初中數(shù)學八年級上冊 角平分線的性質(zhì)定理 全市一等獎

角平分線的性質(zhì)定理15.4角的平分線復習提問1、什么叫角平分線？一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12復習提問2、點到直線距離:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。OPAB

在半透明的紙上畫∠BAC，對折，使角的兩條邊完全重合，然后用直尺畫出折痕OD.

從上面試驗可以看出，角是軸對稱圖形，對稱軸是它的角平分線所在的直線.BCAD情景引入

不利用作圖工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？探究:

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？用尺規(guī)作圖的方法作出角的平分線已知：如圖，∠AOB。求作：∠AOB的平分線。OABCMN畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．BA.CE

D畫法：

１．以C為圓心，適當長為半徑作弧，交ＡB于D,E．２．分別以D，E為圓心．大于1/2DE的長為半徑作?。畠苫〗挥贔．３．作直線FＣ．直線FＣ．即為所求．FAD過直線外一點作這條直線的垂線BE.kc畫法：

１．任意取一點K，使K和C在ＡB兩旁．

3．分別以D，E為圓心．大于1/2DE的長為半徑作?。畠苫〗挥贔．4．作直線FＣ。即為所求．

2．以C為圓心，CK長為半徑作弧，交ＡB于D,E．F角平分線的性質(zhì)已知：如下圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。求證：PD=PE。12ABDEPOC定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等∴PD=PE(全等三角形的對應邊相等)。證明：∴OC是∠AOB的平分線(已知)，∴∠1=∠2(角平分線的定義)?！逷D⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO(已證)，∠1＝∠2(已證)，OP＝OP(公共邊)，∴△PDO≌△PEO(AAS)。12ABDEPOC已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：

PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，在Rt

△PDO與Rt

△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即點P在∠AOB的平分線上

反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？

角平分線的判定定理：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上．

小結：角平分線的性質(zhì)定理和角平分線的判定定理是證明角相等、線段相等的新途徑．例1:已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P在∠BAC的角平分線上ABCMNPDEF證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，

∴PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）．同理，PE=PF．∴PD=PF．∴AP平分∠BAC

已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F。求證：點F在∠DAE的平分線上。CD

A

B

FE

OQP變式

CD

A

B

PE

例2.已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點P。求證：（1）點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等；（2）點P在∠DAE的平分線上。又∵點P在∠CBD的角平分線∴PM=PK（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）同理PN=PK∴PM=PK=PN即，點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等（2）∵PM=PN（已證）∴點P在∠DAE的平分線上（到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）(已知)MNKCD

A

B

PE

證明：（1）過點P分別作AB，AE，BC所在直線的垂線，垂足分別是點M，N，K.例3.要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該集貿(mào)市場應建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路2.5cm解：設要截取的長度為Ｘm,則：

解得：Ｘ＝0.0250.025m＝2.5cm則點Ａ即為所求的點Ａ

例4.如圖，已知△ABC的外角∠DAB和∠ABE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DCE的平分線上．ABCFED證明：過點F作FG⊥AD于G，F(xiàn)H⊥BE于H，F(xiàn)M⊥AB于M，∵點F在∠DAB的平分線上，F(xiàn)G⊥AD，F(xiàn)M⊥AB，∴FG=FM．又∵點F在∠ABE的平分線上，F(xiàn)H⊥BE，F(xiàn)M⊥AB，∴FM=FH，∴FG=FH，∴點F在∠DAE的平分線上．FABCEDGHM∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：練習∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等1.如圖，在△ABC中，D是BC的中點,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD鞏固提高

2.在△ABC中，∠C=90°，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的長。EDCBA3.如圖，在△ABC中，∠C=90°AD是∠