初中數(shù)學(xué)方程訓(xùn)練80題含答案

初中數(shù)學(xué)方程專題訓(xùn)練80題含答案

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、解答題

1.某雞場(chǎng)用雞籠裝小雞，若每個(gè)雞籠裝36只小雞，則余II只小雞；若減少兩個(gè)雞籠，

則所有小雞正好平均裝完.已知一個(gè)雞籠最多能裝小雞45只，問(wèn)原有雞籠多少個(gè)？小

雞多少只？

2.求下列方程組的整數(shù)解：卜0-2)，/：3,

3+yz=l.

fx-y=2,

3.已知方程組"/若方程組有非負(fù)整數(shù)解，求正整數(shù)膽的值，并求出方程組的

Unr+y=6.

解.

4.中國(guó)百雞問(wèn)題：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.百錢買百雞.問(wèn)

雞翁、雞母、雞雛各幾何？

5.對(duì)非負(fù)整數(shù)小滿足方程x+y+2z=〃的非負(fù)整數(shù)(x,y,z)的組數(shù)記為%.

(1)求％的值；

(2)求的值.

x2+4

6.解方程x-2x=4.

x

7.已知4,b,C,是正數(shù)，且關(guān)于X的方程/*2+(/-匕2一°2口+62=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，證

明：以小b,C為長(zhǎng)度的線段可組成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).

8.若方程402x+^W-1=0的根小于零，試求a的取值范圍.

9.甲、乙、丙三隊(duì)要完成48兩項(xiàng)工程，B工程的工作量比A工程多!，甲、乙、丙

單獨(dú)完成4工程所需時(shí)間分別是20天、24天和30天.為了同時(shí)完成兩項(xiàng)工程，先派

甲做A工程，乙、丙共同做B工程，經(jīng)過(guò)幾天后，又調(diào)丙與甲共同完成A工程，問(wèn)丙

與乙合作了幾天？

10.某校一間宿舍里有若干名學(xué)生，其中一人擔(dān)任舍長(zhǎng).元旦時(shí)，該宿舍每名同學(xué)互贈(zèng)

一張賀卡，并且每人乂贈(zèng)送給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位宿舍管理員也回贈(zèng)舍

長(zhǎng)一張賀卡，這樣共用去51張賀卡，問(wèn)這間宿舍里共住了多少名學(xué)生？

11.某林場(chǎng)安排了7天的植樹工作，第二天起每天比前一天增加5個(gè)植樹的人，但從第

二天起每人每天卻比前一天少植5棵樹，且同一天植樹的人植相同數(shù)量的樹.若7天共

植樹9947棵，則植樹最多的那天共植了多少棵樹？植樹最少的那天，有多少人在植樹？

12.--輛汽車下坡速度為72km/h,在平地上速度為63km/h,上坡速度為56km/h.這

輛汽車從A地到B地用了4小時(shí)，而返程用了4小時(shí)40分鐘，到4B兩地相距多遠(yuǎn)？

13.已知實(shí)數(shù)滿足(2x+l)2+y2+(y-2x)2=；,求x+y的值.

14.若。上1,那么方程疝二=x的實(shí)數(shù)解之和等于多少?

15.已知/一5丁+8/-5刀+1=0,求x+1的值.

X

16.已知關(guān)于x的一元二次方程Y+2(a+抄+3)x+(/+4〃+99)=0無(wú)相異實(shí)根，則滿

足條件的有序正整數(shù)(〃，切有多少組？

17.。是大于0的實(shí)數(shù)，已知存在唯一實(shí)數(shù)&,使得關(guān)于x的二次方程

x2+(/+ak)x+1999+/+ak=。的兩個(gè)根均為質(zhì)數(shù)，求〃的值.

18.已知方程6/+2(機(jī)-13)》+12-機(jī)=0恰有一個(gè)正整數(shù)解，求正整數(shù)m.

19.已知上是整數(shù)，且方程必+履-4+1=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求k的值.

20.設(shè)-〃-2a+l=0,/-2/-1=0,且從片0,求代數(shù)式［絲二表1)的值.

21.設(shè)滿足ax+hy=3,ax2+hy~=7,ar'+hyi=16,ax4+by4=42,求g?+bys的

值.

22.有若干自然數(shù)，它們的平均數(shù)為11,若去掉一個(gè)最大自然數(shù)，它們的平均數(shù)為10,

若去掉一個(gè)最小自然數(shù)，它們的平均數(shù)為12,這些自然數(shù)最多有多少個(gè)？這時(shí)最大自

然數(shù)是什么數(shù)？(注：這里自然數(shù)指的是正整數(shù))

23.解方程組《

C1,

2x+y+—=6.

y

24.設(shè)工=4+〃-。,丫=“+。-3,2=。+。-4,其中a,b,c,為待定質(zhì)數(shù).如果

/=6,正-4=2,試求積〃仇、的所有可能值.

25.已知a力都是正整數(shù)，試問(wèn)關(guān)于x的方程*?一以+!3+。)=0是否有兩個(gè)正整數(shù)解？

2

如果有，請(qǐng)把它們求出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)給出證明.

26.解不等式：

2

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

ax+2y=l+a

27.已知關(guān)于的方程組分別求出當(dāng)。為何值時(shí)，方程組的解為:

2x+2(Q-l)y=3

(1)唯一一組解；

(2)無(wú)解；

(3)有無(wú)窮多組解.

x+y-z=-7①

28.解方程組-y+z-x=3②.

z+x-y=9③

'3x+4y=-5①

5x+6y=—9②

29.關(guān)于x和y的方程組，。，八辦有解，求加+療的值.

(n-6m)x-6y=10?

5x+(10，〃+2〃)y=-9@

30.設(shè)關(guān)于x的二次方程(公-6%+8卜2+(2/-6"斗*+公=的兩根都是整數(shù)，求滿

足條件的所有實(shí)數(shù)％的值.

31.解方程=++].

32.甲、乙兩個(gè)杯子，分別裝有兩種濃度不同的酒精與水的混合物16克和24克.現(xiàn)分

別從甲、乙兩杯中倒出重量相等的部分混合液，并將甲杯中倒出的那部分混合液倒入乙

杯，將乙杯中倒出的那部分混合液倒入甲杯，此時(shí)甲、乙兩杯中酒精的濃度恰好相等問(wèn)

從甲杯中倒出的那部分混合液重多少克？

33.5人合打一份稿件，如果第一、二、三人同時(shí)工作需7.5小時(shí)，第一、三、五人同

時(shí)工作，需5小時(shí)；第一、三、四人同時(shí)工作需要6小時(shí)；第二、四、五人同時(shí)工作需

要4小時(shí)，問(wèn)五人同時(shí)工作需要多少小時(shí)才能打好這份稿件？

34.甲、乙兩人分別從A,8兩地同一時(shí)間向同一方向前行，甲經(jīng)過(guò)B地后再走3小時(shí)

12分在C地追上乙，這時(shí)兩人共走了72千米.若乙從A地走到C地需5小時(shí)，求48

兩地的距離.

35.一列火車長(zhǎng)x米，勻速通過(guò)300米的隧道，用時(shí)25秒，隧道頂部一盞固定的燈在

火車上照了10秒，求火車的長(zhǎng)度.

36.已知V—奴+3-6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，￡+(6-?？?6-6=0有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根，f+(4-a)x+5-b=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求a,b的取值范圍.

37.解方程5x2+i0y2-12xy-6x-4y+13=0.

38.解方程五++Jz-2=g(x+y+z).

Xyfyz+yy/xz=39-xy,

39.解方程組：-y>/xz+zy/xy=52-yz,

Zy]xy+Xyfyz=78-

2X+77=28,

40.解方程組

x2+(x-3)y[y-2y=\S\.

22

41.解方程yjx+3x+7-y/x-3x+4=3

42.解方程/+2河/+10犬+1+何=0.

43.解方程組

x+y+J(x+2)(y+3)=34,

(x+2產(chǎn)+(y+3了=741—(x+2)(>'+3).

44.解方程:

(1)12x4-56x3+89x2-56x+12=0;

(2)%5+2x4-5x3+5X2-2x-l=0

45.已知關(guān)于x的方程卜-5x《=-6-4a有兩個(gè)實(shí)根相等，求a的值.

46.已知"0,并且關(guān)于x的方程加-加-4+3=0①至多有一個(gè)解，試問(wèn)：關(guān)于x的

方程S-3)x2+(a-2b)x+3a+3=0②是否一定有解？證明你的結(jié)論.

47.1罐咖啡甲、乙2人一起喝10天喝完，甲單獨(dú)喝則需12天喝完；1斤茶葉甲、乙

2人一起喝12天喝完，乙單獨(dú)喝則需20天喝完.假定甲在有茶葉的情況下絕不喝咖啡，

乙在有咖啡的情況下絕不喝茶葉，問(wèn)2人一起喝完1斤茶葉和1罐咖啡需多少天？

48.已知關(guān)于1的方程4萬(wàn)2-8辦:—3〃=2和/-(〃+3?-2〃2=2,問(wèn)是否存在這樣的〃

的值，使第一個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根的差的平方等于第二個(gè)方程的一個(gè)整數(shù)根？若存在，求

出這樣的〃；若不存在，說(shuō)明理由.

Y'31八]Y

一,'有整數(shù)解a,y),求滿足的

(y=ax+b

關(guān)系式.

50.若關(guān)于x的方程D*k；-Y——l=ex上14-1二只有一個(gè)解，試求％的值與方程的解.

x-1X'-xX

51.若方程MJ+ar—1=0和/一以一/=o有公共根，求。的值.

52.已知都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的方程V-(8p-10q)x+5/%=0至少有一個(gè)正整

數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對(duì)(P，4).

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

53.設(shè)a\k、2k+m+加-2k+J22i'求"M+…+?。?

54.解方程5/77^+^/7^1-Jx+7=0

55.今有濃度為5%,8%,9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為60g,60g,47g,現(xiàn)要配制成濃

度為7%的鹽水100g.間甲鹽水最多可用多少克?最少可用多少克？

56.某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次每件獲利潤(rùn)8元，每提高一個(gè)檔次

每件產(chǎn)品利潤(rùn)增加2元，最低檔次每天可生產(chǎn)60件，提高一個(gè)檔次將減少3件.如果

使一天獲利潤(rùn)858元，則應(yīng)生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品(最低檔次為第1檔次，檔次依次隨質(zhì)

量提高而增加)？

57.某人沿著向上移動(dòng)的自動(dòng)扶梯從頂端向下走到底部用了7分30秒，而他沿自動(dòng)扶

梯從底部走到頂端用了1分30秒，那么此人不動(dòng)乘扶梯從底部到頂端需要幾分鐘？又

若停電，此人沿扶梯從底部走到頂端需幾分鐘(假定此人上、下扶梯行走速度相同)？

58.定義運(yùn)算*:x*y=ax+y+bxy,且2*3=13,3*4=22.若非負(fù)整數(shù)相，”滿足

m*n-Yl,求，"和”的值.

59.若關(guān)于x的方程——34》+34"1=0至少有一個(gè)正整數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù)%的

值.

60.設(shè)正整數(shù)機(jī)，血滿足：關(guān)于x的方程。+〃?)@+〃)=了+〃?+〃至少有一個(gè)正整數(shù)解，

證明：2(加2+〃2).

61.關(guān)于x的方程廬7+247口=彳有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

62.設(shè)P是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù).若函數(shù)y=x2+px+(Z+l)p-4的圖象與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)至少有一個(gè)為整數(shù)，求人的值.

63.已知［=0-1，若正整數(shù)b,機(jī)使得等式(S+M(初+㈤=17機(jī)成立，求功的

值.

64.已知f是一元二次方程/+工-1=0的一個(gè)根，若正整數(shù)。，6,機(jī)使得等式

(s+〃2)(6f+m)=31/"成立，求時(shí)的值.

65.已知a,b,。為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：

a+b+c-32?

b+c-ac+a-ba+b-c1c

becaah4

證明：以,4b,五為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

66.三只螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿三角形道路A7CfA爬行，已知第一只螞蟻

在AB,BC,C4上爬行速度分別為12厘米/秒，10厘米/秒，15厘米/秒；第二只螞蟻

在此三段道路上的速度分別為15厘米/秒，15厘米/秒，10厘米/秒；第三只螞蟻在此三

段上的速度分別為10厘米/秒，20厘米/秒，12厘米/秒.若三只螞蟻同時(shí)回到A點(diǎn)，求

NABC的值.

67.求所有的正整數(shù)數(shù)對(duì)(。力)，使“3=49x3"+8.

68.已知實(shí)數(shù)X,y滿足x+y=3,—二+/一=:，求/+)戶的值.

x+y-r+y2

69.已知均為非負(fù)數(shù),且滿足3a+2b—2c=0,44+6-6。=一10,已知S=3a+b-7c,

設(shè)為S的最大值和的最小值分別為x、y.求孫的值.

70.海關(guān)緝私快艇裝滿汽油后，每艘可航行300海里.現(xiàn)有3艘緝私快艇同時(shí)從海關(guān)出

發(fā)，巡邏后應(yīng)全部返回.為使搜巡范圍更寬，在巡邏至某處后，其中兩船留足自己返回

的用油，將多余的油交給第3只船使用.問(wèn)第3只船的最遠(yuǎn)巡邏距離距海關(guān)多少海里？

71.甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)相向勻速前進(jìn)，第一次相遇在距4點(diǎn)4km處，然

后繼續(xù)前進(jìn)，甲到8地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距3點(diǎn)2km處，求A、

8兩地間的距離.

72.求方程/+2--6x+8=丁+y的正整數(shù)解(x,y).

73.設(shè)。，h,c,4為四個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若a,b為方程f-10a-lId=0的根，c,

d為方程x'-lOar-l16=0的根，求a+6+c+d的值.

74.若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=6,xyz+\=2(xy+yz+zx),

(x-3)3+(y-3)2+(z-3)3=3,求孫z.

75.設(shè)。為質(zhì)數(shù)，Z?為正整數(shù)，且9(2“+4=509(4“+51仍)，求。，匕的值.

76.已知/+〃=],對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)x,不等式

ci[\—x)(\—x—ax)—bx{b—x—bx)>0(1)恒成立，當(dāng)乘積a匕取最小值時(shí)，求a,b的

值.

77.判斷下列方程是不是二項(xiàng)方程，如果是二項(xiàng)方程，求出它的根.

(1)丁-64=0

(2)x4+x=0

(3)^=-9

(4)x3+x=l

78.兩條并行線上共有人個(gè)點(diǎn)，用這火個(gè)點(diǎn)恰可以連接1309個(gè)三角形，那么A是多少？

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.原有雞籠85個(gè)，小雞3071只

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)原有雞籠x個(gè)，當(dāng)減少兩個(gè)籠子后，每個(gè)籠子裝小雞”只，則xN3,“445,且

36%+11=〃(x-2),

Q-2

所以“='+36.

x-2

因?yàn)?為整數(shù)，知83被一整除.又83為質(zhì)數(shù)，故x-2=1或*-2=83,

得x=3或x=85.

當(dāng)x=3時(shí)，?=119>45,不合題意，舍去；

當(dāng)x=85時(shí)，〃=37,則36x+ll=3071.

所以，原有雞籠85個(gè)，小雞3071只.

2.(x,y,z,/)=(1,0,3,1),(-1,0-3,-1),(3,1,1,0),(-3,-1,-1,0)

【解析】

【分析】

【詳解】

由原方程可得(xz—2yf)-+2(xt+yz)-=3-+2T,

則任+2力它+2打=11,

所以/+2產(chǎn)=1,或Z2+2/=1.

(i)當(dāng)f+2y2=l時(shí)，z2+2/2=11.

所以y=o,Jix=±l；?=±1,且2=±3.

(ii)當(dāng)z2+2/=l時(shí)，x2+2y2=11.

所以f=0,且2=±1；y=±l,Ji.x=±3.

經(jīng)直接驗(yàn)證可知，所求得的四組解都可以滿足原方程組，它們是

(x,j,z,0=(1,0,3,1),(-1,0-3,-1),(3,1,1,0),(-3,-1,-1,0).

答案第1頁(yè)，共47頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

將方程組中兩個(gè)方程相加，便可轉(zhuǎn)化為解關(guān)于〃7,X的不定方程.

解將方程組中兩方程相加，得G〃+l）x=8.

因?yàn)樵匠逃蟹秦?fù)整數(shù)解，且m為正整數(shù)，所以，"的可能值為1,3,7.

當(dāng)切=1時(shí)，x=4,解得y=2；

當(dāng)相=3時(shí)，x=2,解得y=。；

當(dāng)，〃=7時(shí)，x=l,解得y=-l（舍去）.

[x=4,fx=2,

故所求原方程組的解為c或八

[y=2[y=o.

4.（雞翁、雞母、雞雛）的數(shù)量分別為（0,25,75）,（4,18,78）,（8,11,81）,（12,4,84）

【解析】

【分析】

【詳解】

x+y+z=100,

設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別為羽y,Z,則有L°Z通過(guò)消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二

5x+3y+-=100,

元一次不定方程的非負(fù)整數(shù)解.

解消去方程組中的z,得7x+4y=100,顯然，（0,25）是方程的一個(gè)特解，所以方程的通解

x=-4z,

。為整數(shù))，于是有z=100-x-y=100+4/-(25+7f)=75-3，.

y=25+lt

由x,y,zN0且，為整數(shù)，得

-4/>0,

,25+7r<0,r=0,-l,-2,-3.

75-3r>0,

將t的值代入通解,得四組解（x,y,z）=（0,25,75）,（4,18,78）,（8,11,81）,（12,4,84）.

5.(1)%=6；(2)?2?>i=1003002

【解析】

答案第2頁(yè)，共47頁(yè)

【分析】

【詳解】

當(dāng)〃=3時(shí)，有x+y+2x=3.

由x20,y20,zN0,可得O〈x<l.

當(dāng)z=l時(shí),x+y=l,于是(x,y)=(0,1),(1,0).

當(dāng)z=0時(shí),x+y=3,于是(x,y)=(O,3),(l,2),(2,l),(3,O).

綜上可得，4=6.

(2)當(dāng)“=2001時(shí)，有x+y+2z=2001.

由x20,y20,z20,可得04x41000.

當(dāng)z=1000時(shí),x+y=l,于是(x,y)=(O,l)(l,O),有2組；

當(dāng)z=999時(shí),x+y=3,于是(x,y)=(O,3),(l,2),(2,l),(3,O),有4組；

當(dāng)z=998時(shí),x+y=5,于是(x,y)=(0,5),(l,4),(2,3),(3,2),(4,l),(5,0),有6組;

當(dāng)z=0時(shí)，x+y=2001,于是(x,y)=(O,2OOl),(1,2000),…,(2001,0),有2002組.

綜上，數(shù)組(x,y,z)共有

2+4+6+…+2002=2(1+2+3+…+1001)=1003002(組).

所以出附=1003002.

4

6.x=T或不

【解析】

【分析】

【詳解】

原方程中顯然XHO,故原方程可化為卜+(2)2］-2=±又

1+(1)2-2=1+怕)2卜2=腎］-1,

74

故原方程可化為［(—)2］=—+1,

XX

4n2

所以一為整數(shù)，設(shè)4("為整數(shù))，原方程又化為［土］="+1.

xx4

答案第3頁(yè)，共47頁(yè)

fl

于是〃+1W—<〃+2,

4

即卜：_4…*。，卜<2(1揚(yáng)或"42(1.揚(yáng)=2a-揚(yáng)。42(1-72)

[n--4/1-8<0[2(1-V3)<w<2(l+V3)

或.2(1+>/2)<H<2(1+>/3).

4

又〃為整數(shù)，所以〃=-1或〃=5,故x=-4或g

7.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

由己知條件得

^(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]

=(a+Z7-c)(?-Zj+c)(a-/?-c)(a+/?+c)=-(a+Z7-c)(a+c-Z?)(Zj+c-a)(a+/?+c)<0.

5La+b+c>Q,故(a+0-c)(a+c-Zj)(〃+c-a)>0,^^a+b-c,a+c-b,b+c-a

中或者有一個(gè)為正，兩個(gè)為負(fù)或者三個(gè)都為正.若a+b-c,a+c-6,8+c-a中有一個(gè)為正,

兩個(gè)為

負(fù)，不妨設(shè)“+力-。>0,“+C-》<0力+<：'-4<0,后兩式相加得2c<0,矛盾，故這種情形不

出現(xiàn).所

VXa+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0,a+b>c,a+c>b,b+c>a.故長(zhǎng)為a,b,c的三

條線段可構(gòu)

成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).

8.a>2010

【解析】

【分析】

【詳解】

因x<0,故|x|=-x,原方程化為402》一5工=1,*=^^<0所以2010—a(0,4)2010.

9.15天

【解析】

答案第4頁(yè)，共47頁(yè)

【分析】

【詳解】

20V2030）

設(shè)丙隊(duì)與乙隊(duì)合作尤天，與甲隊(duì)合作y天，則依題意可得/??去分母得

（11\y.1

3x+5y=60,

9x+5y=150,

x=15,

由此解出

[y=3.

答：乙、丙合作了15天.

10.6名

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)這間宿舍里有x名學(xué)生，宿舍樓有y名管理員（乂丫為正整數(shù)）,依題意x（x-l）+Ay+y=51,

a[Jx2+（y-l）x+y-51=0,故判別式△=（y-l）?_4（），一51）=y?_6y+205=（y_3>+]96.

因x，y為正整數(shù)，故A必為完全平方數(shù).

設(shè)A=（y-3『+196=^2為正整數(shù)），

則（y+"3）（—-3）=796=-22x72.

因y+"3與y-"3具有相同的奇偶性（因它們的差象為偶數(shù)），且y+/-3±y—A-3,故

卜+"3=98卜+"3=14,卜+"3=2,

（1）彳,,或（II）彳或（HI）J

[y-&-3=-2,[y-k-3=-14,[y-?-3=-98.

由（I）得V=51,此時(shí)原方程為丁+50%=0,解得占=50,々=。（舍去）.

由（II）得y=3,此時(shí)原方程為丁+2犬-48=0，解得%=6,々=-8（舍去）.

由（III）得y=-45（不合題意，舍去）.

因?yàn)橐婚g宿舍內(nèi)不可能住50名學(xué)生，故x=50舍去，只有x=6.

答：這間宿舍里住有6名學(xué)生.

11.植樹棵數(shù)最多的那天共植了1521棵，第1天和第7天植樹的棵數(shù)最少，第1天有54

答案第5頁(yè)，共47頁(yè)

人參加植樹，第7天有24人參加植樹

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)第4天有〃?人植樹，每人植樹〃棵，則第4天共植樹相〃棵，于是第3,2,1天共植樹數(shù)目分

別為(m-5)(〃+5),(zn-10)(〃+10),(力-15)(〃+15),而第5,6,7天植樹數(shù)目則分別為

(a+5)(九一5),(m+10)(/?-10),(/%+15)(〃一15).

因7天共植樹9947棵，故(〃2-15)(〃+15)+(加-10)(〃+10)+(機(jī)-5)(〃+5)+〃?髯+0+5〉

5-5)+?！?10)5—10)+(〃?+15)(〃-15)=9947.化簡(jiǎn)得7研一700=9947,即

mn=\52\=32xl32.因每天都有人植樹，所以-15>0,〃-15>。，故"z=〃=39.因第4

天植樹棵數(shù)為39x39=1521,其他各天植樹棵數(shù)為(39-a)(39+a)=39?=1521-/<1521

(其中。=5,10或15),故第4天植樹棵數(shù)最多，共植了1521棵，第1天和第7天植樹的棵

數(shù)最少，第1天有39+15=54人參加植樹，第7天有39-15=24人參加植樹.

12.273km

【解析】

【分析】

【詳解】

用x，y，z分別表示從A到8下坡、平地、上坡的距離，則三+2+展=4,3+/+二=上去

7263565663723

分母(兩邊同乘7x8x9)得7x+8y+9z=4x7*8x9,①

ccr14x7x8x9

9x+8y+7z=---------②

06x7*Rxq

(①+②)+16得x+y+z=----------=13x7x3=273(km).

3x16

答：兩地相距273km.

3

【解析】

【分析】

【詳解】

12

原方程可化為(3x+iy+3(y-x)2=0,所以x=y=-§,x+y=-§.

答案第6頁(yè)，共47頁(yè)

2

【解析】

【分析】

【詳解】

因X20,兩邊平方得《-,移項(xiàng)再平方得〃-20^+彳4=〃+》.我們將其看成a

的方程(變更主元！)：a2-(2x2+l)?+(x4-x)=0,解出

2

2/+1土J(2/+。-4(、7)一2d+1土J(2x+_2/+1±(2x+1),^a=x+x+\

Cl———

222

①，或〃=f_x②.

由①解出》=土畫三3,當(dāng)X20,故只有x=3亙二1.

22

由②，因。-工2=1+工〉0,而一xWO,故a-12=_］無(wú)解，所以原方程各個(gè)解之和為

2?

15.3

【解析】

【分析】

【詳解】

顯然x=0不是原方程的根，原方程兩邊除以產(chǎn)整理得(爐+()-5(1+5)+8=0.令

x+-=r,則工2+3=(尤+，］-2,于是產(chǎn)一2—51+8=0,即(［一2)?—3)=0,."=2或才=3,

XXVX)

即*+：=2或x+—=3.

x

16.16組

【解析】

【分析】

【詳解】

依題意得，判別式A=4(a+2H3)2-4(/+4從+99)40,化簡(jiǎn)得2ab+3a+6X45,即

(a+3)(26+3)454.

答案第7頁(yè)，共47頁(yè)

又因?yàn)椤檎麛?shù)，所以幼+34上54三45^4,即勸+3413,故645.

。+34

5454

當(dāng)b=l時(shí)，a+3<-f—=—,即a+3410,即。47,這時(shí)正整數(shù)有序?qū)Γā?切有7組:

26+35

54

當(dāng)匕=2時(shí)，?+3<y,即a+347,即a?4,這時(shí)正整數(shù)有序?qū)Γā?力有4組；

54

當(dāng)5=3時(shí)，tz+3<—=6,即aV3,這時(shí)正整數(shù)有序?qū)Γ?。，力?組；

當(dāng)匕=4時(shí)，”+34三54，即a+3V4,即a41,這時(shí)正整數(shù)有序?qū)Γā?力有1組；

54

當(dāng)b=5時(shí)，?+3<—=4,BPa<l,這時(shí)正整數(shù)有序?qū)Γ?。向?組.

綜上所述，符合條件的正整數(shù)有序?qū)Γ?。向共?+4+3+1+1=16組.

17.<7=2^502

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)方程的兩個(gè)質(zhì)數(shù)根為P，4,則由韋達(dá)定理有p+4=-/-a&,04=1999+/+a&.

兩式相力口得P"P+q=1999,即(p+l)(g+l)=2000=24x5?,

等,券均為正整數(shù)，且竽.等=?應(yīng)

顯然，。國(guó)都不等于2,故必為奇實(shí)數(shù)，所以

P+1:"=4,[四=5,P+1)<P+1

=2,-——=2x5,=22X5,

22222

不妨設(shè)pVq.于是，?*<解得

4+1=2x5\"1=51聞=22x5。4+1=52,

1222212

2p4=939、,。p=27,49,|f；/?==叫9,fp/=919,仁fp=53。9,其中只有[p憶=43,99,為質(zhì)數(shù),其他均不合題意，

舍去.

當(dāng)p=3應(yīng)=499時(shí)，關(guān)于％的方程標(biāo)+必+502=0有唯一實(shí)根，故其判別式

A=^-4x502=0.又a>0,所以4=2A/^.

18.8

【解析】

【分析】

【詳解】

答案第8頁(yè)，共47頁(yè)

因兩根之和為-絲尸是有理數(shù)，又一個(gè)根為正整數(shù)，則另一個(gè)根必為有理數(shù)，故判別式

A=4（機(jī)-13）2-24（12-附=4]是完全平方數(shù)，其中“為正整數(shù),即1-20〃?+97=〃2,即

、.〃-10=3,fA/2+/?-10=—1,

（〃2-10）--〃2=3,即（/+"-10）（機(jī)-〃-10）=3,所以＜或＜1A。解得

[m-n-\0=I[m-n—\0=—3,

7/2=12,J/n=8,

n=l,[n=l.

若%=12,則原方程6X2-2X=0無(wú)正整數(shù)解;若，w=8,則原方程-10x+4=0的解為了=1

2

和％=（，其中有一個(gè)正整數(shù)解.故所求整數(shù)m等于8.

19.-5

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)方程的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根為。和仇。＜份，則由韋達(dá)定理得。+6=-太必=-女+1,消

〃一l=L[a=2,

去攵得=即（Q_l）S—l）=2n,,故左=_（々+切=—5.

h-li=2[h=3.

20.1

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)椤?—2a+l=0,所以一2（11—1=0.

又因?yàn)閆/-2A2-1=（）,且即

a

故上和從是一元二次方程/-2x7=0的兩個(gè)不相等的根.

a

由韋達(dá)定理得=2,方=-1,

aa

所以『從+從+甲我、,2/000

-+b2\+—=[2+(-l)]2006=l2006=l.

\a）a)a

21.20

答案第9頁(yè)，共47頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

解因d=7-勿2"2=7-/，所以

]6=加+切3=(7_。)/卜+(7_/),

=l(x+y)-xy(ax+hy')=l(x+y)-3xy,

/.7(x+y)-3xy=16.①

類似地，因or'=16-次,如=16-加,所以

42=ax4+by4=(16-Z?y3)x+(16-ax3)y

=16(%+y)-孫(or?+")=16(x+y)-7xy,

，16(x+y)-7孫=42.②

①x7-②x3得x+y=T4.

代入①得-98-3^=16,即孫=-38.

又因以4=42-外4,勿4=42",所以

ax5+by5=(A2-hy^x+(A2-axi^y-A2(x+y)-xy^ax'+")

=42x(-14)-(-38)x16=20.

注：本題中進(jìn)行整體代換的技巧值得學(xué)習(xí).

22.自然數(shù)最多有11個(gè)，這時(shí)最大的自然數(shù)是21

【解析】

【分析】

【詳解】

解不妨設(shè)這些自然數(shù)為王4…則

X,+x2+---+X,,=11/2,①

“1+*2--------*'招-|=]0(〃-1)②

X

“2+X3---n=12(/1—1).③

①-③，得再=11〃-12("-1)=12-〃，所以〃=12-西412-1=11.

答案第10頁(yè)，共47頁(yè)

①-②，得斗=11，7-10(〃-1)="+10,所以X“="+1O411+1O=21.

故這些自然數(shù)最多有11個(gè)，這時(shí)最大的自然數(shù)是21.

注：按現(xiàn)行教材規(guī)定，自然數(shù)包括零在內(nèi).這時(shí)，答數(shù)不同于上述解答，應(yīng)為“V12,x?<22.

=2J/=4,X3—3—A/10,JC4=3+A/10,

-[y=1，1%=3+加,1%=3_加

【解析】

【分析】

【詳解】

解設(shè)u=^^,v=Jx+y-3,則原方程化為

ll-v=6,①

[〃2+v；2=3.②

①2一②得2uv=O,/.W=Ongv=O.

當(dāng)v=0時(shí)，/=3,此時(shí)解得卜=：'4=4,

[中-3=0,了=1，〔以7

1

XH--=0,x3=3—A/10,匕=3+同

當(dāng)〃=0時(shí),v2=3,此時(shí)>'解得?

y=3+710,y=3-710.

x+y—3=3,34

經(jīng)檢驗(yàn)，得原方程組的解為

JX,=2,Jx2=4,*3=3-V10,x4=3+>/10,

=1，=-1，.%=3+.y4=3_VHJ.

24.abc=561

【解析】

【分析】

【詳解】

所以"；(x+y),6=g(x+z),c=1(y+z).

解因?yàn)镼+/7-C=X,a+c-h=)?,/?+c-a=z

又因?yàn)閥=f,故

答案第II頁(yè)，共47頁(yè)

a=5(x+/),(T)

b=g(x+z),②

C=g(*2+z).③

所以x=T士珞域.④

2

因?yàn)閤為整數(shù)，故可設(shè)l+8a=(2T+l＞為正奇數(shù)的平方，其中T為正整數(shù)，于是

23(271)2?I=")),其中〃為質(zhì)數(shù)，故有7=2,7+1=。，即0=3.

將。=3代入④得x=2或一3.

當(dāng)x=2時(shí)，y=A?2=4,從而＞/7-2=2,z=16,代入②，③，得

b=，(2+16)=9,c=；Q2+16)=10,

這與6,c為質(zhì)數(shù)矛盾.

2

當(dāng)x=-3時(shí)，y=x=99從而6-3=2,z=25,代入②，③得

/?=1(-3+25)=11,C=1[(-3)2+25]=1,

這時(shí)a,4c都為質(zhì)數(shù)，46c=3*11x17=561.

25.x,=l,x2=2

【解析】

【分析】

【詳解】

解不妨設(shè)〃4人且設(shè)方程的兩個(gè)整數(shù)根為西，七（占4%）,則由韋達(dá)定理得

Xy+x2=ab,?

X.X.,=—(a+b).?

'2

因?yàn)?%_1)(々11)=玉/-(X+工2)+1=g(q+b)_ab+l

即4(占_1)(9-1)+(24_1)(?_1)=5.(3)

因。力都是正整數(shù),故由①，②知知三均為正整數(shù),于是占-120,々-120,2”121,26-121,

答案第12頁(yè)，共47頁(yè)

故由③知，只有下列兩種可能：

(T)[Gf5-1)=0,

[(2?-1)(2/7-1)=5;

(n"an-i)=i，

[(2a-1)(26-1)=1.

[2a—\=1,(a=\,

對(duì)于(/),因?yàn)檎麛?shù)且得》,〈即，，

[2c>-l=5,[0=3,

此時(shí)一元二次方程為Y-3X+2=0,它的兩個(gè)根為占=1,超=2.

2a-l=l,4=1,

對(duì)于(II)得即

2b7=1,6=1,

這時(shí)一元二次方程為r-X+l=0,無(wú)整數(shù)解.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)。=1,8=3時(shí)方程有兩個(gè)正整數(shù)解，且兩個(gè)正整數(shù)解為為=1,々=2.

CA—2+娓曲2+瓜

26.x<-------或x>------

22

【解析】

【分析】

【詳解】

解當(dāng)x<0時(shí)，原不等式顯然成立.

若x20,則x?-J>2x,①

或x2-』<-2x②

2

解①：因方程f一=2%即爐―2x—：=0的根為_(kāi)2±小22_4乂(一5)_2±仄；

22加=2

故①的解為x<2避或x>生逅結(jié)合X20,知原不等式的解為土逅.

222

解②：因方程x2-g=-2x,即x2+2x-g=0的根為為2=夸四，所以②的

解為士也<*<三尼

22

結(jié)合X20得04x<12”

2

故②的解為0Vx<2+".

2

答案第13頁(yè)，共47頁(yè)

綜上所述，得原不等式的解為x<—2+G或池

22

27.(1)aw2且4H-1；(2)2；(3)-1

【解析】

【分析】

【詳解】

解|2尤+25-1力=3,①

①x(a-1)-②得(a—2)(。+l)x=(。-2)(。+2).②

②xa-①x2得2(。-2)(。+1)丫=。-2.(4)

。+2

x=p

(1)當(dāng)(。-2)(。+1)工0時(shí)，即“工2且。。一1時(shí)，方程組有唯一一組解"+]

y—

[2(。+1)

(2)當(dāng)a=2時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解.

(3)當(dāng)a=-l時(shí)，方程組無(wú)解.

x=1

28.<y=-2

z=6

【解析】

【分析】

【詳解】

解①+②+③得x+y+z=5.④

④-①得2z=12,z=6；

④@得2x=2,x=l；

④-?得2y=-4,y=-2.

x=l,

所以原方程組的解為■y=-2,

z=6.

29.—

13

【解析】

【分析】

答案第14頁(yè)，共47頁(yè)

【詳解】

解②x2-①x3得x=-3.⑤

⑤代入①得站土尸=].⑥

im-n=6,⑦

⑤，⑥代入③，④后，整理得

5加+〃=3.⑧

9

(⑦+⑧)+13得加=看.(9)

96

⑨代入⑦得〃=8x—^—6=--.

1179

所以/+/=圖+(4

T6913

30.%=3,6,——

3

【解析】

【分析】

【詳解】

W原方程化為伏一2)(攵-4)父+(2-_6Z—4)X+/-2)伙+2)=0,即

[伏-2)1+攵+2][(%—4)%+%—2]=0,

k—2k+2

_________&-4k-2________

(攵2一2%—8)+(22-4女+4)=2左2—6攵一4

4+214k-2,2

x=------=—1------,Xj=---------=-1------

k-2k-22k-Ark-4

4