初中數(shù)學(xué)八年級上冊 用完全平方公式進(jìn)行因式分解

用完全平方公式進(jìn)行因式分解

完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

簡記為：(a±b)2=a2±2ab+b2

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡便計(jì)算。a2±2ab+b2=(a±b)2

多項(xiàng)式整式的乘積形式因此完全平方公式滿足：

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)（“兩個(gè)”）整式的積的形式，這種變形實(shí)際上就是我們學(xué)過的因式分解的變形。

因此因式分解的公式法中的第二種方法就是“完全平方公式法”應(yīng)用完全平方式：

a2±2ab+b2=(a±b)2

完全平方式的特點(diǎn)：

1.必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）

2.其中有兩個(gè)是平方項(xiàng)且平方項(xiàng)前面符號(hào)同“+”同“-”

3.有一項(xiàng)為平方項(xiàng)底數(shù)的2倍（±2倍）簡記口訣：

首平方，尾平方，首尾二倍在中央。例1：下列各式是不是完全平方式

(1)a2+b2+2ab(2)-2xy+x2+y2(3)6x2-9xy+10y2(4)4a2+12ab+9b2(5)x2+x+(6)a2+6ab+b2(7)-x2+2xy-y2(8)x2+y2是是是是是不是不是不是例2：請補(bǔ)上一項(xiàng)，使下列多項(xiàng)式成為完全平方式。(1)x2+-------------------------+y2

(2)4a2+9b2+----------------------(3)x2----------------------+81y2(4)x4+2x2y2+---------------------

(±2xy)(±12ab)(±18xy)y4例3：把下列完全平方式因式分解：

（1）x2+14x+49(解析：x2+14x+49

因此，x2+14x+49是一個(gè)完全平方式，可以用完全平方式進(jìn)行因式分解）解：x2+14x+49=x2+2.x.7+72

=(x+7)2

x22.x.772(2)(m+n)2-6(m+n)+9解析：

(m+n)2-6(m+n)+9

解：(m+n)2-6(m+n)+9=（m+n)2-2.(m+n).3+32

=[(m+n)-3]2

=(m+n-3)2（m+n)22.(m+n).3

32例4：把下列各式因式分解：

(1)3ax2+6axy+3ay2(2)

-x2-4y2+4xy(解析：（1）不能直接用完全平方式，可以先把多項(xiàng)式中各項(xiàng)公因式提出來后，再運(yùn)用完全平方公式。（2）中平方項(xiàng)的前面是“-”的，因此需要先把“-”變成“+”，所以可以先提取“-”號(hào)出來。）解：(1)3ax2+6axy+3ay2

=3a.x2+3a.2xy+3a.y2

=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2

(2)-x2-4y2+4xy

解：-x2-4y2+4xy=-（x2+4y2-4xy)

=-（x2-4xy+4y2)

=-[x2-4xy+(2y)2]

=-[x2-2.x.2y+(2y)2]

=-(x-2y)24y2=22y2=（2y）2運(yùn)用了積的乘方的逆運(yùn)用公式！鞏固練習(xí)：分解因式：

(1)－2xy－x2－y2(2)4(m+n)2+24(m+n)+36(3)ax2+2a2x+a3

(解析：）

(1)－2xy－x2－y2解：原式=-(2xy+x2+y2)=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2

(2)4(m+n)2+24(m+n)+36

解：原式=[2(m+n)]2+2×2（m+n)×6+62=[2(m+n)+6]2=(2m+2n+6)2=[2(m+n+3)]2=4(m+n+3)2

(3)ax2+2a2x+a3

解：原式=a.x2+a.2ax+a.a2=a(x2+2ax+a2)=a(x2+2.x.a+a2)=a(x+a)2

一個(gè)同學(xué)寫出多項(xiàng)式（用完全平方公式進(jìn)行因式分解的），另外一個(gè)同學(xué)進(jìn)行解答。

我來寫我來算課堂小結(jié)：1.如何用完全平方公式的逆運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解？a2±2ab+b2=(a±b)22.完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？（1）必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）（2）其中有兩個(gè)是平方項(xiàng)且平方項(xiàng)前面的符號(hào)同“