八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中真題分類匯編（人教版）：專題02 三角形與角有關(guān)的壓軸題訓(xùn)練（解析版）（人教版）

專題02三角形與角有關(guān)的壓軸題訓(xùn)練多邊形內(nèi)角和1．如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則．【答案】0【分析】將兩個(gè)六邊形分別進(jìn)行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可得出答案.【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，∴=180°×2+360°=720°如圖2所示，將原六邊形分成了四個(gè)三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和，難度適中，解題關(guān)鍵是將所求六邊形拆分成幾個(gè)三角形和四邊形的形式進(jìn)行求解.2．（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和的知識(shí)，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角的知識(shí)，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點(diǎn)M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點(diǎn)M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對(duì)頂角、數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．3．如圖，，，且，，則的度數(shù)為°．

【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得，，推得，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得，將代入即可求解．【詳解】解：設(shè)，，如圖：

∵，，在中，，在中，，又∵，∴，故，在中，，在中，，，將代入可得；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．(1)如圖①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奧秘嗎？請(qǐng)用你學(xué)過(guò)的知識(shí)予以證明；(2)如圖②，設(shè)x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，運(yùn)用(1)中的結(jié)論填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如圖③，一個(gè)六角星，其中∠BOD＝70°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.(2)180；180；180；(3)140【分析】（1）首先延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根據(jù)∠BDC=∠A+∠B，判斷出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．b、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．c、首先延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，EA和BC交于點(diǎn)G，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根據(jù)∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，據(jù)此解答即可．（3）根據(jù)∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，據(jù)此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是多少即可．【詳解】(1)證明：如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，則∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180；(3)140【點(diǎn)睛】（1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．角度之間的數(shù)量關(guān)系5．【問(wèn)題背景】中，是角平分線，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．【初步探索】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，的平分線交于點(diǎn)O．（1）若，，則____________；（2）若，則___________；（用含m的代數(shù)式表示）

【變式拓展】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，連接，設(shè)，．（1）如圖2，的平分線交于點(diǎn)O．①當(dāng)，時(shí)，____________；②用、的代數(shù)式表示____________．（2）如圖3，的平分線與相交于點(diǎn)O，與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)E不重合），直接寫出點(diǎn)F在不同位置時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】初步探索（1）55；（2）；變式拓展（1）①75；②；（2）或【分析】初步探索（1）根據(jù)角平分線的定義，得到、，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；變式拓展（1）①延長(zhǎng)、交于點(diǎn)G，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；②同①理，即可表示出；（2）分兩種情況討論：點(diǎn)F在內(nèi)部和點(diǎn)F在外部，利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】初步探索解：（1）中，是角平分線，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．，平分，，，平分，，，故答案為：55；（2），，平分，平分，，，，故答案為：；變式拓展解：（1）①如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)G，，，，，，，平分，平分，，，故答案為：75；

②，，，，，，平分，平分，，，故答案為：；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在內(nèi)部時(shí)，令于的交點(diǎn)為H，

，平分，，，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)F在外部時(shí)，令于的交點(diǎn)為K，

，平分，，，，，平分，，，，，，，綜上可知，與之間的數(shù)量關(guān)系或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，理解題意，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．

(1)如圖2，一束光線射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射，若被反射出的光線（與光線平行，且，則_______°，______°；(2)如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線與鏡面的夾角，鏡面，的夾角，當(dāng)光線經(jīng)過(guò)平面鏡，，的三次反射后，入射光線與反射光線平行時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)如圖4，在（2）的條件下，在，之間再照射一條光線，經(jīng)過(guò)平面鏡，兩次反射后反射光線與交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）過(guò)作，如圖所示，根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（3）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，在（2）的基礎(chǔ)上，得出相關(guān)角度，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和，列方程組求解即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

根據(jù)題意，，，，，，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理可得，故答案為：，；（2）解：過(guò)作，如圖所示：

，，，，，，，則，在中，，，則由三角形內(nèi)角和定理可得，，則，；（3）解：如圖所示：

由（2）知，，，，由于一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，，，，，則，，由于一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，，，由與，代入已知角度有與，可得，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)探尋平面鏡反射中角度關(guān)系，涉及平行線的性質(zhì)、平面鏡反射角度關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和為及恒等變形等知識(shí)，讀懂題意，理解平面鏡反射角度之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確表示各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，，，其中滿足關(guān)系式

(1)___________，___________；(2)如圖，若平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖，若點(diǎn)、點(diǎn)分別在軸負(fù)半軸和正半軸上運(yùn)動(dòng)，的角平分線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究的值的變化情況，并直接寫出結(jié)論（不要求寫出探究過(guò)程）．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得和的值，（2）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后由對(duì)頂角相等和等量代換可得結(jié)論，（3）首先證明，推出，再證明，，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵，∴，，故答案為：；（2）證明：如圖中，

平分，∴，，，∴，∴，∵，∴．（3）解：如圖，結(jié)論：；

理由：，，∴，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．8．如圖直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上連接，的平分線與外角的平分線所在直線相交于點(diǎn)．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)若，則________(結(jié)果用含的代數(shù)表示)；(3)如圖②，若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接為的角平分線．①隨著點(diǎn)的移動(dòng)，與存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，__________________；②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可知，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；（3）①根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可知，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可知，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及三角形的外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵分別是角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵分別是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①∵為的角平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∵分別是角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為；②∵，∴，，∴，∵為的角平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵分別是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．定值問(wèn)題9．已知（如圖1）在中，，平分，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，(1)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)試問(wèn)與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，試用表示，并說(shuō)明理由(3)若與平分線交于點(diǎn)（如圖2），當(dāng)點(diǎn)在線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)用表示；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)(2)(3)不會(huì)，【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，從而得到，利用垂直的定義即可得到結(jié)果；（2）表示出，，得到，進(jìn)一步可得結(jié)果；（3）設(shè)與交于，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，最后利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和即可求出，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，；（2），，，，；（3）設(shè)與交于，平分，，平分，，，平分，，，故不會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，是x軸正半軸上一點(diǎn)，C是第四象限內(nèi)一點(diǎn)，軸交y軸負(fù)半軸于，且．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)如圖2，設(shè)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的角平分線與的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，求的度數(shù)；（點(diǎn)E在x軸的正半軸）(3)在（2）的基礎(chǔ)上，如果將“的角平分線與的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)”條件改為“”，求的度數(shù)；（點(diǎn)E在x軸的正半軸）(4)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作交于M點(diǎn)，、的平分線交于N點(diǎn)，則點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，得出，，根據(jù)矩形性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)，得出，求出，得出，即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線的定義得出，得出，求出，得出，求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（3）設(shè)，則，得出，根據(jù)，得出，求出，得出；（4）連接，設(shè)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，如圖所示：

∵，∴，，解得：，，∴，，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（4）解：連接，如圖所示：

∵平分，平分，∴設(shè)，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，角平分線的有關(guān)計(jì)算，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，．11．如圖1，在中，平分平分．

(1)若．①求的度數(shù)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線，交邊于點(diǎn)D、E，則_______°；(2)若，小明將（1）中的直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線段于點(diǎn)D，E，如圖3，試問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不