《馬爾可夫鏈講》課件

《馬爾可夫鏈講》ppt課件目錄馬爾可夫鏈簡(jiǎn)介馬爾可夫鏈的基本性質(zhì)馬爾可夫鏈的收斂性馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法馬爾可夫鏈在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用01馬爾可夫鏈簡(jiǎn)介馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N數(shù)學(xué)模型，用于描述隨機(jī)過(guò)程在離散時(shí)間點(diǎn)上的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。馬爾可夫鏈定義為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其中每個(gè)狀態(tài)只與前一個(gè)狀態(tài)有關(guān)，當(dāng)前狀態(tài)只依賴于前一時(shí)刻的狀態(tài)，不受到過(guò)去狀態(tài)的影響。定義與特性詳細(xì)描述總結(jié)詞總結(jié)詞馬爾可夫鏈在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。詳細(xì)描述在自然語(yǔ)言處理中，馬爾可夫鏈可以用于生成文本、語(yǔ)言模型等；在金融領(lǐng)域，馬爾可夫鏈可以用于股票價(jià)格預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等；在物理學(xué)中，馬爾可夫鏈可以用于描述粒子運(yùn)動(dòng)、化學(xué)反應(yīng)等。馬爾可夫鏈的應(yīng)用場(chǎng)景馬爾可夫鏈的數(shù)學(xué)模型包括狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。總結(jié)詞狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率，而狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率表示在給定當(dāng)前狀態(tài)下，下一個(gè)狀態(tài)的概率分布。通過(guò)這些參數(shù)，可以模擬和預(yù)測(cè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程。詳細(xì)描述馬爾可夫鏈的數(shù)學(xué)模型02馬爾可夫鏈的基本性質(zhì)定義01狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率是指系統(tǒng)在某一狀態(tài)下轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)的概率，通常表示為P(Xn+1=j|Xn=i)，即系統(tǒng)在時(shí)刻n處于狀態(tài)i的條件下，在時(shí)刻n+1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。計(jì)算方法02通過(guò)觀察或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移的頻率，然后將其歸一化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。特點(diǎn)03滿足非負(fù)性、規(guī)范性、歸一性等條件，是概率論中的基本概念之一。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率定義狀態(tài)空間是指馬爾可夫鏈中所有可能的狀態(tài)的集合，通常表示為S。分類根據(jù)狀態(tài)空間是否具有可列性，可以分為有限狀態(tài)空間和無(wú)限狀態(tài)空間。如果狀態(tài)空間是有限的，則稱為有限狀態(tài)空間；如果狀態(tài)空間是無(wú)限的，則稱為無(wú)限狀態(tài)空間。應(yīng)用狀態(tài)空間的分類對(duì)于理解馬爾可夫鏈的性質(zhì)和建立模型具有重要意義。狀態(tài)空間的分類不可約性如果對(duì)于任意正整數(shù)n，從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后能夠到達(dá)任意其他狀態(tài)，則稱該馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的。不可約性是馬爾可夫鏈的一個(gè)重要性質(zhì)，它決定了馬爾可夫鏈的長(zhǎng)期行為。周期性如果存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意狀態(tài)i，從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移后能夠回到狀態(tài)i，則稱該馬爾可夫鏈具有周期性。周期性是馬爾可夫鏈的一個(gè)特殊性質(zhì)，與不可約性和正常性密切相關(guān)。正常性如果對(duì)于任意狀態(tài)i和j，從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次轉(zhuǎn)移后到達(dá)狀態(tài)j的概率大于0，則稱該馬爾可夫鏈?zhǔn)钦?guī)的或正常的。正常性是馬爾可夫鏈的一個(gè)基本性質(zhì)，它決定了馬爾可夫鏈的收斂速度和穩(wěn)定性。不可約性、周期性和正常性03馬爾可夫鏈的收斂性如果存在常數(shù)$a_1,a_2,ldots,a_n$，使得對(duì)于任意的$i,j$，有$lim_{ttoinfty}P_{ij}(t)=a_j$，則稱馬爾可夫鏈具有平均收斂性。定義如果馬爾可夫鏈具有平均收斂性，那么對(duì)于任意的初始狀態(tài)$i$，有$lim_{ttoinfty}P_i(t)=a$，其中$P_i(t)$表示在時(shí)刻$t$處于狀態(tài)$i$的概率。性質(zhì)平均收斂性在統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如在人口動(dòng)態(tài)模型、股票市場(chǎng)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。應(yīng)用平均收斂性幾何收斂性如果存在常數(shù)$0<r<1$和$a_1,a_2,ldots,a_n$，使得對(duì)于任意的$i,j$，有$lim_{ttoinfty}P_{ij}(t)=a_jr^t$，則稱馬爾可夫鏈具有幾何收斂性。性質(zhì)如果馬爾可夫鏈具有幾何收斂性，那么對(duì)于任意的初始狀態(tài)$i$，有$lim_{ttoinfty}P_i(t)=a$，其中$P_i(t)$表示在時(shí)刻$t$處于狀態(tài)$i$的概率。應(yīng)用幾何收斂性在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息論、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如在搜索引擎排名、網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。定義定義如果狀態(tài)空間可以被劃分為若干個(gè)不相交的子集，使得馬爾可夫鏈在每個(gè)子集內(nèi)部的狀態(tài)轉(zhuǎn)移與子集外部的狀態(tài)轉(zhuǎn)移相互獨(dú)立，則稱狀態(tài)空間具有分解性。性質(zhì)如果狀態(tài)空間具有分解性，那么馬爾可夫鏈的收斂性、平穩(wěn)分布等性質(zhì)可以由每個(gè)子集內(nèi)部的轉(zhuǎn)移矩陣單獨(dú)決定。應(yīng)用狀態(tài)空間的分解在處理大規(guī)模馬爾可夫鏈、降低計(jì)算復(fù)雜度等方面有重要的應(yīng)用價(jià)值。例如，在自然語(yǔ)言處理中，可以將詞向量空間劃分為若干個(gè)主題，利用主題內(nèi)的轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行文本生成。狀態(tài)空間的分解04馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布平穩(wěn)分布是一種狀態(tài)概率分布，它不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化，即無(wú)論馬爾可夫鏈從哪個(gè)狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，系統(tǒng)將趨于這種分布。平穩(wěn)分布的概率分布函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)的狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣有關(guān)。在平穩(wěn)分布下，系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的次數(shù)趨于平衡，每個(gè)狀態(tài)的平均逗留時(shí)間也趨于穩(wěn)定。平穩(wěn)分布的定義存在性定理的證明基于遍歷理論，即如果馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的，那么它必然存在平穩(wěn)分布。遍歷性是指馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣趨向于一個(gè)極限矩陣，這個(gè)極限矩陣對(duì)應(yīng)的概率分布就是平穩(wěn)分布。存在性定理是指對(duì)于任意給定的馬爾可夫鏈，都存在至少一個(gè)平穩(wěn)分布。存在性定理高階矩法通過(guò)計(jì)算馬爾可夫鏈的高階矩（如二階矩、三階矩等），可以得到平穩(wěn)分布的近似解。迭代法通過(guò)迭代計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣的冪，可以得到平穩(wěn)分布的近似解。具體來(lái)說(shuō)，從初始概率分布出發(fā)，反復(fù)乘以轉(zhuǎn)移概率矩陣，最終收斂于平穩(wěn)分布。矩陣幾何法對(duì)于具有離散狀態(tài)的馬爾可夫鏈，可以通過(guò)求解特征方程得到平穩(wěn)分布。具體來(lái)說(shuō)，設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣的特征值為λ，特征向量為π，則平穩(wěn)分布為π/π的期望值。010203計(jì)算方法05馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法算法概述構(gòu)造馬爾可夫鏈、初始化狀態(tài)、迭代轉(zhuǎn)移狀態(tài)、收斂性判斷、輸出樣本。算法步驟馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法是一種基于隨機(jī)抽樣的統(tǒng)計(jì)推斷方法，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)馬爾可夫鏈，使其平穩(wěn)分布為目標(biāo)分布，從而獲得目標(biāo)分布的樣本。算法定義基于馬爾可夫鏈的性質(zhì)，通過(guò)不斷迭代轉(zhuǎn)移狀態(tài)，最終達(dá)到平穩(wěn)分布，從而獲得目標(biāo)分布的近似樣本。算法原理

重要抽樣技術(shù)隨機(jī)抽樣從目標(biāo)分布中隨機(jī)抽取樣本的技術(shù)，是MCMC方法的基礎(chǔ)。接受-拒絕抽樣根據(jù)接受概率判斷是否接受樣本的技術(shù)，可以提高樣本的質(zhì)量和效率。哈密頓蒙特卡洛方法通過(guò)構(gòu)造一個(gè)物理系統(tǒng)模擬目標(biāo)分布的樣本，可以更準(zhǔn)確地模擬目標(biāo)分布。接受-拒絕抽樣技術(shù)接受概率根據(jù)目標(biāo)分布和當(dāng)前狀態(tài)計(jì)算出的概率，用于判斷是否接受當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移為下一個(gè)狀態(tài)。拒絕概率根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和接受概率計(jì)算出的概率，用于判斷是否拒絕當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移為下一個(gè)狀態(tài)。接受-拒絕抽樣過(guò)程根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和接受概率計(jì)算出接受該狀態(tài)的概率，如果該概率大于隨機(jī)數(shù)，則接受該狀態(tài)作為下一個(gè)狀態(tài)，否則拒絕并重新抽樣。接受-拒絕抽樣的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，缺點(diǎn)是可能產(chǎn)生大量無(wú)效樣本。06馬爾可夫鏈在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用去除重復(fù)、錯(cuò)誤或不完整的數(shù)據(jù)，確保數(shù)據(jù)質(zhì)量。數(shù)據(jù)清洗從原始數(shù)據(jù)中提取與目標(biāo)變量相關(guān)的特征。特征提取將非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，便于分析。數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換將不同量綱或量級(jí)的數(shù)據(jù)統(tǒng)一到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)。數(shù)據(jù)歸一化數(shù)據(jù)處理與預(yù)處理根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)和業(yè)務(wù)需求選擇合適的馬爾可夫鏈模型。模型選擇根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和業(yè)務(wù)理解設(shè)置模型參數(shù)。參數(shù)設(shè)置使用歷史數(shù)據(jù)訓(xùn)練馬爾可夫鏈模型。模型訓(xùn)練基于訓(xùn)練好的模型對(duì)未來(lái)或未知數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和推斷。預(yù)測(cè)與推斷模型訓(xùn)練