數(shù)列求通項(xiàng)公式的常用方法

課題：一般數(shù)列求通項(xiàng)公式（1）一、明確目標(biāo)、自主學(xué)習(xí)掌握各種常用方法求有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式二、合作探究、問題解決1.觀察歸納法觀察法就是觀察數(shù)列特征，找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通向公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。例1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。2．定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目．例2等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為d(d>0)，∵成等比數(shù)列，點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。變式練習(xí)1：已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－13.公式法已知求，用公式例3.（1）數(shù)列的前項(xiàng)和，求；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和，求。[名師點(diǎn)評(píng)]：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并．4．由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。4．1類型1遞推公式為，其中的和比較易求，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例4.（1）數(shù)列中，已知，求。（2）數(shù)列中，已知，,求此數(shù)列的通項(xiàng)。4．2類型2遞推公式為。（1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。例5.(1)已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式。(2)已知數(shù)列滿足,且,求通項(xiàng)公式。（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推式有，，…，依次向前代入，得，簡(jiǎn)記為，這就是疊（迭）代法的基本模式。例6.在數(shù)列中,=1,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（迭代法）數(shù)列的通項(xiàng)公式為()例7.已知數(shù)列，，，求。課題：一般數(shù)列求通項(xiàng)公式（2）一、明確目標(biāo)、自主學(xué)習(xí)掌握各種常用方法求有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式二、合作探究、問題解決4．3類型3已知形如的遞推公式例8.已知數(shù)列滿足=1，，求。1.待定系數(shù)法（方法1）：形如可設(shè)，求出，即構(gòu)造出等比數(shù)列.2.構(gòu)造法（方法2）：利用和兩式相減，得到，即構(gòu)造出為等比數(shù)列，再結(jié)合累加或迭代法求出。4．4類型4.取倒數(shù)法:例9.(1)變式訓(xùn)練：已知數(shù)列滿足=2，，求。[舉一反三]：—題多解：例10.已知數(shù)列，，，求。（待定系數(shù)法）：（構(gòu)造法）：（迭代法）：例11.在數(shù)列中,=1,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。[解法1].(迭代法)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()[解法2].(構(gòu)造等差數(shù)列)兩邊同除以,得即又=1數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故=數(shù)列的通項(xiàng)公式為()[解法3].（構(gòu)造等比數(shù)列）兩邊同時(shí)減去，得即=即又=1