數(shù)值分析重要公式最終修改版

1、Doolittle分解法設(shè)A的各階主子式非奇異，那么A=LDU=L(DU)=LU1(Doolittle分解,L為單位下三角陣)=(LD)U=L1U(Crout分解,U為單位上三角陣)。例1用Doolittle分解法解方程組:解記，設(shè)由矩陣相等得，，從而由，解得：；由，解得：(1)Jacobi迭代格式，，，為初始向量（矩陣形式）A=D+L+U例設(shè)其中，試求，，解：，，，，求2Gauss–Seidel迭代法（1）迭代格式，，，為初始向量（矩陣形式）例題0構(gòu)造收斂的Gauss–Seidel迭代格式說明收斂理由行變換系數(shù)矩陣主對角線元素按行嚴(yán)格占優(yōu)迭代格式收斂，任選；k=0,1,2….例題1：確定并求代數(shù)精度令求例題2三次樣條函數(shù)【0,1】且求在【1,2】表達(dá)式設(shè)求ABCD例題3梯形法求初值公式例題4合曲線，A=b=a=2散點(diǎn)擬合例1已知012312579421試求它的最小二乘擬合曲線（。解：（1）取直角坐標(biāo)系，描點(diǎn)，由圖可知，這些點(diǎn)位于一條雙曲線附近。取，即，；，=1.842857,=1.310408，=16，=11.542857(3)解方程組，例5設(shè)，，求它在上的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：，，，，，，，，解方程組，，例題6Householder做正交相似變換化為三對角矩陣取因?yàn)?方法二1），，，，（2）得HAH例題7判斷收斂及收斂速度因0所以有m階收斂速度1．Newton迭代格式，為初值，令所以在只有一個(gè)實(shí)根至少平方收斂例題8angrange拉格朗日插值多項(xiàng)式注：n=1時(shí)，線性插值公式，,或n=2時(shí)，二次插值（或拋物線插值）公式：Newton插值多項(xiàng)式插值公式余項(xiàng)（即截?cái)嗾`差）=例題9復(fù)化梯形公式計(jì)算將[a,b]n等分，，，，在每個(gè)子區(qū)間上應(yīng)用梯形公式得復(fù)化梯形公式：，復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差：，（3）復(fù)化拋物線公式：，復(fù)化拋物線公式的截?cái)嗾`差：，例1若用復(fù)化梯形公式和復(fù)化拋物線公式計(jì)算積分，問積分區(qū)間要等分多少才能保證有5位有效數(shù)字?解由余項(xiàng)公式因?yàn)閒(x)=f(x)=…=ex,b–a=1故或由|R|10–4/2,得n(e104/6)1/2=68(梯形公式),或n(e104/1440)1/4=2.1(拋物線公式,因區(qū)間是2n,實(shí)際上還要乘以2,故6等分即可).例題10逐次分半復(fù)化梯形公式截?cái)嗾`差不超過步長為絕對誤差限滿足時(shí)就停止計(jì)算m=0時(shí)m=1,m=2,m=3,m=4,例題11Euler法求初值原始Euler法=局部截?cái)嗾`差向后Euler法截?cái)嗾`差求最佳逼近元素的步驟：所以11/21/32