數(shù)學-第17章 勾股定理提優(yōu)測試卷（帶答案）

第17章勾股定理提優(yōu)測試卷（解析版）總分150分時間120分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，A（8，0），C（﹣2，0），以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點B，則點B的坐標為（）A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）思路引領(lǐng)：根據(jù)已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．解：根據(jù)已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=A∴B（0，6）．故選：D．總結(jié)提升：本題考查勾股定理的應用、坐標的特征知識．關(guān)鍵在于利用點的坐標表示邊的長度．2．如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF思路引領(lǐng)：設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．解：設(shè)小正方形的邊長為1，

則AB2＝22+22＝8，CD2＝22+42＝20，EF2＝12+22＝5，GH2＝22+32＝13．因為AB2+EF2＝GH2，所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、EF、GH．故選：B．總結(jié)提升：考查了勾股定理逆定理的應用．3．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm思路引領(lǐng)：根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3根據(jù)勾股定理，得：AD=AC2∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉長了2cm．故選：A．總結(jié)提升：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用．4．如圖，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，則BC的長是（）A．8 B．10 C．12 D．16思路引領(lǐng)：直接利用勾股定理得出AC的長，進而求出BC的長．解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∴AC=4∵∠ACB＝90°，AB＝13，∴BC=1

故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理，正確應用勾股定理是解題關(guān)鍵．5．公元3世紀，我國數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中巧妙地運用如圖所示的“弦圖”來證明勾股定理，該圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形的較長直角邊長為a，短直角邊長為b，大正方形面積為20，且（a+b）2＝32．則小正方形的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12思路引領(lǐng)：觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝32，大正方形的面積為20，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．解：如圖所示：∵（a+b）2＝32，∴a2+2ab+b2＝32，∵大正方形的面積為20，2ab＝32﹣20＝12，∴小正方形的面積為20﹣12＝8．故選：B．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理、完全平方公式、四邊形和三角形面積的計算，利用數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵．6．如果下列各組數(shù)是三角形的三邊長，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（）A．2，3，5 B．1.5，2，2.5 C．32，42，52 D．1，2，5思路引領(lǐng)：根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒有這種關(guān)系，就不是直角三角形，分析得出即可．

解：A、∵（2）2+（3）2＝（5）2，∴此三角形是直角三角形，不合題意；B、∵1.52+22＝2.52，∴此三角形是直角三角形，不合題意；C、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴以32、42、52為邊不能組成直角三角形，故本選項符合題意；D、∵12+22＝（5）2，∴此三角形是直角三角形，不合題意；故選：C．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，長方體的長、寬、高分別為3cm，1cm，6cm．如果一只小蟲從點A開始爬行，經(jīng)過兩個側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點B處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）A．5cm B．43cm C．6cm D．7cm思路引領(lǐng)：根據(jù)題意把圖形展開，連接AB，得出AB的長就是從A處爬到B處的最短路程，分為三種情況展開①②③，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再比較即可．解：分為三種情況：①如圖將正面與右面展開在同一平面，連接AB，由勾股定理得：AB=(3+1)2②如圖將下底面與后面展開在同一平面，連接AB，

由勾股定理得：AB=(3+1)2③如圖將下底面與右面展開在同一平面，連接AB，由勾股定理得：AB＝(3+3)2+1即從A處爬到B處的最短路程是5cm．故選：A．總結(jié)提升：本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，切記要進行分類討論．8．如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，則DE的長度為（）A．6 B．3 C．23 D．思路引領(lǐng)：易得∠ABC＝60°，∠A＝30°．根據(jù)折疊的性質(zhì)∠CBE＝∠D＝30°．在△BCE和△DCE中運用三角函數(shù)求解．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6，∴sinA＝BC：AB＝1：2，∴∠A＝30°，∠CBA＝60°．根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠CBE＝∠EBA=12∠

∴CE＝BCtan30°=3∴DE＝2CE＝23．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．9．若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為6和8，則斜邊上的高是（）A．5 B．10 C．125 D．思路引領(lǐng)：首先根據(jù)題意求出斜邊的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出斜邊上的高．解：∵直角三角形的兩直角邊長為6和8，斜邊長為：62三角形的面積=1設(shè)斜邊上的高為x，則12x解得x＝4.8．故選：D．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理，以及三角形的面積公式，解決問題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積公式的兩種計算方法．10．若△ABC的三邊a、b、c滿足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形思路引領(lǐng)：首先根據(jù)題意由非負數(shù)的性質(zhì)可得，進而得到a＝b，a2+b2＝c2，根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC的形狀為等腰直角三角形．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，

∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形狀為等腰直角三角形；故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理逆定理以及非負數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每題3分，第13～18題每題4分，共30分．）11．如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為100．思路引領(lǐng)：三個正方形的邊長正好構(gòu)成直角三角形的三邊，根據(jù)勾股定理得到字母A所代表的正方形的面積A＝36+64＝100．解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方＝36，一直角邊的平方＝64，則斜邊的平方＝36+64＝100．故答案為100．總結(jié)提升：本題考查正方形的面積公式以及勾股定理．12．如圖AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE等于．思路引領(lǐng)：由AB與BC垂直，根據(jù)垂直定義得到∠B為直角，在直角三角形ABC中，由AB＝BC＝1，利用勾股定理求出AC的長，同理在直角三角形ACD中，由AC及CD的長，利用勾股定理求出AD的長，進而在直角三角形ADE中，由AD及DE的長，利用勾股定理即可求出AE的長．

解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，根據(jù)勾股定理得：AC=AB又∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，AC=2，CD根據(jù)勾股定理得：AD=AC又∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，AD=3，DE根據(jù)勾股定理得：AE=AD故答案為：2．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的運用，勾股定理為：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．13．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，分別過點A作AE∥BC，過點B作BE∥AD，AE與BE相交于點E．若CD＝2，則四邊形ADBE的面積是．思路引領(lǐng)：過D作DF⊥AB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF＝CD＝2．由△ABC是等腰直角三角形得出∠ABC＝45°，再證明△BDF是等腰直角三角形，求出BD=2DF＝22，BC＝2+22=AC．易證四邊形ADBE是平行四邊形，得出AE＝BD＝22，然后根據(jù)平行四邊形ADBE的面積＝BD?解：如圖，過D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DF＝CD＝2．

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝2，BD=2DF＝22∴BC＝CD+BD＝2+22，∴AC＝BC＝2+22．∵AE∥BC，BE∥AD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴AE＝BD＝22，∴平行四邊形ADBE的面積＝BD?AC＝22×（2+22）＝42故答案為：42+總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的面積．求出BD的長是解題的關(guān)鍵．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，則AB的長是．思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案為：17．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式．15．如圖，△ABC的周長為36cm，AB：BC：CA＝3：4：5，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點B移動；點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度向點C移動．如果P，Q兩點同時出發(fā)，那么經(jīng)過3s后，△

BPQ的面積為cm2．思路引領(lǐng)：首先設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3s后BP，BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解．解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，∴AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，解得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ=12BP?BQ=12故△BPQ的面積為18cm2．故答案為：18．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面積．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．如圖，等腰△ABC的底邊BC＝20，面積為120，點F在邊BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動，則△CDF周長的最小值為．思路引領(lǐng)：如圖作AH⊥BC于H，連接AD．由EG垂直平分線段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得當A、D、F共線時，DF+DC的值最小，最小值就是線段AF的長；

解：如圖作AH⊥BC于H，連接AD．∵EG垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴DF+DC＝AD+DF，∴當A、D、F共線時，DF+DC的值最小，最小值就是線段AF的長，∵12?BC?AH∴AH＝12，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，∵BF＝3FC，∴CF＝FH＝5，∴AF=A∴DF+DC的最小值為13．∴△CDF周長的最小值為13+5＝18；故答案為18．總結(jié)提升：本題考查軸對稱﹣最短問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱，解決最短問題，屬于中考?？碱}型．17．如圖，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在點C′的位置上，BC′交AD于點E，若AB＝3，BC＝6，則DE的長為．思路引領(lǐng)：先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DBC＝∠DBE，再由AD∥BC得到∠DBC＝∠BDE，則∠DBE＝∠BDE，可判斷BE＝DE，設(shè)AE＝x，則DE＝BE＝6﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+32

＝（6﹣x）2，再解方程即可得出AE以及DE的長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，∵△BDC′是由△BDC折疊得到，∴∠DBC＝∠DBE，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，設(shè)AE＝x，則DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，∴x2+32＝（6﹣x）2，解得：x=9則DE的長為：6?9故答案為：154總結(jié)提升：本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟練掌握折疊變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分別以AB、AC為邊作正三角形ABD、ACE，連接DE，交AB于點F，則DF的長為．思路引領(lǐng)：過D作DG⊥AB于G，過E作EH⊥DA，交DA的延長線于H，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到DF=12DE，再根據(jù)勾股定理即可得到DE的長，進而得出解：如圖所示，過D作DG⊥AB于G，過E作EH⊥DA，交DA的延長線于H，∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，∴∠EAG＝∠AGD＝90°，

∵BC＝1，∴Rt△ABC中，AC=3，AB又∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AE=3，DG=∴DG＝AE，又∵∠DFG＝∠EAF，∴△AEF≌△GDF（AAS），∴DF=12又∵Rt△AEH中，∠EAH＝30°，∴HE=12AE=12∴DH＝DA+AH＝2+3∴Rt△DEH中，DE=H∴DF的長為132解法二：如圖所示，過D作DG⊥AB于G，則AG=12∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，∴∠EAG＝∠AGD＝90°，∵BC＝1，∴Rt△ABC中，AC=3，AB又∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AE=3，DG=∴DG＝AE，又∵∠DFG＝∠EAF，∴△AEF≌△GDF（AAS），∴GF=12AG∴DF=D故答案為：132

總結(jié)提升：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．三、解答題（本大題共8小題，共90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．在如圖所示的4×4方格中，每個小方格的邊長都為1．（1）在圖中畫出一個三條邊長分別為10，3，13的三角形，使它的頂點都在格點上；（2）求（1）中所作三角形最大邊上的高．思路引領(lǐng)：（1）直接利用勾股定理得出符合題意的答案；（2）利用網(wǎng)格結(jié)合垂直的定義得出答案．解：（1）如圖所示：△ABC即為所求；（2）如圖所示：AD即為所求．

總結(jié)提升：此題主要考查了應用設(shè)計與作圖以及勾股定理，正確應用勾股定理是解題關(guān)鍵．20．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝13，D是腰AB上一點，且CD＝12，BD＝5．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求AC的長．思路引領(lǐng)：（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC為直角三角形，（2）由（1）可求出AC的長．證明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BDC為直角三角形；（2）設(shè)AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝16.9，∴AC＝16.9．總結(jié)提升：此題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應用，關(guān)鍵是勾股定理的逆定理解答．21．小李想知道學校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂直到地面還多2m（如圖①

）．當他把繩子的底端拉開10m后，發(fā)現(xiàn)底端剛好接觸地面（如圖②）．求旗桿的高度．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高．解：如圖：設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝10米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+102＝（x+2）2，解得x＝24，故AB＝24米．答：旗桿的高24米．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形．22．如圖，在某住宅小區(qū)在施工中留下一塊空地四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，CD＝24cm，AD＝26cm，試問這塊空地的面積？思路引領(lǐng)：先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，再利用勾股定理的逆定理證得△

ACD是直角三角形，分別利用三角形的面積公式求出△ABC、△ACD的面積，兩者相加即是四邊形ABCD的面積．解：如圖，連接AC，在Rt△ABC中，AB＝6m，BC＝8m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2∴AC=AB2在△ACD中，AC＝10m，CD＝24m，DA＝26m，∵AC2+CD2＝102+242＝256，AD2＝262＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∵S△ABC=12AB?BC=12×6×8＝24，S△ACD=∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝24+120＝144（平方米），答：這塊空地的面積是144平方米．總結(jié)提升：此題主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應用、三角形的面積公式，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線求出AC及證得△ACD是直角三角形．23．在平面直角坐標系中（1）在圖中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）（2）連接AB、BC、AC，試判斷△ABC的形狀；（3）求△ABC的面積．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題目中給出的點的坐標描出點；（2）連接AB、BC、AC，利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格算出AB、BC、AC的長，根據(jù)數(shù)據(jù)可得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形；（3）根據(jù)三角形面積公式計算即可．解：（1）如圖所示：（2）AB=6AC=3CB=52+1∵52+102＝（55）2，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）△ABC的面積=12AB?AC

總結(jié)提升：此題主要考查了描點，勾股定理，以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是正確畫出圖形，算出AB、BC、AC的長．24．如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的長．思路引領(lǐng)：根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根據(jù)扇形面積公式、完全平方公式計算即可．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S1+S2＝4，∴12×π×（AC2）2+12×π×（BC2）2+12×∴AC×BC＝8，AB=AC2總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．25．如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C，已知兩只猴子所經(jīng)路程都是16m，求樹高AB．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意表示出AD，AC，BC的長進而利用勾股定理得出AD的長，即可得出答案．解：由題意可得出：BD＝10m，BC＝6m，設(shè)AD＝xm，則AC＝（16﹣x）m，故在Rt△ABC中AB2+BC2＝AC2，