高考試題-數(shù)學(xué)理(湖南卷)

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）

理科數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁(yè).第II卷3至4

頁(yè).考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第?卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼.請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效.

3.本卷共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)等于

1+1

A.4zB.一4,C.2iD.-2/

2.不等式x二—^2<0的解集是

x+1

A.(-05-1)0(-1,2]B.[-1,2J

C.(-oo,-l)U[2,+oo)D.(-1,2]

3.設(shè)M、N是兩個(gè)集合，則“MUN#。”是“MriNw?！钡?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

4.設(shè)〃是非零向量，若函數(shù)負(fù)方）=Cxa+b）,（.a—xb）的圖象是一條直線，則必有

A.a±bB.a//bC.|fl|=||D.\a\^\b\

5.設(shè)隨機(jī)變量J服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）,已知。（-1.96）=0.025,則P（修機(jī)1.96）=

A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975

4x—4xW]

6.函數(shù)/.（x）=《，’''的圖象和函數(shù)g（x）=log2》的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

%--4x+3,x>1,

A.4B.3C.2D.1

7.下列四個(gè)命題中，不正確的是

A.若函數(shù)/(幻在x=Xo處連續(xù)，則limf(x)=lim/(x)

x—>甘x—>石

B.函數(shù)/(%)=與Y+￡的2不連續(xù)點(diǎn)是尤=2和x=-2

x-4

C.若函數(shù)f(x)>g(x)滿足lim[/(x)-g(x)]=0,則limf(x)=limg(x)

XT8XT8X—>00

..y/~X—11

D.lim-----=—

I1％-12

8.棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。一4SGA的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E、尸分別是棱A4]、

。。的中點(diǎn)，則直線EF被球。截得的線段長(zhǎng)為

V2V2rz

A.B.1C.1H----D.V2

22

22

9.設(shè)為、尸2分別是橢圓二+二=13>8>0)的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，

ab~

使PFi的中垂線過(guò)點(diǎn)F2,則橢圓離心率的取值范圍是

10.設(shè)集合M={1,2,3,4,5,6},$、&、…、&都是M的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意

的5,={ai,bi],Si={ai,bj},(iwJ,i、Je{l,2,3,…,&}都有min{—,—}R}(minlr,y)

b,aibjaj

表示兩個(gè)數(shù)x、y中的較小者)，則上的最大值是

A.10B.11C.12D.13

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上.

11.圓心為(1,1)且與直線x+y=4相切的圓的方程是.

12.在△ABC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若a=l,b=近,c=M,則8=

13.函數(shù)/(x)=12x—/在區(qū)間[—3,3]上的最小值是.

14.設(shè)集合A={(x,y)|yNT|x—2|},8={(x,y)|y<—|x|+〃,AnBw。.

(1)b的取值范圍是；

(2)若(x,y)uAPI伉且x+2y的最大值為9,則b的值是.

15.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖1所示的0一1三角數(shù)表，從上往下

數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n

次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個(gè)數(shù)是.

第用II

22tyI。I

第1III

第4410001

nstj110。1?.

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題滿分12分)

JT1

已知函數(shù)f(x)=cos2(x+—),^(x)=1+—sin2x.

(I)設(shè)x=x0是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，求g(Xo)的值；

(II)求函數(shù)Zz(x)=/(x)+g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

17.(本小題滿分12分)

某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每

名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)

的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，

且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.

(I)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率：

(H)任選3名下崗人員，記J為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求J的分布列和期望.

18.(本小題滿分12分)

如圖2,E、F分別是矩形A8C。的邊A8、CQ的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn).將4

GAB、AGCB分別沿AB、CO翻折成△Gh4B、AGoCD,并連結(jié)G1G2,使得平面Gp48

_L平面ABC。，GGHAD,且G|G2<AD連結(jié)BG2,如圖3.

(I)證明平面平面G,ADG2;

(H)當(dāng)AB=12,BC=25,EG=8時(shí)，求直線BG2和平面GpAOG2所成的角.

19.(本小題滿分13分)

如圖4,某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)。的公路，

點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面a所成的二面角為

2

6(0°<90°),且sin。=g,點(diǎn)P到平面a的距離PH=0.4(km).沿山腳原有一段

筆直的公路AB可供利用，從點(diǎn)。到山腳修路的造價(jià)為〃萬(wàn)元/km,原有公路改建費(fèi)用

為^■萬(wàn)元/km.當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為/km(1</<2)Bt，其造價(jià)為(廣+1)。萬(wàn)元.已

知。A_L48,PBLAB,AB=1.5(km),OA=

■yfs(km).

(I)在AB上求一點(diǎn)。，使沿折線PDA。修建公路的總造價(jià)最小；

(II)對(duì)于(I)中得到的點(diǎn)。，在DA上求一點(diǎn)E,使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)

最??；

(III)在A8上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)￡>'、E',使沿折線尸》E'O修建公路的總造

價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論.

20.(本小題滿分13分)

已知雙曲線——J?=2的左、右焦點(diǎn)分別為吊、尸2,過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線與雙曲線相交

于A、8兩點(diǎn).

(I)若動(dòng)點(diǎn)M滿足碗=不+9+市(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡

方程；

(II)在x軸上是否存在定點(diǎn)C,使瓦?無(wú)為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(本小題滿分13分)

已知4(?！耙?(〃wN*)是曲線y=e*上的點(diǎn)，6=。百,是數(shù)冽]｛2｝的前〃項(xiàng)和，且

滿足：S：=3川％+S3，-O,〃=2,3,4,....

(I)證明數(shù)列■言,(〃22)是常數(shù)數(shù)列；

(H)確定。的取值集合M,使“eV時(shí)，數(shù)列｛《,｝是單調(diào)遞增數(shù)列；

(III)證明當(dāng)aeV時(shí)，弦4A用("eN*)的斜率隨〃單調(diào)遞增.

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每上題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.D9.D10.B

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在橫線上。

11.(x-l)2+(y—l)2=212.—13.-16

6

9

14.(1)[l,+a>)(2)-15.2n-l32

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

171

解：⑴由題設(shè)知/(x)=—[l+cos(2尤+一)]

26

TT

因?yàn)閤=%是函數(shù)y=/(X)圖象的一條對(duì)稱軸，所以2%+—=既，

jr

BP2x0=k7i---(keZ).

6

所以g(%o=l+gsin2xo=l+gsin(A"一

11Q

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x()=1+—sin(-工)=1——=-.

2644

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，^(x0=l+-sin—=1+-=-.

2644

八1711

(II)解/z(元)=/(x)+g(x)=—[1+cos(2x+—)]+1+—sin2x

262

——[cos(2xH—)+sin2x]H———(—cos2x4—sin2x)H—

2622222

1.冗、3

——sin(2x4—)H—.

232

當(dāng)2女乃一生<2x+—<2&?+工，即&》一至<x<^+—(Z:GZ)時(shí)

2321212

IA

函數(shù)/z(x)=5§山(21+耳7)r+：是增函數(shù).

7T7T

故函數(shù)/?(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是伙萬(wàn)一立，女》+立]/eZ).

17.(本小題滿分12分)

解：任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件A,“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培

訓(xùn)為事件8,由題設(shè)知，事件4與8相互獨(dú)立，且尸(A)=0.6,P(B)=0.75.

(I)解法一任選1名下崗人員，該人員沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是

P,=P(AB)+P(A)-P(B)=0.4x0.25=0.1

所有該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是鳥(niǎo)=1_片=1_().1=0.9.

解法二任選1名下崗人員，該人只參加過(guò)一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是

P,=P(AB)=P(AB)=0.6x0.25+0.4x0.75=0.45

該人參加過(guò)兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是乙=0(A-8)=0.6x0.75=0.45

所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是4=6+A=0.45+0.45=0.9.

(II)解：因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)4服從二項(xiàng)

分布8(3,0.9),/3?=%)=或*0.9**0.12,左=0,1,2,3,即€的分布列是

0123

4

P0.0010.0270.2340.729

J的期望是EJ=1X0.027+2X0.243+3X0.729=2.7.

(或J的期望是玷=3X0.9=2.7)

18.(本小題滿分12分)

解解法一(I)因?yàn)槠矫鍳iABJL平面ABCC,平面Gp48C平面4BCZ)=A8,

AD±AB,AQu平面ABC。，所以AZ)_L平面G|A8又AOu平面GiACG2,所以平面

G|ABJ_平面GIADG2.

(ID過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，，連結(jié)G2〃，fa；犬鼠

由(I)的結(jié)論可知，平面G}ADG2,'

所以NBG陽(yáng)是BG2和平面Gp4OG2所成的角..

因?yàn)槠矫鍳|AB_L平面A8C￡>,6

平面GiABC平面ABCD=AB,G\E=AB

G|Eu平面G\AB,所以G|E_L平面ABCD,故G.E1EF.

因?yàn)镚|G2<A￡>,AD=EF,所以可在EF上取一點(diǎn)O,使EO=G|G2，又因

為G\G2HAD//EO,所以四邊形G\EOG2是矩形.

由題設(shè)AB=12,BC=25,￡G=8,則GF=17.

所以G2(7=G|E=8,G、F=17,；「

Giyi

OF=V172-82=15,0,0,=￡0=10,/

因?yàn)锳O_L平面G]43,G\G川ND、0卷.....5Ml^三三…

所以G|G,_L平面G]A8,從而G]G°_LG]A/B

X

22

故BG2=BW+EG:+GIG；=6+8+1()2=200,BG2=10\/2.

I----------Q1242

又AG|=j62+82=10,由8"46]=6]足加得8"=---x-----=—.

解法二(I)因?yàn)槠矫鍳|A8_L平面A8CQ,平面G|ABC平面ABCQ=A8,

GxELAB,G|Eu平面G1A8,所以G|EJ_平面4BCQ,從而GiE_L4D

又A8_LA。，所以AO_L平面G1A8.因?yàn)锳Ou平面GMOG2,

所以平面G|AB_L平面G\ADG2.

(II)由(I)可知，GEL平面A8CQ,故可以E為原點(diǎn)，分別以直線EB、EF、EG”

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).由題設(shè)AB=12,BC=25,EG=8,

貝|JEB=6,EF=25,EG1=8,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(—6,0,0),

D(-6,25,0),G.(0,0,8),B(6,0,0)

所以而=(0.25,0),苑=(6,0,8).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面G]A￡)G的一個(gè)法向量，

n-AD=0_f25y=0..-

由〈______.，得Az，，故可取n=(4,0,-3).

“.AG-16x+8z=0

過(guò)點(diǎn)G2作GzO-L平面A8C￡>于點(diǎn)O,因?yàn)镚2G=G2。，所以0C=0。,

于是點(diǎn)。在)，軸上.

因?yàn)镚IG2〃4D,所以G1G2//EF,G2O=G,￡=8.

設(shè)G2(0,m,8)(0<m<25),由172=82+(25—機(jī))？解得帆=10,

所以(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8).

設(shè)8G2和平面G\ADG2所成的有是。，則

.八\~BO,-n\|-24-24|1272

sine=j——=/—7=----.

22222

\BG2\-\n\V6+10+8-<4+325

故直線8G2與平面GNQG2所成的角是arcsin■包1

25

19.(本小題滿分13分)

解：(I)如圖，PHLa,HBua,PB1AB,由三垂線定理逆定理知，ABLHB.所以

PH

NP8”是山坡面與a所成二面角的平面角，則NPBH=e,PB=----=1.

sin。

設(shè)3D=x(km),0?1.5,則

PD=&+PB?=&+[G]2)

記總造價(jià)為力(工)萬(wàn)元，

2

據(jù)題設(shè)有<(X)=(P￡>2-i+-AD+AO)a=(x--x+—+V3)^

12/3A

—(x)Q+(---FA/3)6Z.

416

當(dāng)x=；,即BD-；(km)時(shí)總造價(jià)f1(x)最小.

(II)設(shè)AE=.y(km),0W)w|■，總造價(jià)為力(y)萬(wàn)元，根據(jù)題設(shè)有

=[PD2+1+Jy[+3+g(]_；_y)]a=Q)，+3-,)a+去a

則f->(y)=(—7)。,由力(y)—0,得y=L

6」2'+32

當(dāng)ye(0,1)時(shí),4(>)<0/。)在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)；

5，5

當(dāng)”(iq)時(shí),72(y)>0/(y)在(1[)內(nèi)是增函數(shù).

故當(dāng))，=1,即AE=l(km)時(shí)總造價(jià)力(y)最小，且最小總造價(jià)為包萬(wàn)元.

（in）解法一不存在這樣的點(diǎn)o'、E'.

事實(shí)上，在A8上任取不同的兩點(diǎn)O'、E'.為使總造價(jià)最小，E'顯然不能位于。'與B

之間.故可設(shè)E'位于。'與A之間，且BD'=X|（km）,A￡'=M（km）,

OWx]+乃W],總造價(jià)為S萬(wàn)兀，則S=（x；—+Jy；+3—1~+類(lèi)似于（I）、

（II）的討論知，%|2-------:,—,當(dāng)且僅當(dāng)VI=一,必=1同時(shí)成

216224

立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)BD'=』（km）,AE'=l（km）,S取得最小

4

值

工，點(diǎn)D'、E'分別與點(diǎn)D、E重合.所以不存在這樣的點(diǎn)。'、E',使沿折線PD'E'O

16

修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià).

解法二同解法一得

S=（X：「AM-4歲。

=（2-二）%++3一必）+Qy：+3+y,）］＜?+—G

N了x2,3（物+3_M）（4+3+y^xa+a

當(dāng)且僅當(dāng)M=；且3（Jy：+3_必）=Jy；+3+必,即/=：,%=i同時(shí)成立時(shí)，s

取得最小值巨。，以下同解法一.

16

20.解由條件知好（-2,0）,鳥(niǎo)（2,0）,設(shè)/式和%）,8區(qū),必）?

解法一（I）設(shè)加（蒼歷,則百必=（*+2,歷,“=（玉+2,%）,

質(zhì)=（項(xiàng)+2,%）,前=（2,0）由碗=品+電+京得

”+2=玉+七+6即,xt+x2=x-4

J=%+%、y+8=y.

Y—4

于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（土于

2

當(dāng)月8不與X軸垂直時(shí)，入二21=-2----------2L,即％一%='(七一工2)?

%1_%2x42元―8x—8

因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以片—療=2,君一貨=2,兩式相減得

(項(xiàng)一x2)(%i+&)=(%一%)(Y+%)，即區(qū)一無(wú)2)(%-4)=(%一%)，

將%-%=三(西一T)代入上式，化簡(jiǎn)得(x-6產(chǎn)一y2=4.

x-8

當(dāng)A3與x軸垂直時(shí)，現(xiàn)=工2=2,求得M(8Q),也滿足上述方程.

故點(diǎn)M的軌跡方程是(x—6)2—/=4.

(II)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C(w,O),使而?無(wú)為常數(shù).

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=&(x-2)(Z豐±1).

代入x2-/=2有(1-E)x2+4k2x-(4k2+2)=0.

AL-AL242

則由、必是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以芭+/=二一，再％二2?

k—1k1

2

于是CA-CB=(%,—m)(x2—m)+k{xx—2)(x2—2)

222

=(k+l)XjX2—(2k+m)(xx+工2)+4攵2+m

=伏2+1)(4/+2)_4/(2/+〃2)+4左2+m2

k2-1k2-1

2(l-2m)F+22竹°、，4-4叫2

=--------z------------\-m=2(1-2/?)4——；------1-m.

k2k2-1

因?yàn)槎?無(wú)是與火無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以4—4加=0,即相=1.此時(shí)而?赤=一1.

當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)可別設(shè)為(2,、歷)、(2,-V2),

此時(shí)無(wú)?而=(1,行)?(L-行)=-1.

故在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0),使蘇?而為常數(shù).

解法二(D同解法一的(I)有《?2

71+%=y

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k(x-2)(k*±1).

代入一一y2=2有(1—k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.

則內(nèi)、處是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以玉+%=/4k、2

，/八，/4k~八4k

y+%=依尤i+/-4)=K—r-,-4)=p—?

K~~1K,1

AL

由①、②、③得x—4=:^,y=Y^.

A?—1-k2~\

X—4

當(dāng)ZwOH寸,ywO,由④、⑤得，——=k,將其代入⑤有

y

y=-一-=424),.整理秋尤-6)2-j2=4.

U-4)-(x-4)--/

-y--1

當(dāng)左=0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0),滿足上述方程.

當(dāng)A3與x軸垂直時(shí)，xi=x2=2,求得M(8,0),也滿足上述方程.

故點(diǎn)M的軌跡方程是(％-6)2-丁=4.

(II)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C(小0),使日?無(wú)為常數(shù).

4左24k2+2

當(dāng)AB不與X軸垂直時(shí)，由(I)有X]+%2=——~^X\X2=~2一1

以下同解法一的(II).

22.解：(I)當(dāng)〃N時(shí)由已知得摩一S3=3n2a?.

因?yàn)閝=S“—S“TH0,所以S.+S,I=3〃2.......①

于是S“+1+S“=3(〃+l)2........②

由②一①得an+i+an=6〃+3........③

于是an+2+an+i=677+9........④

由④一③得an+2-an=6........⑤

h夕MMh

所以4±1=-=/，，"+x=e'為常數(shù)，即數(shù)歹W吐是常數(shù)歹I」.

hn/2J

(II)由①有S2+Sj=12.所以4=12—2a由③有q+。2=15,/+。3=21,所

以

%=3+2。,%=18—2a

而⑤表明：數(shù)列｛4J和El｝分別是以“2、的為首項(xiàng)，6為公差的等差列，

所以。24=%+6(%一1),。2攵+1=%+6(左一1)，42攵+2=々4+6(左一1)(左6N).

數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列=4v%且%v生1v/"2對(duì)任意彌6N*成立