江西省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題2

江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)k的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角與斜率之間的關(guān)系代入計(jì)算即可得.【詳解】由題意可知，直線的斜率為，解得．故選：B．2.過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線的平行系方程及點(diǎn)在直線上即可求解.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以所求直線的方程為.故選：A.3.已知點(diǎn)P是雙曲線：上一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，若，則（）A.5 B.13 C.5或9 D.5或6【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義求解.【詳解】由題意可知，，，若，則或9．故選：C4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若，且，則滿足條件的點(diǎn)P共有（）A.15個(gè) B.20個(gè) C.25個(gè) D.30個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知從這六個(gè)整數(shù)中選出3個(gè)再按照從小到大的順序排列即可求得結(jié)果.【詳解】由可知，滿足條件點(diǎn)P即從1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)中選3個(gè)數(shù)，然后按從小到大的次序分配給a，b，c，則共有個(gè)．故選：B．5.已知直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，則的周長為（）A.26 B.18 C.14 D.13【答案】B【解析】【分析】先得到圓心和半徑，進(jìn)而求得弦長即可.【詳解】由，得，所以圓心為,半徑，圓心C到直線l的距離，所以，所以的周長為．故選：B．6.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線的斜率的最大值是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由建立關(guān)于k的不等式，解之即可求解.【詳解】設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為，由題意得直線與拋物線C有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，得，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得且，綜上所述，k的最大值為．故選：D．7.楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由組合性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為,故選：B．8.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長都相等的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)且，若直線與直線所成角的余弦值為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量求線線角含參數(shù)問題，將該幾何體還原成正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求解.【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)半正多面體的棱長為，則正方體的棱長為2，所以，，所以，則，設(shè)直線與直線所成角為，則，即，解得或（舍）.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可以是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓以及雙曲線，以及橢圓的性質(zhì)即可分類討論求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，方程可以化簡為，曲線圓；當(dāng)，且時(shí)，或，曲線是橢圓；當(dāng)時(shí)，或，曲線是雙曲線．故選:ABC．10.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形依次判斷即可求解.【詳解】A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為為C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為5 D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用拋物線的定義判斷；對于B，與拋物線方程聯(lián)立，借助對稱思想判斷；對于C，利用三角形兩邊的和大于第三邊判斷；對于D，利用三角形兩邊的差小于第三邊判斷，結(jié)合拋物線的定義判斷作答.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為拋物線與圓的交點(diǎn)，二者聯(lián)立并消去y，得，所以，又，所以，故B正確；過B作l的垂線，垂足為，當(dāng)P為與C的交點(diǎn)時(shí)，P,B,F三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為5，故C正確；當(dāng)點(diǎn)P為線段的延長線與C的交點(diǎn)時(shí)，P,B,F三點(diǎn)共線時(shí)最大，最大值為，故D正確．故選:BCD．12.如圖，在長方體中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)F，使得 B.滿足的點(diǎn)F的軌跡長度為C.的最小值為 D.若平面，則線段長度的最小值為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量法判斷直線的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)，推出F點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，可求得F的軌跡長度，判斷C；利用點(diǎn)的對稱點(diǎn)，結(jié)合空間兩點(diǎn)的距離公式可判斷C；求出平面的法向量，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證法求出，結(jié)合空間兩點(diǎn)間距離公式以及二次函數(shù)性質(zhì)，可判斷D.【詳解】以A為原點(diǎn)，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對于選項(xiàng)A，若，則，又，所以，即，此方程無解，所以不存在點(diǎn)F，使得，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，由，得，化簡可得，即F點(diǎn)軌跡為矩形內(nèi)的線段，又，所以當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，即滿足的點(diǎn)F的軌跡長度為，故B正確；對于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為，則，共線時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，即，又點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷線線和線面位置關(guān)系，對于D選項(xiàng)還需結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)從而得到其最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.方程（且）的解為___________．【答案】2或4【解析】【分析】結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)運(yùn)算即可得.【詳解】由題意，可知，則，所以或.故答案為：2或4.14.已知平面的法向量為，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離為____________．【答案】1【解析】【分析】利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離即可.【詳解】由題意得，故點(diǎn)P到平面的距離故答案為：115.若的展開式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)___________．【答案】2【解析】【分析】先得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的展開式中含的項(xiàng)為，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的展開式中含的項(xiàng)為，由題意知，解得．故答案為：216.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，的延長線交橢圓C于點(diǎn)Q，且，的面積為，記與的面積分別為，，則___________．【答案】##【解析】【分析】用橢圓的定義和焦點(diǎn)三角形中余弦定理得到的結(jié)論為突破口，結(jié)合三角形的面積公式解決問題.【詳解】不妨設(shè)，，焦距，如圖：由的面積為，得，由余弦定理，得，則，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.根據(jù)張桂梅校長真實(shí)事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學(xué)組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）2名女教師必須坐在一起坐法有多少種？（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？【答案】（1）48（2）72【解析】【分析】（1）捆綁法結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理即可；（2）插空法結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理即可；【小問1詳解】根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，將排好的女教師視為一個(gè)整體，與3名男教師進(jìn)行排列，共有種坐法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種坐法．【小問2詳解】根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，再在這3名男教師之間及兩頭的4個(gè)空位中插入2名女教師，有種坐法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種坐法．18.如圖，正方體的棱長為2．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直接由線面平行的判定定理證明即可.（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量、平面的法向量，由線面角的正弦值公式運(yùn)算即可.【小問1詳解】平面平面，平面．【小問2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面的法向量為，由得，令，得，．所以直線與平面所成角的正弦值為．19.的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為a，各項(xiàng)系數(shù)之和為b，且．（1）求n的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）9（2）672【解析】【分析】（1）根據(jù)，，可求解出的值；（2）寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后考慮的指數(shù)為，由此可求對應(yīng)的值，代入可求常數(shù)項(xiàng).【小問1詳解】由題意得，，因?yàn)?，所以，所以，解得．【小?詳解】的展開式的通項(xiàng)，令，得，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．20.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，點(diǎn)在棱上，且．（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得，根據(jù)、得出，即，再由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得答案；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由面面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，，在中，，又，均為銳角，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，平面，且，所以平面，又平面，所以；【小?詳解】由題意知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，令，則，，所以，設(shè)二面角的大小為，由題意知為銳角，所以．21.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切.（1）求的“歐拉線”方程；（2）若圓M與圓有公共點(diǎn)，求a的范圍；（3）若點(diǎn)在的“歐拉線”上，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得出等腰三角形歐拉線為底邊上的垂直平分線，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）因兩圓有公共點(diǎn)，利用兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系求出的范圍（3）依題意，轉(zhuǎn)化為直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱求出對稱點(diǎn)即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點(diǎn)，且與直線垂直，由可得：的中點(diǎn)，即，所以，故的方程為.【小問2詳解】因?yàn)榕c圓相切，故，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則要想圓與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，所以.【小問3詳解】因?yàn)?，所以該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，所以上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則有解得，即.所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.22.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于其到直線距離的2倍，記點(diǎn)P的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為k的直線l與曲線交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,證明：為定