數(shù)學(xué)-專項18 平面直角坐標(biāo)系中的矩形（帶答案）

專題18平面直角坐標(biāo)系中的矩形1．如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線交于平面直角坐標(biāo)系的原點，點A的坐標(biāo)為，則點C的坐標(biāo)為A． B．C．（4，-3） D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分，再由對角線的交點為原點，則點A與點C的坐標(biāo)關(guān)于原點成中心對稱，據(jù)此可解．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴OA=OC，且點A與點C關(guān)于原點成中心對稱∵點A的坐標(biāo)為（-3，4），∴點C的坐標(biāo)為（3，-4）故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的關(guān)系．要會根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點A與點C關(guān)于原點對稱的特點，是解題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系中，長方形如圖所示，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)求出點的橫、縱坐標(biāo)即可獲得答案．

【詳解】解：∵四邊形為長方形，∴，，∵，∴點的橫坐標(biāo)與點相同，為，點的縱坐標(biāo)與點相同，為，∴點的坐標(biāo)為．故選：C．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用矩形“對邊平行且相等”的性質(zhì)解決問題．3．如圖，已知矩形OABC的周長為18，點B的坐標(biāo)為（4，7），則矩形OABC的面積為（

）A．28 B．16 C．8 D．4【答案】C【分析】連接OB，根據(jù)點B坐標(biāo)得到OB，設(shè)OC=x，BC=y，得到，，再利用完全平方公式得到，即可得解．【詳解】解：如圖，連接OB，∵B（4，7），∴OB==，∵矩形OABC的周長為18，設(shè)OC=x，BC=y，∴，，

∴=8，即矩形OABC的面積為8，故選C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是得出，，再靈活運用完全平方公式變形．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的頂點A的坐標(biāo)為，D是OB的中點，E是OC上的一點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，點E的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出A點關(guān)于y軸的對稱點，連接，與y軸交于點E，根據(jù)連接兩點的連線中，線段最短，可知此時的周長最小，再由待定系數(shù)法求得直線DA′函數(shù)式，進(jìn)而求出點E的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，作A點關(guān)于y軸的對稱點，連接，與y軸交于點E，此時的周長最小，∵，

∴，設(shè)直線表達(dá)式是，則，解得：，∴，所以點E的坐標(biāo)是．故選B．【點睛】本題考查了根據(jù)軸對稱求最短距離問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱把AE轉(zhuǎn)化為，利用兩點之間線段最短的性質(zhì)解決問題．5．如圖，矩形OABC的頂點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為（1，2）．固定邊OA，向左“推”矩形OABC，使點B落在y軸的點B'的位置，則點C的對應(yīng)點C'的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，得到點的坐標(biāo)．【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，點B的坐標(biāo)為（1，2），∴OA＝1，AB＝2，由題意得：AB'＝AB＝2，四邊形OAB'C'是平行四邊形，∴，，∴點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．故選：A．

【點睛】本題考查點坐標(biāo)的求解和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)求出線段長從而得到點坐標(biāo)．6．在長方形中，三點的坐標(biāo)分別是則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)求出點Q的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),即可得解．【詳解】解：在長方形中：則點Q的橫坐標(biāo)與點M的橫坐標(biāo)相同，為0,點Q的縱坐標(biāo)與點P的縱坐標(biāo)相同，為2，則點Q的坐標(biāo)為(0,2)．故選:B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識,熟練掌握矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．在平面直角坐標(biāo)系中，一個長方形的三個頂點坐標(biāo)分別為（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（5，﹣2），則第四個頂點的坐標(biāo)（）A．（5，3） B．（3，5） C．（7，3） D．（3，3）【答案】A【分析】設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，n），由長方形的性質(zhì)可以得出“DC=AB，AD=BC”，由DC=AB可得出關(guān)于m的一元一次方程，由AD=BC可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可得出點D的坐標(biāo)．【詳解】依照題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，n），∵點A（-2，-2），B（5，-2），D（-2，3），AB=5-（-2）=7，DC=AB=7=m-(-2)，解得：m=5；AD=3-（-2）=5，BC=AD=5=n-（-2），解得：n=3

∴點C的坐標(biāo)為（5，3），故選A．【點睛】本題考查了坐標(biāo)系中點的意義以及長方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分別得出關(guān)于m、n的一元一次方程．解決該題型題目時，依照題意畫出圖形，再根據(jù)圖形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.8．如圖，四邊形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，點C在第二象限，則點C的坐標(biāo)是______．【答案】(﹣2，4)【分析】作AM⊥x軸于M，CN⊥y軸于N，則∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，證明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案．【詳解】解：作AM⊥x軸于M，CN⊥y軸于N，如圖所示：則∠AMO＝∠BNC＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵A(2，1)，B(0，5)，∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，∵四邊形OABC是矩形，∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，∴∠CBN＝∠AOB，∵∠AOM+∠AOB＝90°，∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，在△BCN和△AOM中，，

∴△BCN≌△AOM(AAS)，∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，∴ON＝OB﹣BN＝4，∴點C的坐標(biāo)是(﹣2，4)；故答案為(﹣2，4)．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D為OA的中點，P為BC邊上一點．若△POD為等腰三角形，則所有滿足條件的點P的坐標(biāo)為_________．【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．【詳解】試題解析：∵四邊形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D為OA的中點，∴OD=AD=5，①當(dāng)PO=PD時，點P在OD得垂直平分線上，∴點P的坐標(biāo)為：（2.5，4）；②當(dāng)OP=OD時，如圖1所示：則OP=OD=5，PC==3，∴點P的坐標(biāo)為：（3，4）；③當(dāng)DP=DO時，作PE⊥OA于E，則∠PED=90°，DE==3；

分兩種情況：當(dāng)E在D的左側(cè)時，如圖2所示：OE=5-3=2，∴點P的坐標(biāo)為：（2，4）；當(dāng)E在D的右側(cè)時，如圖3所示：OE=5+3=8，∴點P的坐標(biāo)為：（8，4）；綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）考點：1.矩形的性質(zhì)；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點、的坐標(biāo)分別為，，點是的中點，點在邊上運動，點是坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點．若以，，，為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點的坐標(biāo)為___________．【答案】或或【分析】當(dāng)以，，，為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，有三種情況，分，點在點的左側(cè)；；，點在點的右側(cè)，結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理可求得點的坐標(biāo)．【詳解】解：有三種情況：（1）如答圖①所示，，點在點的左側(cè)．過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得：，∴，∴此時點坐標(biāo)為，此時；

（2）如答圖②所示，．過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得：，∴，∴此時點坐標(biāo)為，此時；（3）如答圖③所示，，點在點的右側(cè)．過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得：，∴，∴此時點坐標(biāo)為，此時；

綜上所述，點的坐標(biāo)為或或；故答案為或或．【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及勾股定理，使用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．三、解答題(共0分)11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點坐標(biāo)分別是A(﹣1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．（1）以原點O為位似中心，在點O另一側(cè)畫，使它與位似，且相似比為2：1，并寫出點的坐標(biāo)；（2）若四邊形AA'B'P是矩形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析，A'(2，﹣2)，B'(4，0)，C'(0，4)；（2）(1，3)【分析】（1）畫出一個以點O為位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'與△ABC的相似比為2：1即可．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可直接寫出．【詳解】解：（1）如圖所示：點A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；（2）四邊形AA'B'P是矩形，點P的坐標(biāo)（1，3）．

【點睛】本題考查作圖－位似變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形的兩邊分別在x軸和y軸的正半軸上，，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段上沿方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動，運動到點A停止，Q在線段上沿方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，運動到點O停止，設(shè)運動時間為t秒．（1）B點的坐標(biāo)為___________，_________，___________（用含t的代數(shù)式表示線段與線段的長度）（2）當(dāng)t為怎樣的值時，的面積不小于的面積？（3）的面積可以等于36嗎？如果可以請你求出對應(yīng)的t值，如果不可以請說明理由．【答案】（1）B點的坐標(biāo)為，；（2）當(dāng)時，的面積不小于的面積；（3）的面積不可以等于36，理由見解析【分析】根據(jù)矩形的長和寬表示點B的坐標(biāo)，根據(jù)速度和時間表示：，，可得結(jié)論；根據(jù)的面積不小于的面積，列不等式，代入面積公式可得t的值，并根據(jù)已知確定t的取值范圍；先根據(jù)的面積為36，列方程解出t=8，根據(jù)內(nèi)即可得出結(jié)論．

【詳解】解：（1）長方形的兩邊分別在x軸和y軸的正半軸上，∴AB=OC=6，OA=9，∴B點的坐標(biāo)為，∵P在線段上沿方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動，Q在線段上沿方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，∴OP=1.5t，CQ=t，∴，故答案為（9，6）；；；（2）∵，，若，即，解得，∵點P在線段上沿方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動，運動到點A停止，∴，∴，∴當(dāng)時，的面積不小于的面積；（3）的面積不可以等于36，理由如下：

∵，若，則，∵，∴的面積不可以等于36．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了三角形的面積求解，矩形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)特點，圖形動點運動問題，難度適中，準(zhǔn)確利用動點表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．13．如圖，四邊形OABC為矩形，其中O為原點，A、C兩點分別在x軸和y軸上，B點的坐標(biāo)是（4，7）．點D，E分別在OC，CB邊上，且CE：EB＝5：3．將矩形OABC沿直線DE折疊，使點C落在AB邊上點F處．（1）求F點的坐標(biāo)；

（2）點P在第二象限，若四邊形PEFD是矩形，求P點的坐標(biāo)；（3）若M是坐標(biāo)系內(nèi)的點，點N在y軸上，若以點M，N，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)．【答案】（1）（4，5）；（2）（?，4）；（3）（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【分析】（1）先求出點E坐標(biāo)是（，7），由折疊的性質(zhì)可得EF＝CE＝，由勾股定理可求BF的長，即可求解；（2）連接PF交DE于J，過點D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根據(jù)矩形的對角線互相平分，即可求解；（3）分3種情況：①當(dāng)DF為菱形的對角線時，②當(dāng)DF為菱形的邊時，M在AB的延長上，點N與點C重合，③當(dāng)DF為菱形的邊時，N在CO的延長上，點M與點A重合，分別求解，即可．【詳解】解：（1）∵B點的坐標(biāo)是（4，7）．點D，E分別在OC，CB邊上，且CE：EB＝5：3，∴點E坐標(biāo)是（，7），∵四邊形OABC為矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝，BE＝BC?CE＝，∵將矩形沿直線DE折疊，點C落在AB邊上點F處，∴EF＝CE＝，∴BF＝，∴AF＝7?2＝5，∴點F（4，5）；（2）如圖2中，連接PF交DE于J，過點D作DM⊥AB，

當(dāng)四邊形PEFD是矩形時，△PDE≌△FDE≌△CED，設(shè)OD=x，則CD=DF=7-x，F(xiàn)M=7-2-x=5-x，在中，，解得：x=2，∴D（0，2），∵E（，7），DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（?，4）；（3）①當(dāng)DF為菱形的對角線時，M、N分別在AB與OC上，ND=NF，設(shè)N（0，y），∴(y-2)2=，解得：，∴N（0，），F(xiàn)M=DN=-2=,∴AM=5-=，∴M（4，）；②當(dāng)DF為菱形的邊時，M在AB的延長上，點N與點C重合，ND=DF=5，

∴MF=5，AM=5+5=10，∴M（4，10），N（0，7）；③當(dāng)DF為菱形的邊時，N在CO的延長上，點M與點A重合，ND=DF=5，∴ON=5-2=3，∴N（0，-3），M（4，0）．綜上所述：M，N的坐標(biāo)為：（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，翻折變換，圖形與坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握分類討論思想方法，屬于中考壓軸題．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的定點、在坐標(biāo)軸上，點的坐標(biāo)為，為的中點，點、為邊上兩個動點，且，求四邊形的周長最小值．【答案】【分析】點C向右平移2單位到G，點D關(guān)于x軸的對稱點，連接G，要使四邊形

的周長最小，只要CE+FD最小即可．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，向右平移點至點，使，連接，與軸交于點，在上截?。?，，∴四邊形為平行四邊形．∴．∵四邊形的周長為，，的長為定值，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，四邊形的周長最小∵點，點關(guān)于軸對稱，∴．∴．∴此時得到的點，使四邊形的周長最小，∵四邊形為矩形，點的坐標(biāo)為，∴，．∵為的中點，∴．∴．∵點，點關(guān)于軸對稱，∴，．∵，∴．∴．∴的最小值為．∴四邊形的周長最小值為．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對學(xué)生提出了較高的要求．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，過點A（8，6）分別作x軸、y軸的平行線，交y軸于點B，交x軸于點C，動點P從點B出發(fā)，沿B→A→C以2個單位長度/秒的速度向終點C運動，運動時間為t（秒）.（1）直接寫出點B和點C的坐標(biāo)：B（，）、C（，）；（2）當(dāng)點P運動時，用含t的式子表示線段AP的長，并寫出t的取值范圍.【答案】（1）0，6；8，0；（2），【分析】（1）根據(jù)AB∥x軸，AC∥y軸，即可得到答案；（2）根據(jù)A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB=8，AC=6，分兩種情況：當(dāng)點P在線段BA上時，當(dāng)點P在線段AC上時，進(jìn)行討論，即可得到結(jié)論；【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵AB∥x軸，AC∥y軸，點A為（8，6），∴點B為：（0，6），點C為（8，0），故答案為0，6；8，0.（2）由（1）知，A（8，6），B（0，6），C（8，0），∴AB=8，AC=6，當(dāng)點P在線段BA上時，（），當(dāng)點P在線段AC上時，（）；∴.【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解點P所在的位置情況，從而進(jìn)行解答.

16．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，且，，以為矩形的兩個頂點，且該矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，則稱該矩形為、的“正直矩形”．下圖為的“正直矩形”示意圖．（1）已知點的坐標(biāo)為①若點，求點、的“正直矩形”面積；②當(dāng)點與點“正直矩形”是面積為的正方形時，直接寫出符合條件的所有點坐標(biāo)；（2）點橫坐標(biāo)是，它是直線上一點，求點與點的“正直矩形”的周長（用含的式子表示）．【答案】（1）①6；②或或或；（2）或或【分析】（1）①根據(jù)“正直矩形”的定義可知矩形的兩條鄰邊長為2、3，即可求得“正直矩形”的面積；②根據(jù)正方形的面積為4，求得邊長為2，結(jié)合的坐標(biāo)，即可求得點坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意的坐標(biāo)為，從而得到點與點的“正直矩形”的周長為：，分三種情況討論求得即可．【詳解】解：（1）①點的坐標(biāo)為，點，點、的“正直矩形”面積為：；②點與點“正直矩形”是面積為4的正方形，點與點“正直矩形”的邊長都為2，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為：或或或；（2）點橫坐標(biāo)是，它是直線上一點，，的坐標(biāo)為，點與點的“正直矩形”的周長為：，①當(dāng)時，點與點的“正直矩形”的周長為：；

②當(dāng)時，點與點的“正直矩形”的周長為：；③當(dāng)時，點與點的“正直矩形”的周長為：；綜上，點與點的“正直矩形”的周長為：或或．【點睛】本題是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，理解“正直矩形”的定義并運用是本題的關(guān)鍵．17．如圖1，O為坐標(biāo)原點，矩形OABC的頂點A（﹣8，0），C（0，6），將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此時邊OA'、直線B'C'分別與直線BC交于點P、Q．(1)連接AP，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠PAO＝∠POA時，求點P坐標(biāo)．(2)連接OQ，當(dāng)α＜90°時，若P為線段BQ中點，求△OPQ的面積．(3)如