎn)（，—）和點(diǎn)（一,）是同一點(diǎn),而cos-3.=cos—=—,

2323232

8

???點(diǎn)（L至）在曲線P=cos-±,即點(diǎn)（」，女）在曲線P=COS-±.

232232

變式提升3

設(shè)M是定圓0內(nèi)一定點(diǎn)，任作半徑0A,連結(jié)MA,自M作MPJ_MA交0A于P,求P點(diǎn)的軌跡

方程.

解：以0為極點(diǎn)，射線0M為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)定圓。的半徑為r,OM=a,P（P,。）是軌跡上任意一點(diǎn).

VMP±MA,A|MA|2+|MP|=|PA|2,由余弦定理可知|MA|2=a2+r2-2arcos0,

IMP12=a2+P2-2aPcos。,WIPA|=r-P,由此可得

a2+r2-2arcos0+a2+p2~2apcos0=（r-p）\整理化簡(jiǎn)，得P二―一。?！悖?

acos0-r

9

四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、已知直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo)

［例1］設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1,1,3）,求它的柱坐標(biāo).

解：

由變換公式得PW+y-12+1-2,

P-5/2.

又tan0=—=1,

x

7T

9=J（M在第I卦限）.

4

故M的柱坐標(biāo)為（、歷，石，3）.

4

溫馨提示

可以看出,球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系都是在空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上建立的.

在直角坐標(biāo)系中，我們需要三個(gè)長(zhǎng)度：（x,y,z）,而在柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系中，我們需要長(zhǎng)度，

還需要角度.它是從長(zhǎng)度，方向來描述一個(gè)點(diǎn)的位置，需要（P,9,z）或者（r,6,9）.

三種坐標(biāo)系互相不同，互相有聯(lián)系，互相能夠轉(zhuǎn)化,都是刻畫空間一點(diǎn)的位置，只是描述

的角度不同.

類題演練1

設(shè)M的直角坐標(biāo)為（1,-6,4）,求其柱坐標(biāo).

解：由公式得P:I+3=4,

P=2.

又tan=-5/3

x

??.e=—.

3

2兀

...柱坐標(biāo)為⑵3，4）.

3

變式提升1

設(shè)M的柱坐標(biāo)為（2,生，7）,求直角坐標(biāo).

6

解：由公式得p2=x、y2=4,

又加殳=3=2

63x

.*.y2=l.Ay=l,x=V3.

???直角坐標(biāo)為（6,1,7）.

10

二、己知直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)

【例2】設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1,1,我），求它的球坐標(biāo).

解：由公式得片二7下7=2,

由rcos4>=z=V2,得

,V2V271

COS<P=-------=---------,<P=——.

r24

VK

Xtan0=—=1,0=—.

x4

TTTF

...點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(2,-).

44

類題演練2

設(shè)M的直角坐標(biāo)為(、歷，-1,1),求它的球坐標(biāo).

解：由公式得r=y/x2+y2+z2=2,

/171

由rcos<1)=z得cos6二一,6二——.

23

5/2

又tan8=-

V

V2

/.0=n-arctan---.

2

冗歷

.?.球坐標(biāo)為(2,—,-arctan-——).

32

三、用柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)解決空間實(shí)際問題

【例3】己知長(zhǎng)方體ABCD—ABCD的邊長(zhǎng)為AB=14,AD=6,AA尸10,以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A為

坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB,AD,AAi分別為Ox、Oy、0z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求長(zhǎng)

方體頂點(diǎn)C,的空間直角坐標(biāo),球坐標(biāo),柱坐標(biāo).

解析：如圖，此題是考查空間直角坐標(biāo)，球坐標(biāo)，柱坐標(biāo)的概念，我們要能借此區(qū)分三個(gè)坐標(biāo),

找到它們的相同和不同來.

C）點(diǎn)的（x,y,z）分別對(duì)應(yīng)著CD,BC,CCbC,點(diǎn)的（P,。,z）分別對(duì)應(yīng)著AC,ZBAC,CCi,C.點(diǎn)

的（r,明。）分別對(duì)應(yīng)著AG,ZAiACi,ZBAC.

11

___o

解:G點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為(14,6,10),G點(diǎn)的柱坐標(biāo)為arctan—,10),3點(diǎn)的球坐

7

標(biāo)為(J332,arccos」,arctan—).

V3327

溫馨提示

應(yīng)當(dāng)注意,在球坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)P在z軸上，0不確定；點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，山與。

都不確定.

類題演練3

經(jīng)過若干個(gè)固定和流動(dòng)的地面遙感觀測(cè)站監(jiān)測(cè)，并通過數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算出一個(gè)航天器在

某一時(shí)刻的位置，離地面2384千米，地球半徑為6371千米，此時(shí)經(jīng)度為80°,緯度為

75°.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定出此時(shí)航天器點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:在赤道平面上,選取地球球心0為極點(diǎn)，以0為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線Ox為極軸，

建立球坐標(biāo)系，如圖.由已知航天器位于經(jīng)度80°,可知。=80°,由航天器位于緯度75°,

可知6=90°-75°=15°,由航天器離地面2384千米，地球半徑為6371千米，可知r=2384+6

371=8755千米.

，點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(8755km,15°,80°).

變式提升2

兩平行平面去截球，如圖，在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)它們的球坐標(biāo)分別為

243

A(25,arctan——,9a),B(25,n-arctan—,0b),

74

w

求出這兩個(gè)截面間的距離.

243-

解：由己矢II,0A=0B=25,ZAOOFarctan——,ZBOOF冗-arctan—,在△A001

74

24OA

中，tanZA00i=——=---}-.

7OO]

V0A=25,.\00F7.

.A,33O、B

在△BOO2中，ZB002=arctan—,tanZB002=—=---.

44OO2

；OB=25,.?.002=20.

則0i02=00i+002=7+20=27.

12

???兩個(gè)截面間的距離?！?yàn)?7.

13

一曲線的參數(shù)方程

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、求曲線的參數(shù)方程

［例1］設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓作勻速(角速度)運(yùn)動(dòng),角速度為Crad/s,

60

試以時(shí)間t為參數(shù),建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程.

解：如圖,運(yùn)動(dòng)開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于A處,此時(shí)t=0,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)對(duì)應(yīng)時(shí)刻t,由圖可知

x=2cos0,乃

又0=—3

y=2sin0.60

x=2cos—t,

60

得參數(shù)方程為4t(t20).

y=2sin—/

60

各個(gè)擊破

類題演練1

求3x+4y+7=0的參數(shù)方程.

解：令x=t,則y=——(3t+7).

4

???參數(shù)方程為

變式提升1

x=6cos

己知1”(6為參數(shù))，判斷曲線類型.

y-3sincp

即上述參數(shù)方程表示的是橢圓.

二、化參數(shù)方程為普通方程

14

x=l+4cosZ,

【例2】化4為普通方程.

y=-2+4sinf

x-1=4cosZ,

解：整理，得

y+2-4sin/.

由sin2t+cos2t=l得(xT)2+(y+2)?=16.

溫馨提示

掌握好參數(shù)的取值范圍，注意所用的消元法的選擇.正確的選擇是解題的關(guān)鍵.對(duì)于正

弦、余弦來說,重要的一個(gè)關(guān)系即是平方關(guān)系:sin20+cos20=1.

類題演練2

x=5cosr,

化為普通方程.

y=3sinr

解：由sin't+cos2t=1#—+—=1.

259

變式提升2

設(shè)直線的參數(shù)方程為《x—一2t‘求P(T,1)到直線的距離d.

y=-\+2t,

t=x-2,

解:整理，得1_y+lnx-2=^-

y-2x+5=0.

."2+1+518A/5

..d=----=---=----.

V55

三、參數(shù)方程與軌跡

【例3】已知圓(+/=1,點(diǎn)A(1,O),Z\ABC內(nèi)接于該圓，且NBAC=60°,當(dāng)B、C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),

求BC的中點(diǎn)的軌跡方程.

解：如圖⑴所示,M為BC的中點(diǎn),

由NBAC=60°,得NB0C=2X60°=120°(弦所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的2倍),

在aBOC中，0B=0C=l=>0M=-.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=-.

24

又因?yàn)閄2!時(shí)，如圖(2),雖然NB0C=120°，但NBAC=!(360°-120°)=120°W60°,所

42

以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=-(x<-),如圖G).

44

15

溫馨提示

利用消元法,實(shí)現(xiàn)參數(shù)方程與普通方程互化，解決距離問題、最值問題、交點(diǎn)問題及類型

的判斷問題,一般把參數(shù)方程化為普通方程來解.

類題演練3

一直線過點(diǎn)(2,1),且與向量(-1,1)平行，

(1)求參數(shù)方程；

(2)求P(-1,-2)到直線的距離d.

解：(1)直線斜率k=-l,傾斜角135°,

r

2

IX--V2

—t,

I

<(t為參數(shù)).

VT2

y-1+

V

(2)化為x+y-3=0,

d=|-l-2-3|=3^

V2

變式提升3

己知某條曲線C的參數(shù)方程為《,(其中t是參數(shù),aGR),點(diǎn)M(5,4)在該曲線上.

(1)求常數(shù)a;

(2)求曲線C的普通方程.

解:本題主要應(yīng)根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系,可知點(diǎn)M(5,4)在該曲線上,則點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)適合

曲線C的方程,從而可求得其中的待定系數(shù),進(jìn)而消去參數(shù)得到其普通方程.

[l+2r=5,{t-2,

(1)由題意可知，有《,故《，a=l.

at-=4,[a=l.

(2)由己知及(1)可得，曲線C的方程為1x-l,+2t,

[y=r-

由第一個(gè)方程得t=2二！，代入第二個(gè)方程，得y=(±l)2,即(x-l)2=4y為所求.

22

16

二圓錐曲線的參數(shù)方程

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、利用參數(shù)方程求點(diǎn)的軌跡

,22

【例1】已知A、B分別是橢圓工+2=1的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求

369

△ABC的重心G的軌跡的普通方程.

解析:本題有兩種思考方式，求解時(shí)把點(diǎn)C的坐標(biāo)設(shè)為一般的(xi,y)的形式或根據(jù)它在該橢

圓上運(yùn)動(dòng)也可以設(shè)為(6cos0,3sin0)的形式,從而予以求解.

解：由動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng),故據(jù)此可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cos0,3sin。)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為

(x,y),則由題意可知點(diǎn)A(-6,0)、B(0,3).

由重心坐標(biāo)公式可知

-6+0+6cos6

x==-2+2cos6,

3

0+3+3sin6

y==1+sin0.

3

由此消去9得到二+2)+(y-l)2=l,即為所求.

4

溫馨提示

本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性，運(yùn)用參數(shù)方程顯得更簡(jiǎn)

單、更便捷.

各個(gè)擊破

類題演練1

22

已知雙曲線:■—鼻口⑦〉。,!?)。)的動(dòng)弦BC平行于虛軸,M、N是雙曲線的左、右頂點(diǎn).

a2b2

(1)求直線MB、CN的交點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵若P(X1,yi),B(X2,y2),求證：a是x1、X2的比例中項(xiàng).

⑴解:由題意可設(shè)點(diǎn)B(asec0,btan0),則點(diǎn)C(asec0,-btan0),又M(-a,0),N(a,0),

直線MB的方程為y=(x+a),

asec0+a

直線CN的方程為y=.°(x_a).

a—asec6

12

將以上兩式相乘得點(diǎn)P的軌跡方程為jX+彳y=1.

a2b-

17

⑵證明：因?yàn)镻既在MB上，又在CN上，由兩直線方程消去y,得xi=，一,而X2=asec。，所以

sec。

2

有xix2=a,即a是xi、X2的比例中項(xiàng).

變式提升1

[x=2t+1,

在直角坐標(biāo)系xOy中,參數(shù)方程,(t為參數(shù))表示的曲線是.

解析:t=U代入y=2t2-l得y=2(-)2-1,即(xT)<2(y+1).

22

答案:拋物線

二、利用參數(shù)方程求坐標(biāo)

【例2]在橢圓7x2+4y2=28上求一點(diǎn)，使它到直線1:3x-2yT6=0的距離最短,并求出這一最

短距離.

冗2y2

解：把橢圓方程化為——+乙=1的形式，

47

則可設(shè)橢圓上點(diǎn)A坐標(biāo)為(2cosa,7sina),

則A到直線1的距離為d」6cosa-2gsma-16]=|8sm(￡音)-16|(其中

V13V13

a.3、

p=arcsin—).

4

.?.當(dāng)B-a=工時(shí),d有最小值,最小值為七=生叵.

2V1313

/3

此時(shí)a=P--.*.sina=-cosB=-----,cosa=sinP=—.

244

3V7

???A點(diǎn)坐標(biāo)為(工一上).

24

溫馨提示

用參數(shù)方程解決一些坐標(biāo)問題,簡(jiǎn)單易行,本例是很典型的.

類題演練2

x=4cos0,

橢圓《(。為參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.

y=3sin6

解析:a=4,b=3,/.c=V7./.坐標(biāo)為(-V7,0).

答案：(-J7,0)

變式提升2

22

在橢圓=+二=1(a>b>0)的第一象限的耳;上求一點(diǎn)P,使四邊形OAPB的面積最大,并求最

ah

18

大面積.

解析:如圖,將四邊形OAPB分割成AOAP與AOPB,則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為△OAP的0A邊上的高,P點(diǎn)

橫坐標(biāo)為△OPB的0B邊上的高.

解：設(shè)P(acos0,bsin0),S四邊彩OAHFSAOM+SAOHF—absin0+—abcos0

22

=—ab(sin0+cos0)=-^-absin(—+9).

224

當(dāng)。=工時(shí)，四邊形OAPB面積最大，最大面積為衛(wèi)ab,此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為

42

三、范圍及最值問題

【例3】圓M的方程為x2+y2-4Rxcosa-4Rysina+3R2=0(R>0).

(D求該圓圓心M的坐標(biāo)以及圓M的半徑；

(2)當(dāng)R固定，a變化時(shí),求圓心M的軌跡,并證明此時(shí)不論a取什么值,所有的圓M都外切

于一個(gè)定圓.

思路分析:本題中所給的圓方程中的變數(shù)有多個(gè)，此時(shí)要結(jié)合題意分清究竟是哪個(gè)真正在變,

而像這樣的具體題目尤其容易犯弄不清真正的參數(shù)的錯(cuò)誤.

222

解：⑴由題意得圓M的方程為(x-2Rcosa)+(y-2Rsina)=R,故圓心為

M(2Rcosa,2Rsina),半徑為R.

x=27?cosa,

(2)當(dāng)a變化時(shí)，圓心M的軌跡方程為《(其中a為參數(shù))，兩式平方相加得

y=2Hsina

x2+y2=4R2,所以圓心M的軌跡是圓心在原點(diǎn),半徑為2R的圓.

由于J(2Rcosa)：+(2Rsina)2=2R=3R-R,-J(27?cosa)2+(27?sina)2=2R=R+R,

所以所有的圓M都和定圓外切,和定圓x、y2=9RZ內(nèi)切.

類題演練3

曲線C:<(0為參數(shù))的普通方程是，如果C與直線x+y+a=0有________公共

y=-l+sin6

點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析：參數(shù)方程消去9得x、(y+l)2=l.

曲線C與直線x+y+a=0有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離不超過半徑長(zhǎng)，

即|0一*|Wi.?j_0'waWl+&.

V2

19

答案：x2+(y+l)Jl1-亞WaWl+亞

變式提升3

設(shè)a、bGR,a2+2b2=6,則a+b的最小值是.

解析:Va2+2b2=6,

a=yJ6cosa

設(shè)l「(。為參數(shù))，

〃=J3sine

a+b=V6cos0+V3sin0=3sin(0+6),

其中C°s6=3，sing遠(yuǎn),

33

即a+b的最小值是-3.

答案：-3

20

三直線的參數(shù)方程

課堂導(dǎo)學(xué)

三點(diǎn)剖析

一、直線的參數(shù)方程和普通方程的互化

［例1］寫出直線2x-y+l=0的參數(shù)方程，并求直線上的點(diǎn)M(l,3)到點(diǎn)A(3,7)、B(8,6)的距

離.

解：根據(jù)直線的普通方程可知斜率是2,設(shè)直線的傾斜角為a,

X=1+

貝IJtana=2,sina=述，cosa，所以直線的參數(shù)方程是.

a為參數(shù)）?

552V5

y=3+-------1

5

經(jīng)驗(yàn)證易知點(diǎn)A(3,7)恰好在直線上，所以有1+gt=3,即t=2jS,即點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離

是2

而點(diǎn)B(8,6)不在直線上，所以不能使用參數(shù)t的幾何意義,可以根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公

式求出距離為7(1-8)2+(3-6)2=V58.

溫馨提示

本題主要考查直線參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化和參數(shù)的幾何意義.常見錯(cuò)誤:①轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時(shí)不

注意后邊的題目?jī)?nèi)容，隨便取一個(gè)定點(diǎn);②把點(diǎn)B(8,6)當(dāng)成直線上的點(diǎn)很容易由l+ft=8,

得t=7看.

各個(gè)擊破

類題演練1

,V2

-4+丁

設(shè)直線的參數(shù)方程為4(t為參數(shù))，點(diǎn)P在直線上,且與點(diǎn)Mo(-4,0)的距離為

V2

行，如果該直線的參數(shù)方程改寫成1'=-4+'(t為參數(shù))，則在這個(gè)方程中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的t

［y=t

值為()

13

A.±1B.OC.±-D.±-

22

解析：由IPMo|=&,知PM0=V2或PM產(chǎn)一血，即t=土血，代入第一個(gè)參數(shù)方程,得點(diǎn)P的坐

標(biāo)分別為(-3,1)或(-5,-1);再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入第二個(gè)參數(shù)方程可得t=l或t=-l.

21

答案:A

變式提升1

設(shè)直線的參數(shù)方程為4x—5+3t,求直線的直角坐標(biāo)方程.

y=lQ-4t

解:把t=—代入y的表達(dá)式,得y=10-4(--5).化簡(jiǎn)得4x+3y-50=0.

33

這即是直線的直角坐標(biāo)方程.

溫馨提示

注意變量代換的方法.

二、直線的參數(shù)方程與傾斜角

【例2】設(shè)直線L過點(diǎn)A(2,-4),傾斜角為吟.

(1)求L的參數(shù)方程；

(2)設(shè)直線h:x-y+l=O,k與L的交點(diǎn)為B,求|AB|.

c5%

x=2+/cos——,

解：(1)由題意得!6

彳.5乃

y=-4+rsm—

即《乙(t為參數(shù)).

,1

y=-4+—t

12

(2)B在L上,只要求出B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值t,則111就是B到A的距離.

把11的參數(shù)方程代入b中，得(2-—t)-(-4+-t)+1=0,

22

—二7,

2

t--j=—=7(V3—1),

J3+1

t為正值，知1AB|=7(Q-1).

類題演練2

.4+2/,

V13

求直線li：＜

(t為參數(shù))與直線l2:x+y-2=0的交點(diǎn)到定點(diǎn)(4,3)的距離.

22

解：的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，則利用換參數(shù)的方法把li的參數(shù)方程改寫成

3c,3，

x=44+-j=?2t=4+-f=t,

V13J13,,汨公新、

（t（為參數(shù)）.

22,

y=3+-^?2f=3+^/

V13V13

把11的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入x+y-2=0中,

32

得4+-^t'+3+-；=t,-2=0.

V13V13

解得t'=-VB,kV13.

由11'|的幾何意義為交點(diǎn)到點(diǎn)(4,3)的距離，

...所求的距離為It'|=&5.

變式提升2

求經(jīng)過點(diǎn)(1,1),傾斜角為135°的直線截橢圓一+y2=l所得的弦長(zhǎng).

4

V2

1一

X=1-2

解：由條件可知直線的參數(shù)方程是＜烏(t為參數(shù)),