高一數(shù)學(xué)必修四課件第章向量的概念及表示

高一數(shù)學(xué)必修四課件第章向量的概念及表示匯報(bào)人：XX2024-01-20XXREPORTING目錄向量概念引入向量表示方法向量運(yùn)算規(guī)則向量共線與垂直關(guān)系平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算簡(jiǎn)介PART01向量概念引入REPORTINGXX在物理學(xué)中，力是一個(gè)向量，可以通過(guò)平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行合成或分解。力的合成與分解位移和速度也是向量，它們不僅有大小，還有方向。在解決物理問(wèn)題時(shí)，需要用到向量的加減、數(shù)乘等運(yùn)算。位移與速度物理背景與實(shí)例向量是具有大小和方向的量，通常用有向線段表示。向量的大小稱(chēng)為向量的模，方向由起點(diǎn)指向終點(diǎn)的射線表示。向量具有線性運(yùn)算性質(zhì)，包括向量的加法、減法、數(shù)乘等。此外，向量還具有一些特殊性質(zhì)，如零向量、單位向量、共線向量等。數(shù)學(xué)定義及性質(zhì)性質(zhì)定義標(biāo)量是只有大小沒(méi)有方向的量，而向量是既有大小又有方向的量。定義不同標(biāo)量的運(yùn)算遵循代數(shù)運(yùn)算法則，而向量的運(yùn)算需要遵循特定的運(yùn)算法則，如平行四邊形法則、三角形法則等。運(yùn)算不同標(biāo)量在日常生活和科學(xué)研究中廣泛應(yīng)用，而向量在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。應(yīng)用領(lǐng)域不同向量與標(biāo)量區(qū)別PART02向量表示方法REPORTINGXX零向量表示為沒(méi)有長(zhǎng)度的有向線段，即一個(gè)點(diǎn)。相等向量表示為長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)有向線段。向量可以用有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。幾何表示法在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示，如向量a=(x,y)。有序數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)表示向量在x軸上的投影長(zhǎng)度，第二個(gè)數(shù)表示向量在y軸上的投影長(zhǎng)度。零向量表示為(0,0)。坐標(biāo)表示法有向線段表示法是在幾何表示法的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)形式表示向量的一種方法。有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)相減，得到的差就是該向量的坐標(biāo)表示。如起點(diǎn)A(x1,y1)，終點(diǎn)B(x2,y2)，則向量AB=(x2-x1,y2-y1)。有向線段表示法PART03向量運(yùn)算規(guī)則REPORTINGXX兩個(gè)向量首尾相接，從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就是這兩個(gè)向量的和。三角形法則平行四邊形法則坐標(biāo)運(yùn)算以?xún)蓚€(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線就代表兩個(gè)向量的和。若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。030201加法運(yùn)算規(guī)則實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|λa|=|λ|*|a|；當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0。坐標(biāo)運(yùn)算若向量a=(x,y)，則λa=(λx,λy)。數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則向量減法向量AB-向量AC=向量CB，即“共同起點(diǎn)，指向被減”，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。三角形法則差向量等于被減向量的終點(diǎn)指向減向量的終點(diǎn)。減法運(yùn)算規(guī)則PART04向量共線與垂直關(guān)系REPORTINGXX性質(zhì)零向量與任何向量共線。若兩非零向量共線，則它們的方向相同或相反。若向量$vec{a}$與$vec$共線，則它們所在直線平行或重合。定義：若向量$vec{a}$與$vec$滿足$vec{a}=kvec$（$k$為實(shí)數(shù)），則稱(chēng)$vec{a}$與$vec$共線。共線向量定義及性質(zhì)定義：若向量$vec{a}$與$vec$滿足$vec{a}cdotvec=0$，則稱(chēng)$vec{a}$與$vec$垂直，記作$vec{a}perpvec$。性質(zhì)零向量與任何向量垂直。若兩非零向量垂直，則它們的方向互相垂直。若向量$vec{a}$與$vec$垂直，且$|vec{a}|=|vec|$，則$vec{a}+vec$與$vec{a}-vec$垂直。0102030405垂直向量定義及性質(zhì)判斷共線通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算判斷：若兩向量的坐標(biāo)成比例，則它們共線。通過(guò)向量運(yùn)算判斷：若存在實(shí)數(shù)$k$使得$vec{a}=kvec$，則$vec{a}$與$vec$共線。判斷垂直通過(guò)數(shù)量積判斷：若$vec{a}cdotvec=0$，則$vec{a}$與$vec$垂直。通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算判斷：若兩向量的坐標(biāo)滿足特定條件（如二維平面上，一個(gè)向量的橫坐標(biāo)與另一個(gè)向量的縱坐標(biāo)之和為零），則它們垂直。判斷方法舉例PART05平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算REPORTINGXX平面向量基本定理如果$vec{e_1}$和$vec{e_2}$是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量$vec{a}$，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)$lambda_1$和$lambda_2$，使得$vec{a}=lambda_1vec{e_1}+lambda_2vec{e_2}$。向量的線性組合由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合。共線向量定理向量$vec{a}$與非零向量$vec$共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)$lambda$，使得$vec{a}=lambdavec$。平面向量基本定理內(nèi)容向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與$x$軸、$y$軸方向相同的兩個(gè)單位向量$\vec{i}$、$\vec{j}$作為基底。對(duì)于平面內(nèi)任一向量$\vec{a}$，存在唯一一對(duì)有序?qū)崝?shù)$(x,y)$，使得$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$。此時(shí)，有序?qū)崝?shù)對(duì)$(x,y)$稱(chēng)為向量$\vec{a}$的坐標(biāo)，記作$\vec{a}=(x,y)$。坐標(biāo)運(yùn)算公式推導(dǎo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法減法數(shù)乘坐標(biāo)運(yùn)算公式推導(dǎo)01020304設(shè)$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec=(x_2,y_2)$，則$vec{a}+vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$vec{a}-vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)$$lambdavec{a}=(lambdax_1,lambday_1)$，其中$lambda$為實(shí)數(shù)。例一：已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，求$\vec{a}+\vec$和$2\vec{a}-\vec$。應(yīng)用舉例解：根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算公式，有$vec{a}+vec=(2+(-1),3+2)=(1,5)$$2vec{a}-vec=2(2,3)-(-1,2)=(4,6)-(-1,2)=(5,4)$應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例二已知點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，求向量$overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)。解根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，有PART06空間向量及其運(yùn)算簡(jiǎn)介REPORTINGXX向量是既有大小又有方向的量，用有向線段表示。向量的定義在空間中，具有大小和方向的量稱(chēng)為空間向量?？臻g向量的概念空間向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。空間向量的表示空間向量概念引入向量的加法向量的減法向量的數(shù)乘向量的數(shù)量積空間向量運(yùn)算規(guī)則滿足平行四邊形法則或三角形法則。實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，其模等于該實(shí)數(shù)與向量模的積，方向與該實(shí)數(shù)正負(fù)有關(guān)。滿足三角形法則，差向量的方向由被減向量指向減向量。兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，等于兩向量模的積與兩向量夾角的余弦的乘積。力的合成與分解01在物理學(xué)中，力是矢量，可以用向量表示。通過(guò)向量的合成與分解，可以計(jì)算多