初中數(shù)學(xué)九年級下冊1 投影“衡水杯”一等獎

25.1投影投影所在的平面叫做投影面．照射光線叫做投射線投影投影面投射線

一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection）投影

例如，物體在太陽光的照射下形成的影子（簡稱日影）就是平行投影．日影的方向可以反映時間，平行投影

有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線，由平行光線形成的投影是平行投影．我國古代的計時器日晷，就是根據(jù)日影來觀測時間的．例如：物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成影子就是中心投影．

由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．中心投影(1)(2)(3)圖中表示一塊三角尺在光線照射下形成投影，其中圖（1）與圖（2）（3）的投射線有什么區(qū)別？圖（2）（3）的投射線與投影面的位置關(guān)系有什么區(qū)別？（3）中投射線垂直照射投影面（即投射線正對著投影面），我們也稱這種情形為投射線垂直于投影面．像圖（3）這樣，投射線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．觀察

圖（1）中的投射線集中于一點，形成中心投影；

圖（2）（3）中，投射線互相平行，形成平行投影；圖（2）中，投射線斜著照射投影面；在實際制圖中，人們經(jīng)常采用正投影．中心投影、平行投影正投影如圖，把一根直的細(xì)鐵絲（記為線段AB）放在三個不同位置；觀察pABA1B1ABABB3B2A2三種情形下鐵絲的正投影各是什么現(xiàn)狀？（1）鐵絲平行于投影面；（2）鐵絲傾斜于投影面；（3）鐵絲垂直于投影面（鐵絲不一定要與投影面有公共點）．（1）當(dāng)線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，線段與它的投影的大小關(guān)系為AB_____A1B1；（2）當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，線段與它的投影的大小關(guān)系為AB______A2B2;（3）當(dāng)線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個________通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)：pABA1B1ABABA3(B3)B2A2=>點A3(B3)觀察如圖，把一塊正方形硬紙板P（例如正方形ABCD）放在三個不同位置：（1）紙板平行于投影面；（2）紙板傾斜于投影面；（3）紙板垂直于投影面．三種情形下紙板的正投影各是什么現(xiàn)狀？ABCDA′B′C′D′ABCDA′B′C′D′ABCDQA′(B′)D′(C′)

（3）當(dāng)紙板P垂直于投影面Q時，P的正投影成為_______________．通過觀察、測量可知：（1）當(dāng)紙板P平行于投影面Q時，P的正投影與P的_________________；（2）當(dāng)紙板P傾斜于投影面Q時，P的正投影與P的___________________；形狀、大小一樣形狀、大小發(fā)生變化一條線段ABCDA′B′C′D′ABCDA′B′C′D′ABCDA′(B′)D′(C′)

Q歸納一般地，平面圖形的正投影有如下規(guī)律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段（點）特別地，當(dāng)物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同．它可以反應(yīng)物體一個側(cè)面的形狀，人們經(jīng)常根據(jù)這一規(guī)律繪制物體的圖形

例：畫出如圖擺放的長方體在投影面P上的正投影．（1）長方體的一個面ABCD平行于投影面P（2）長方體的一個面ABCD傾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的對角線AE垂直于投影面P．ABCDABCFGDEHABCDA′B′C′D′ABCDA′B′C′D′EFGF′G′H

分析：（1）當(dāng)長方體如圖的位置時，長方體的一個面ABCD及與其相對的另一面與投影面平行，這兩個面的正投影是與長方體的一個面的形狀、大小完全相同的矩形A′B′C′D′．正方形A′B′C′D′的四條邊分別是正方體其余四個面（這些面垂直于投影面）的投影．因此，長方體的正投影是一個矩形．（2）當(dāng)長方體在如圖的位置時，它的面ABCD和面ABGF傾斜于投影面，它們的投影分別是矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方體其余兩個側(cè)面的投影也分別是上述矩形；上、下地面的投影分別是線段D′F′和C′G′．因此，長方體的投影是矩形F′G′C′D′，其中線段A′B′把矩形一分為二．（2）如圖，長方體的正投影為矩形F′G′C′D′，這個矩形的長等于長方體的底面對角線長，矩形的寬等于長方體的高．矩形上、下兩邊中點連線A′B′是長方體的高線AB及它所對的另一條高線EH的投影．解：（1）如圖，長方體的正投影為矩形A′B′C′D′，它與長方體的一個面ABCD是全等關(guān)系．A′ABCDB′C′D′ABCDA′B′C′D′EFGF′G′HA．B．C．D．圖1ABCD正面課堂練習(xí)1、下面左圖所示方向的幾何體的正投影是（）

2、下面左圖是由四個相同的小立方體組成的立體圖形，按所示