第一篇線性代數(shù)

第一篇線性代數(shù)contents目錄線性方程組與矩陣行列式及其應(yīng)用向量與向量空間矩陣的特征值與特征向量線性變換與矩陣表示線性方程組與矩陣01方程中未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程稱為線性方程。線性方程由兩個(gè)或兩個(gè)以上的線性方程組成的方程組稱為線性方程組。線性方程組滿足線性方程組中所有方程的未知數(shù)的值稱為解，所有解的集合稱為解集。解集線性方程組的概念矩陣的乘法滿足結(jié)合律和分配律，但不滿足交換律。數(shù)與矩陣相乘滿足結(jié)合律和分配律。矩陣的加法滿足交換律和結(jié)合律。矩陣的定義：由$mtimesn$個(gè)數(shù)排成$m$行$n$列的數(shù)表稱為一個(gè)$mtimesn$矩陣，簡(jiǎn)稱$mtimesn$陣。矩陣的性質(zhì)矩陣的定義與性質(zhì)矩陣的加法兩個(gè)矩陣只有當(dāng)它們的行數(shù)相同、列數(shù)相同時(shí)才能相加，其結(jié)果是對(duì)應(yīng)位置的元素相加。數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘時(shí)，該數(shù)乘以矩陣中的每一個(gè)元素。矩陣的乘法設(shè)$A=(a_{ij})$是一個(gè)$mtimess$矩陣，$B=(b_{ij})$是一個(gè)$stimesn$矩陣，那么規(guī)定矩陣$A$與$B$的乘積是一個(gè)$mtimesn$矩陣$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+a_{is}b_{sj}$，記為$C=AB$。矩陣的運(yùn)算行列式及其應(yīng)用02由n階方陣的元素所構(gòu)成的代數(shù)和，其值等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。行列式的定義行列式具有以下性質(zhì)行列式的性質(zhì)行列式的定義與性質(zhì)互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式的這一列（行）的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)之一，其余各列（行）元素與原行列式的對(duì)應(yīng)列（行）元素相同。行列式的定義與性質(zhì)直接計(jì)算法按照行列式的定義直接進(jìn)行計(jì)算，適用于低階行列式。降階法根據(jù)行列式的性質(zhì)，將高階行列式降為低階行列式進(jìn)行計(jì)算。三角化法通過行列式的性質(zhì)，將行列式化為上三角或下三角形式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。行列式的計(jì)算克萊姆法則克萊姆法則的內(nèi)容如果線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式不等于零，則該線性方程組有唯一解，且解可以通過系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)向量的行列式表示出來?？巳R姆法則的應(yīng)用克萊姆法則可以用于求解線性方程組，特別是當(dāng)方程組有唯一解時(shí)。同時(shí)，克萊姆法則也可以用于判斷線性方程組的解的存在性和唯一性。向量與向量空間03向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量的定義向量具有線性運(yùn)算的性質(zhì)，包括加法、數(shù)乘和數(shù)量積等。向量的性質(zhì)向量可以用坐標(biāo)表示，如二維向量(x,y)和三維向量(x,y,z)。向量的表示向量的概念與性質(zhì)03向量空間的基與維數(shù)向量空間中的一組線性無關(guān)的向量，可以生成整個(gè)空間，稱為空間的基?；膫€(gè)數(shù)稱為空間的維數(shù)。01向量空間的定義向量空間是一個(gè)集合，其中的元素稱為向量，滿足特定的加法和數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則。02向量空間的性質(zhì)向量空間具有加法封閉性、數(shù)乘封閉性、加法交換律、加法結(jié)合律、數(shù)乘分配律等性質(zhì)。向量空間的定義與性質(zhì)向量的線性相關(guān)性若干個(gè)向量通過線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘）得到的向量稱為這些向量的線性組合。線性相關(guān)與線性無關(guān)如果存在不全為零的系數(shù)，使得一組向量的線性組合為零向量，則這組向量稱為線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān)。極大線性無關(guān)組與秩向量組的一個(gè)部分組，如果滿足線性無關(guān)且能生成整個(gè)向量組，則稱為該向量組的極大線性無關(guān)組。極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。線性組合矩陣的特征值與特征向量04特征向量對(duì)應(yīng)于特征值m的非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值m的特征向量。特征多項(xiàng)式設(shè)A是n階方陣，|λE-A|叫做A的特征多項(xiàng)式。特征值設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個(gè)特征值。特征值與特征向量的概念123根據(jù)定義，計(jì)算|λE-A|，得到特征多項(xiàng)式。計(jì)算特征多項(xiàng)式令特征多項(xiàng)式為0，解出λ的值，即為特征值。求解特征值將求得的每一個(gè)特征值代入(λE-A)X=0，解出對(duì)應(yīng)的X，即為對(duì)應(yīng)于該特征值的特征向量。求解特征向量特征值與特征向量的計(jì)算如果n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化。判斷矩陣是否可對(duì)角化在數(shù)據(jù)分析和機(jī)器學(xué)習(xí)中，主成分分析是一種常用的降維方法，其中涉及到矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算。主成分分析（PCA）如果矩陣A可對(duì)角化，且已知其特征值和特征向量，則可以利用特征值和特征向量求解A的冪。求解矩陣的冪如果矩陣A的所有特征值的實(shí)部都小于0，則矩陣A是穩(wěn)定的。判斷矩陣的穩(wěn)定性特征值與特征向量的應(yīng)用線性變換與矩陣表示05線性變換定義：設(shè)V和W是數(shù)域F上的線性空間，T是從V到W的映射，若對(duì)V中任意元素α，β和數(shù)域F中任意數(shù)k，都有T(α+β)=T(α)+T(β)，T(kα)=kT(α)，則稱T為V到W的線性變換。線性變換的性質(zhì)T(0)=0；T(-α)=-T(α)；若k1，k2∈F，α1，α2∈V，則T(k1α1+k2α2)=k1T(α1)+k2T(α2)；線性變換把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組。線性變換的概念與性質(zhì)線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)T是數(shù)域F上線性空間V的一個(gè)線性變換，在V中取定一個(gè)基α1，α2，…，αn，若以α1，α2，…，αn的像T(α1)，T(α2)，…，T(αn)為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣A，則A稱為線性變換T在基α1，α2，…，αn下的矩陣。可逆性若線性變換T可逆，則其在基α1，α2，…，αn下的矩陣A也可逆。相似性若兩個(gè)線性變換在兩組不同的基下的矩陣分別為A和B，則A與B相似。唯一性線性變換T在基α1，α2，…，αn下的矩陣A是唯一的。線性變換的矩陣表示通過構(gòu)造增廣矩陣，利用初等行變換求解線性方程組。解線性方程組矩陣對(duì)角化特征值與特征向