CH1第5節(jié) 條件概率

一、條件概率二、乘法定理三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結(jié)第五節(jié)條件概率

將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件A為“至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”.現(xiàn)在來(lái)求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.分析事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,記為1.引例一、條件概率同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.2.定義3.性質(zhì)二、乘法定理例1在標(biāo)有1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字的卡片里,無(wú)放回地抽取兩次,一次一張,求

(1)第一次取到奇數(shù)卡片的概率;(2)已知第一次取到偶數(shù),求第二次取到奇數(shù)卡片的概率;(3)第二次才取到奇數(shù)卡片的概率.

解設(shè)A,B分別表示第一次和第二次取到奇數(shù)卡片這兩個(gè)事件,則P(A)=例2

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例4

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫(xiě)著“有”字，

三個(gè)鬮內(nèi)不寫(xiě)字，五人依次抓取,問(wèn)各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

依此類推故抓鬮與次序無(wú)關(guān).

例5

一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

波里亞罐子模型b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.

”

b個(gè)白球,r個(gè)紅球隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.解

設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例6

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.所以練習(xí)

某人外出旅游兩天,需知道兩天的天氣情況,據(jù)預(yù)報(bào),第一天下雨的概率為0.6,第二天下雨的概率為0.3,兩天都下雨的概率為0.1.求第一天下雨時(shí),第二天不下雨的概率.解:

設(shè)A1與A2

分別表示第一與第二天下雨條件概率與無(wú)條件概率之間的大小無(wú)確定關(guān)系上例中若一般地人們?cè)谟?jì)算某一較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，有時(shí)根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個(gè)或若干互不相容的部分的并，分別計(jì)算概率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式，它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題化繁就簡(jiǎn)，得以解決.三、全概率公式與貝葉斯公式1.樣本空間的劃分三、全概率公式與貝葉斯公式2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個(gè)擊破說(shuō)明

全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例7

有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%

，三廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例(敏感性問(wèn)題的調(diào)查)學(xué)生考試作弊會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)風(fēng)和大學(xué)生身心健康發(fā)展，但這些都是避著教師進(jìn)行的，屬于不光彩行為，要調(diào)查考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占比率P是一件難事，這里關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密，經(jīng)過(guò)多年研究與實(shí)踐，一些心理學(xué)家與統(tǒng)計(jì)學(xué)家設(shè)計(jì)了一種調(diào)查方案，這個(gè)方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：你的生日是否在7月1日之前？

問(wèn)題2：你是否在考試時(shí)作過(guò)弊？

被調(diào)查者只需回答其中一個(gè)問(wèn)題至于回答哪一個(gè)問(wèn)題由被調(diào)查者事先從一個(gè)罐中隨機(jī)抽取一只球，看過(guò)顏色后再放回，若抽出白球則回答問(wèn)題1；若抽出紅球則回答問(wèn)題2，罐中只有白球與紅球，且紅球的比率是已知的，即

P(紅球)=π

，P(白球)=1-π被調(diào)查者無(wú)論回答問(wèn)題1還是問(wèn)題2，只需在下面答卷上認(rèn)可的方框內(nèi)打勾，然后將答卷放入一只密封的投票箱內(nèi).是

否答案

上述抽球與答卷都是在一間無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行的，任何外人都不知道調(diào)查者抽到什么顏色的球和在什么地方打勾，如果向被調(diào)查者講清楚這個(gè)方案的做法，并嚴(yán)格執(zhí)行，那么就容易被調(diào)查者確信他（她）參加這次調(diào)查不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而愿意參加調(diào)查.

當(dāng)有較多的人參加調(diào)查后，就可以打開(kāi)投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì).設(shè)有張答卷，其中張答“是”，于是回答“是”的比率是，可用頻率去估計(jì)，記為(是)=，這里答“是”有兩種情況：一種是摸到白球后回答問(wèn)題1答“是”，這是一個(gè)條件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般認(rèn)為是0.5，即

(是)=0.5另一種是摸到紅球后回答問(wèn)題2答“是”，這也是一個(gè)條件概率，它不是別的，就是考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占比率，即(是)=最后利用全概率公式把上述各項(xiàng)概率（或其估計(jì)值）聯(lián)系起來(lái)(是)=(是白球)(白球)+(是紅球)(紅球)由此可獲得感興趣的比率

=稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式證明例8解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解例9由貝葉斯公式得所求概率為上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率解例10由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.伊索寓言“孩子與狼”講的是一個(gè)小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒(méi)。第一天，他在山上喊“狼來(lái)了，狼來(lái)了”，山下的村名聞聲便去打狼，可到山上，發(fā)現(xiàn)狼沒(méi)來(lái)；第二天仍是如此；第三天，狼真的來(lái)了，可無(wú)論小孩怎么喊叫，也沒(méi)有人來(lái)救他，因?yàn)榍皟纱嗡f(shuō)了謊，人們不再相信他。

例（狼來(lái)了！）首先記事件A為“小孩說(shuō)謊”，記事件B為“小孩可信”。不妨假設(shè)村民過(guò)去對(duì)這個(gè)小孩的印象為第一次村民山上打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒(méi)來(lái)，即小孩說(shuō)了謊(A)，村民根據(jù)這個(gè)信息，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度改變?yōu)檫@表明村民上了一次當(dāng)之后，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度由原來(lái)的0.8調(diào)整為0.444，在此基礎(chǔ)上調(diào)整根據(jù)調(diào)整后的信息，我們?cè)僖淮芜\(yùn)用貝葉斯公式來(lái)計(jì)算亦即這個(gè)小孩第二次說(shuō)謊后，村民對(duì)他的可信程度改變?yōu)檫@表明村民們經(jīng)過(guò)兩次上