數(shù)學-專題31 一次函數(shù)與菱形結合（帶答案）

專題31一次函數(shù)與菱形結合1．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=10，邊OA=6，把矩形OABC沿直線DE對折使點C落在點A處，直線DE與OC、AC、AB的交點分別為D、F、E，點M在y軸上，以M、D、F、N為項點的四邊形是菱形，滿足條件的點N有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】分三種情形①若DF為菱形的一邊，當DM為菱形的對角線時，如圖3中，②當DM為菱形的一邊時，如圖4中，③若DF為菱形的對角線，如圖5，分別求解即可解決問題.【詳解】解：如圖2中，分別取OA、OC的中點P，Q，連接PF，QF．∵F是中點，，∴點F的坐標為（3，4）．①若DF為菱形的一邊，當DM為菱形的對角線時，如圖3中，①若DF為菱形的一邊，當DM為菱形的對角線時，如圖3中，

點N與點F關于y軸對稱，則點N的坐標為（-3，4），②當DM為菱形的一邊時，如圖4中，此時FN∥DM，，∵F（3，4），∴點N的坐標為或即點N的坐標為：或.③若DF為菱形的對角線，如圖5，∵四邊形DNFM為菱形，∴DM=FM，∴∠MDF=∠MFD，∵∠DFC=90°，∴∠MCF=∠MFC，∴MC=MF，∴點M是CD中點，則，∵四邊形MDNF為菱形，∴NF∥DM，NF=DM=，∴點N坐標為

即點N坐標為：.綜上所述，滿足條件的點N坐標為（-3，4），，，，共4個.【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．2．如圖，直線y=-x+4分別與x軸，y軸交于點A，B，點C在直線AB上，D是y軸右側平面內(nèi)一點，若以點O，A，C，D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標是_______________．【答案】（2，?2）或（6，2）．【分析】設點C的坐標為（x，-x+4）．分兩種情況，分別以C在x軸的上方、C在x軸的下方做菱形，畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點C的坐標即可得出D點的坐標．【詳解】∵一次函數(shù)解析式為線y＝-x+4，令x=0,解得y=4∴B（0，4），令y=0,解得x=4∴A（4，0），如圖一，∵四邊形OADC是菱形，設C（x，-x+4），∴OC＝OA＝，整理得：x2?6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴C（2，2），

∴D（6，2）；如圖二、如圖三，∵四邊形OADC是菱形，設C（x，-x+4），∴AC＝OA＝，整理得：x2?8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∴C（6，?2）或（2，2）∴D（2，?2）或（?2，2）∵D是y軸右側平面內(nèi)一點，故（?2，2）不符合題意，故答案為（2，?2）或（6，2）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是確定點C、D的位置．本題屬于中檔題，難度不大，在考慮菱形時需要分類討論．3．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，點C是線段AB上一點，四邊形OADC是菱形，求OD的長．

【答案】【分析】由直線的解析式利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點、的坐標，進而可得出、的長度，由、的長度利用勾股定理可求出的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出、，利用面積相等法可求出的長度，再根據(jù)即可求出的長度．【詳解】解：直線與軸、軸分別交于點，，點，點，，，．四邊形是菱形，，，，即，解得：，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積，解題的關鍵是借用面積相等法求出的長度．4．如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x+8分別與x軸、y軸交于點B、C，且與直線l2：y＝x交于點A．（1）直接寫出A、B、C的坐標，A的坐標是，B的坐標是，C的坐標是．（2）若M是線段OA上的點，且△COM的面積為24，求直線CM的函數(shù)表達式．（3）在（2）的條件下，設E是射線CM上的點，在平面內(nèi)是否存在點F，使以O、C、E、F為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（，），（16，0），（0，8）；（2）y＝﹣x+8；（3）存在，（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）．【分析】（1）利用坐標軸上點的坐標特征求出點B，C坐標，聯(lián)立兩直線解析式確定出點A坐標；（2）設出點M的坐標，利用三角形的面積公式建立方程即可求出點M的坐標；（3）分兩種情況即可解決問題．【詳解】∵直線l1：y＝﹣x+8分別與x軸、y軸交于點B、C，令x＝0，則y＝8，∴C（0，8），令y＝0，則﹣x+8＝0，∴x＝16，∴B（16，0），聯(lián)立直線l1和直線l2得，，解得，，∴A（，），故答案為（，），（16，0），（0，8）；（2）∵點M在線段OA上，且直線OA的解析式為y＝x，設M（m，m）（m＞0），∵△COM的面積為24，∴S△COM＝×8×m＝24，∴m＝6，∴M（6，2），

設直線CM的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴直線CM的解析式為y＝﹣x+8，（3）如圖，①CE是菱形的對角線時，由（2）知，直線CM的解析式為y＝﹣x+8，令y＝0，則﹣x+8＝0，∴x＝8，∴E'（8，0），∵四邊形OCF'E'是菱形，∴E'F'＝OB＝8，∴∠OCE'＝45°，OC＝OE'，過點C作CF'∥x軸，過點E'作E'F'∥y軸相交于F'，．∴F'（8，8），②CE為菱形的邊時，∵四邊形OCF'E'是菱形；在射線CM上取一點E使CE＝OC，∵四邊形OECF是菱形，∴CE＝OE，∴點E是OC的垂直平分線，當y＝4時，﹣x+8＝4，∴E（4，4），∴F（﹣4，4），同理，F(xiàn)''（4，﹣4），即：滿足條件的點F的坐標為（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）．

【點睛】一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，菱形的性質(zhì)和判定，解本題的關鍵是畫出圖形，是一道中考?？碱}．5．在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點在軸正半軸上，，，的長滿足．過點的直線交于點，的面積等于面積的，請解答下列問題：（1）求點，點的坐標：（2）過點作于，交軸于點，求線段的長；（3）點在軸上，平面內(nèi)是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（-2，0），D（4，2）；（2）2；（3）或或或．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出OA，OB，求出△ABC和的面積，設D（x，y），由的面積可求出y，求出直線BC解析式，把y值代入求出x值即可；（2）證明△ABH≌△GBO，即可求出OG的長；（3）分三種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）∵，且∴

∴∴AB=AO+OB=2+6=8∴∵的面積等于面積的，∴設點D的坐標為（x，y），則有∴y=2，設直線BC的解析式為∵OC=6∴C（0，6）∴把B，C點坐標代入得，，解得，∴直線BC的解析式為又點D在直線BC上，且y=2∴，解得，x=4∴D（4，2）；（2）如圖，∵BH⊥AC，OC⊥OB∴∠CHG=∠BOG=90°又∠CGH=∠BGO∴∠ACO=∠GBO

∵OC=OB=6∴△ABH≌△GBO∴OG=OA=2（3）點在軸上，要使以，，，為頂點的四邊形是菱形，則有以下幾種情形：(a)以AB，AM為鄰邊的菱形，則AM=AB=8∵，即解得，(負值舍去)∵MN=AB=8∴點N的坐標為或；(b)以AB，BM為鄰邊的菱形，則BM=AB=8∵，即解得，(負值舍去)∴點N的坐標為或；(c)以AM，BM為鄰邊的菱形不存在．綜上，點N的坐標為或或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．6．已知：在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點，直線經(jīng)過點A，與y軸交于點．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，點P為直線一個動點，若的面積等于10時，請求出點P的坐標；(3)如圖2，將沿著x軸平移，平移過程中的記為，請問在平面內(nèi)是否存在點

D，使得以為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點D的坐標．【答案】(1)(2)，或，(3)存在，，，【分析】（1）設直線的解析式，求出點的坐標，把、的坐標代入解析式計算即可；（2）設點的橫坐標為，根據(jù)三角形的面積公式建立方程，求解即可．（3）按為菱形邊長和對角線兩種情況討論，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點的坐標即可．【詳解】（1）解：設直線的解析式，直線與軸，軸分別交于、兩點，，，直線經(jīng)過點，與軸交于點，，，直線的解析式：；（2）由題意可知，，設點的橫坐標為，，或．，或，；（3）設將沿著軸平移個單位長度得到△，，，，設點坐標為，①當為以、、、為頂點的菱形邊長時，有兩種情況：

當時，即，此時，即點在軸上，且，點與點重合，即．當時，，，，解得，此時，即點在軸上，且，．②當為以、、、為頂點的菱形對角線時，，即點在的垂直平分線上，且，關于對稱，當向左一移動，，，，，解得或（舍），當向右移動時，，，，，解得（舍）或（舍），，．綜上所述，存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，點的坐標為，，．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，菱形的性質(zhì)與判定等相關知識，分類討論等數(shù)學思想，根據(jù)題意進行正確的分類討論是解題關鍵．7．在平面直角坐標系中，直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，直線經(jīng)過點B，與x軸相交于點C，點D是線段AB上的一個動點．

(1)b的值是______；(2)如圖1，過點D作BC的平行線與直線相交于點P，直線與直線AB相交于點Q．當時，求點D坐標；(3)如圖2，點D在移動過程中，是否存在點E，使得以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)－3(2)點D的坐標為(3)存在點E，以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為；或【分析】（1）根據(jù)題意，先求出點B坐標，進一步可求出b的值；（2）設點D的坐標為（m，?m?3），根據(jù)兩直線平行可設直線DP的解析式為y＝3x＋n，將點D坐標代入求出直線DP的解析式，然后分情況表示出PQ的長，根據(jù)，列方程求出m，即可求出點D坐標；（3）設點D的坐標為（m，?m?3），表示出，，，由以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，分三種情況討論：當BD＝BC時，當CD＝CB時，當DC＝DB時，分別列方程求出點D坐標，再根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．（1）解：∵直線y＝?x?3與y軸相交于點B，∴B（0，?3），

∵直線y＝3x＋b經(jīng)過點B，∴b＝?3，故答案為：?3；（2）解：當時，解得：，∴，設點D的坐標為，由（1）知，直線BC的函數(shù)表達式為，∵，∴設直線DP的解析式為，∵點D的坐標為，∴，∴，∴，∴當時，，，∴，，當點D在線段AQ上時，，∵，∴，解得：或（舍去），∴點D的坐標為，當點D在線段BQ上時，，∵，∴，整理得：，解得：（舍去）或（舍去），綜上，點D的坐標為；（3）

設點D的坐標為，當時，解得，，∴，∵，∴，，，∵以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，故分三種情況：如圖2，當時，∴，∴，解得：，（舍去），∴點D的坐標為，∵，，∴點D向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度得到點E，∴點E的坐標為；如圖3，當時，∴，∴，解得：，（舍去），∴點D的坐標為，∵，，∴點D向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度得到點E，∴點E的坐標為；如圖4，當時，∴，∴，

解得：，∴點D的坐標為，∵點，∴點C向右移動2.5個單位長度，向下移動2.5個單位長度得到點E，∴點E的坐標為；綜上，存在點E，以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為或或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩直線平行的位置關系，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解一元二次方程，勾股定理和平移的性質(zhì)等知識，本題綜合性較強，難度較大，熟練掌握分類討論思想和數(shù)形結合思想的應用是解題的關鍵．8．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在、軸的正半軸上，點B的坐標為（6，8），一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點D、E，并且滿足OD=BE，點M是線段DE上的一個動點．（1）求的值；（2）連結OM，若△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，求點M的坐標；（3）設點N是x軸上方平面內(nèi)的一點，以O、M、D、N為頂點的四邊形為菱形時，請求出點N的坐標．

【答案】（1）b=6；（2）M；（3）N點坐標為或【分析】（1）根據(jù)OD=BE，可得點E（6，8-b），將E代入解析式，即可求解；（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：，OD=6，AE=2，根據(jù)△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，可得，可得到，設點M的橫坐標為m，則，即可求解；（3）分兩種情況：若以OD為對角線，得到菱形OMDN；若以DM為對角線，得到菱形ODNM，討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴軸，軸，∵一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點D、E，并且滿足OD=BE，∴OD=BE=b，∵點B的坐標為（6，8），∴AB=8，點E的橫坐標為6，∴AE=AB-BE=8-b，∴點E（6，8-b），將點E代入，得：，解得：；（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：，OD=6，AE=2，∵△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，∴，

∵，∴，設點M的橫坐標為m，則，即，解得：，將代入，得：，∴M；（3）如圖（1），若以OD為對角線，得到菱形OMDN，則MN垂直平分OD，M和N關于y軸對稱，∵OD=6，∴點M的縱坐標均是，將代入，得：，解得：，∴點M，∴點N；如圖（2），若以DM為對角線，得到菱形ODNM，則OM=OD=6，線段DM與線段ON的中點重合，

設點M的橫坐標為a，則縱坐標為，∴，即，解得：或（舍去），∴點M，設點N，由（1）知：，∴，解得：，∴點N，綜上所述，以O、M、D、N為頂點的四邊形為菱形時，點N的坐標為或．【點睛】本題是一次函數(shù)與菱形的判定與性質(zhì)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定方法，正確根據(jù)菱形的性質(zhì)求得M的坐標是解決本題的關鍵．9．如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與：交于點A，分別與x軸、y軸交于點B、C．（1）分別求出點A、B、C的坐標；（2）若D是線段上的點，且的面積為12，求直線的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，設P是射線上的點．

如圖2，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，點的坐標為或或（6，6）【分析】（1）構建方程組確定交點A的坐標，利用待定系數(shù)法確定B，C兩點坐標即可．（2）設，利用三角形的面積公式，構建方程求出m的值，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．（3）①構建，設，利用兩點間距離公式，構建方程求出m即可．②如圖2-1中，當為菱形的對角線時，垂直平分線段，利用對稱性解決問題即可．③當CP是菱形對角線時，設直線CD與x軸交點為M，求出OM=CO，得到菱形為正方形，故可求解．【詳解】解：（1）由，解得，∴．∵與分別與x軸、y軸交于點B、C，∴．（2）設，由題意：的面積為12，∴，

∴，∴，∵，設直線的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為．（3）①如圖2-1中，∵四邊形是菱形，∴，設，∵∴PC=，解得或（舍去），∴，∵，∴，②如圖2-1中，當為菱形的對角線時，垂直平分線段，∴P’的縱坐標為3代入直線CD得∴P’(3,3)∵P’、Q’關于y軸對稱∴∴滿足條件的點的坐標為．③如圖2-1中，當CP是菱形對角線時，則CO=OP’’=6設直線CD與x軸交點為M，把y=0代入得x=6∴M（6,0）

∴OM=CO=6∴OP’’=OM即M、P’’重合∵CO⊥OM∴菱形COP’’Q’’為正方形，∴Q’’（6，6）．綜上，點的坐標為或或（6，6）．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考常考題型．10．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（3，4），一次函數(shù)y＝的圖象與邊OC，AB分別交于點D，E，并且滿足OD＝BE，點M是線段DE上的一個動點．（1）求b的值；（2）當DM：ME＝1：2時，求點M的坐標；（3）設點N是x軸上方的平面內(nèi)的一點，當以點O，M，D，N為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點N的坐標．

【答案】（1）3；（2）M（1，）；（3）N（，）或N（﹣，）．【分析】（1）分別表示出D和E點的坐標，根據(jù)OD＝BE列出等式即可求出b的值；（2）過點E作EF⊥OC于F，過點M作MP⊥OC于P，求出DE的長，再設M（a，3﹣a），由DP2＋MP2＝DM2列出等式即可求出M的坐標；（3）設M（m，3﹣m），分當OD為菱形一邊時和當OD為菱形一條對角線時兩種情況，根據(jù)菱形鄰邊相等或對角線的對稱性等特點找到等量列出等式即可求出M點坐標，從而再找到N的坐標．【詳解】解：（1）由題知：A（3，0），C（0，4），D（0，b），E（3，b﹣2），∵OD＝BE，∴b＝4﹣（b﹣2），∴b＝3；（2）過點E作EF⊥OC于F，過點M作MP⊥OC于P，如圖所示，由（1）得，D（0，3），E（3，1）由勾股定理得，DE＝，∵DM：ME＝1：2，∴DM＝DE＝，設點M（a，3﹣a），由DP2＋MP2＝DM2得（3＋a﹣3）2＋a2＝（）2，解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去），∴M（1，）；（3）N1（，），N2（﹣，），理由如下：設M（m，3﹣m），①當OD為菱形一邊時，OD＝OM，如圖所示：

∴m2＋（3﹣m）2＝32，解得，m＝＜3或m＝0（不合題意，舍去），∴M（，）在線段DE上，過點M作MNOD，MN＝OD，則四邊形OMND是菱形，則點N為所求，N（，）；②當OD為菱形一條對角線時，過OD中點P作PM⊥OD交直線CE于點M（c，），∴＝﹣c＋3，∴c＝＜3，∴點M（，）在線段DE上，當點N與點M關于y軸對稱時，四邊形OMDN是菱形，∴N（﹣，），綜上，符合條件的點N有兩個，其坐標分別為N（，）或N（﹣，）．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合大題，考查了一次函數(shù)基本性質(zhì)，坐標的變化規(guī)律以及菱形的基本性質(zhì)等知識，熟練掌握好一次函數(shù)的基本性質(zhì)以及平面直角坐標系中點的綜合變化，并能將菱形特點與平面直角坐標系坐標變化相互結合，靈活運用是解決本題的關鍵．11．如圖1，已知在平面直角坐標系中，矩形的頂點的坐標是，動點從點出發(fā)，沿線段向終點運動，同時動點從點出發(fā)，沿線段向終點運動．點，

的運動速度均為1個單位/秒，運動時間為秒．過點作交于點．（1）求直線的解析式；（2）在點，的運動過程中，當為直角三角形時，請求出的值；（3）在動點運動的過程中，在矩形內(nèi)（包括邊界）是否存在一點使以，，，為頂點的四邊形是菱形，若存在，請求出的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）秒或2秒；（3）存在，的坐標為或【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出點A、C坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分和兩種情況，利用相似即可求解；（3）分用含t式子表示出點E坐標，分在左側和在右側兩種情況，結合菱形性質(zhì)得到關于t的方程，求解，舍去不合題意解，問題得解．【詳解】解:（1）∵矩形的頂點的坐標是，的坐標是，的坐標是，設直線的解析式為：，則：，解得，∴直線的解析式為：；（2）①當時，如圖1，由題意可知，，三點共線，，分別是，的中點，秒；

②當時，如圖2，由題意可知，，，，，，，，，，解得，經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意，

∴當秒或2秒時，為直角三角形．（3）由題意可知的坐標為①如圖3，當在左側時：，∴可知的坐標為，∵菱形，，即，，解得，（舍去），的坐標為；②如圖4，當在右側時：，∴可知的坐標為，∵菱形，，即，，解得，（舍去），的坐標為；

的坐標為或時，以，，，為頂點的四邊形是菱形．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形動點問題，菱形性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，一元二次方程應用等知識，綜合性較強，根據(jù)題意靈活應用所學知識并進行分類討論是解題關鍵．12．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于兩點．（1）求出兩點的坐標；（2）為軸上一點，將直線AC沿著直線AB平移，使得點A落在點B處，此時點C的對應點為D，求出點D的坐標，請判斷四邊形ABDC的形狀，并說明理由．（3）點M為軸上一點，點N為坐標平面內(nèi)另一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有符合條件的點N的坐標．【答案】（1）、；（2）點的坐標為、平行四邊形，理由見解析；（3），，，．【分析】（1）分別令、求解；（2）由平移性質(zhì)可知，，求得坐標和判斷形狀；（3）分三種情況討論：當AC與AM為兩鄰邊時；當AC與CM為兩鄰邊，AM與CN

為對角線時；當AM和AN為兩鄰邊時，AC為對角線，時；分別根據(jù)菱形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）∵，∴令，，∴，令，∴，∴，∴，；（2）①解：由平移性質(zhì)可知，，∵，，∴，∴，∴點的坐標為；②四邊形為平行四邊形，理由如下：由平移性質(zhì)可知，∵，，∴四邊形為平行四邊形；（3）由①可知，，∴，∵以為頂點的四邊形是菱形，∴①當AC與AM為兩鄰邊時，，，∴，；②當AC與CM為兩鄰邊時，AM與CN為對角線，∵，∴；③當AM和AN為兩鄰邊時，AC為對角線，，設，∴，

∴，在中，，，∴，∴，∴綜上所述，滿足條件的N點共有4個，即，，，．【點睛】本題綜合性較強，涉及到一次函數(shù)與坐標軸的交點計算、平移的性質(zhì)和規(guī)律、菱形的性質(zhì)，計算量也較大，分類討論的數(shù)學思想是解題的關鍵．13．如圖，直線與軸交于點，與直線相交于點．（1）求點的坐標；（2）動點從原點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度在線段上向點作勻速運動，連接，設運動時間為秒，的面積為，求關于的函數(shù)關系式；（3）若點是軸上的點，點是坐標平面內(nèi)的點若以為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為或或或．

【分析】（1）聯(lián)立兩直線的解析式求出x、y的值即可得出P點坐標；（2）先求出A點坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論；（3）分OP為菱形的邊與對角線兩種情況進行討論．【詳解】解：（1）解方程組：得點的坐標為（2），（3）如圖，當OP為菱形的邊時，∵P（2，2），∴OP＝，∴N1，N2，N3；當OP為對角線時，設M（0，a），則MP＝a，即22＋（2?a）2＝a2，解得a＝，∴N點的縱坐標＝2，∴N4．綜上所述：點的坐標為或或或．

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．14．在平面直角坐標系之中，點O為坐標原點，直線分別交x、y軸于點B、A，直線與直線交于點C．（1）如圖1，求點C的坐標．（2）如圖2，點P（t，0）為C點的右側x軸上一點，過點P作x軸垂線分別交AB、OC于點N、M，若MN=5NP，求t的值．（3）如圖3，點F為平面內(nèi)任意一點，是否存在y軸正半軸上一點E，使點E、F、M、N圍成的四邊形為菱形，若存在求出點E坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）C；（2）t=2.4；（3），，，

．【分析】（1）聯(lián)立正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y

的值，確定出C點坐標即可；（2）設P（t，0），則N（t，），M（t，3t），利用兩點間距離公式表示出MN，NP的長，然后根據(jù)題意列方程求解；（3）根據(jù)t的值求出點M，N的坐標和MN的長度，然后分MN為對角線或MN為邊結合菱形的性質(zhì)和勾股定理進行分情況討論求解．【詳解】解：（1）∵直線與直線交于點C．∴聯(lián)立，解得

∴C（2）設P（t，0），則N（t，），M（t，3t）MN=3t-（）=，NP=∵MN=5NP，∴=5（），解得t=2.4

（3）經(jīng)過計算：當t=2.4時，M（），N（），MN=6，情況1，以MN為對角線，作MN的垂直平分線交y軸正半軸于點E，∴MT=NT=3，ET=TF=2.4，∴此時，即

情況2：以MN為邊，點E在點M的下面，，作⊥MN，∴在Rt△中，MY=，∴此時情況3：以MN為邊，點E在點M的上面

同理作⊥MN，解得MW=，此時或．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理的計算，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．15．如圖，直線與x軸y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且.（1）求點A的坐標及直線BC的函數(shù)關系式；（2）若點P在x軸上，平面內(nèi)是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.（3）點M在x軸上，連接MB，當時，求點M的坐標.【答案】（1）A（4，0），；（2）點M的坐標為（3，0）或（，0）；（3）點Q

的坐標為（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或(?，4)．【分析】（1）首先求出A、B、C三點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可．（2）當點M在點A的左邊時，可以證明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），當點M在點A的右邊時，作點M關于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA=∠MBA，點M1滿足條件即可（3）畫出圖形，分兩種情形討論即可①當BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，②當BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形．【詳解】解：（1）直線y=-x+4，當x=0的y=4，當y=0得x=4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB=OA=4，∵，∴OC=3，∴C（-3，0），設直線BC的解析式為y=kx+b，∴∴∴直線BC的解析式為（2）如圖1，當點M在點A的左邊時，∵OB=OA=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，

∴∠CBO=∠OBM，∵∠CBO+∠BCO=90°，∠BMO+∠OBM=90°，∴∠BCO=∠BMO，∴BC=BM，OC=OM=3，∴M（3，0），當點M在點A的右邊時，作點M關于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA=∠MBA，點M1滿足條件．∵N（4，1），B（0，4），∴直線BN的解析式為y=-x+4，令y=0，得x=，∴M1（，0），綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（3，0）或（，0）．（3）如圖2，當BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，此時Q1（-5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），當BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形，可得Q4（-，4）．綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或(?，4)．

【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題、考查了菱形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識，分類討論思想的運用是解題的關鍵，屬于中考常考題型．16．如圖，已知一次函數(shù)圖象交直線OA于點A（1，2），交y軸于點B，點C為坐標平面內(nèi)一點．（1）求k值；（2）若以O、A、B、C為頂點的四邊形為菱形，則C點坐標為；（3）在直線AB上找點D，使的面積與（2）中菱形面積相等，則D點坐標為．【答案】（1）；（2）（﹣1，2）；（3）（﹣1，6）或（3，﹣2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）只要證明A、C關于y軸對稱即可解決問題；（3）分兩種情形，根據(jù)即可解決問題；【詳解】（1）將點A（1，2）代入一次函數(shù)中，，得．（2）∵一次函數(shù)解析式為，∴B點坐標為（0，4），∵A（1，2），∴OA=，AB=，∵以O、A、B、C為頂點的四邊形為菱形，∴存在OB⊥AC，且OB、AC互相平分，由對稱性得C點坐標為（﹣1，2）．

故答案為（﹣1，2）．（3）∵四邊形OABC是菱形，∴，∴當點時，的面積與（2）中菱形面積相等，∴D點有兩個（如圖）∴∵一次函數(shù)與x軸的交點為（2，0），∴D（﹣1，6）或（3，﹣2）．【點睛】本題考查兩直線相交、菱形的性質(zhì)和判定、一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．17．如圖，平面直角坐標系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程的兩個根，點C在x軸負半軸上，且AB：AC=1：2（1）求A、C兩點的坐標；

（2）若點M從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數(shù)關系式