遼寧省鞍山市普通高中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B. C. D.4.中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題譯文是：今有牛?馬?羊吃了別人的禾苗.禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛?馬?羊的主人應(yīng)分別償還升?升?升粟，1斗為10升，則（）A.，，依次成公比為2的等比數(shù)列 B.，，依次成公差為2的等差數(shù)列C D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（）A.2 B. C.3 D.7.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排名大學(xué)生到個學(xué)校進行支教活動，每個學(xué)校至少安排人，其中甲校至少要安排名大學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法中，正確的命題是（）A.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，），P（X<4）=0.8，則P（2<X<4）=0.2B.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為y=+，若=1，=3，則=1D.若樣本數(shù)據(jù)2+1，2+1，……，2+1的方差為8，則數(shù)據(jù)，…，的方差為210.已知，，且，則（）A. B.C. D.11.如圖，圓柱的軸截面是正方形，E在底面圓周上，，F(xiàn)是垂足，G在BD上，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.直線與平面所成角的余弦值為．D.若平面平面，則12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的一個周期為 B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最大值為 D.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知，，若，則______．14.已知圓，直線過點且與圓相切，若直線與兩坐標(biāo)軸交點分別為、，則________．15.某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一社區(qū)進行民意調(diào)查．參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．則該社區(qū)居民遇到一位進行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率是______．16.已知正三棱臺的高為1，上下底面的邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的體積為________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知分別為內(nèi)角的對邊，，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.18.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．19.隨著北京2022冬奧會的臨近，冰雪運動在全國各地蓬勃開展.某地為深入了解學(xué)生參與“自由式滑雪”、“單板滑雪”兩項運動的情況，在該地隨機抽取了10所學(xué)校進行調(diào)研，得到數(shù)據(jù)如下：（1）從這10所學(xué)校中隨機選取1所學(xué)校，求這所學(xué)?！白杂墒交眳⑴c人數(shù)超過40人的概率；（2）規(guī)定“單板滑雪”的參與人數(shù)超過45人的學(xué)校作為“基地學(xué)校”.（i）現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選取3所，記為其中的“基地學(xué)校”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）為提高學(xué)生“單板滑雪”水平，某“基地學(xué)?！贬槍Α皢伟寤钡?個基本動作進行集訓(xùn)并考核.要求4個基本動作中至少有3個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則考核為“優(yōu)秀”.已知某同學(xué)參訓(xùn)前，4個基本動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為0.2，參訓(xùn)后該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”.能否認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化？并說明理由.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為線段的動點.（1）若直線平面，求證：為的中點；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.21.已知橢圓過點，其右焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一動點（不在軸上），為中點，過原點作的平行線，與直線交于點.問：直線與斜率的乘積是否為定值？若為定值，求出該值；若不為定值，請說明理由.22.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）曲線在直線上方，求實數(shù)的取值范圍.20232024學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，然后可得答案.【詳解】因為，所以故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運算化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1，2)，位于第一象限.故選：A3.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.4.中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛?馬?羊吃了別人的禾苗.禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛?馬?羊的主人應(yīng)分別償還升?升?升粟，1斗為10升，則（）A.，，依次成公比為2的等比數(shù)列 B.，，依次成公差為2的等差數(shù)列C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題意根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判斷AB，由等比數(shù)列的前項和公式計算后可判斷CD．【詳解】由條件，知，，依次成公比為的等比數(shù)列，故AB都錯誤；又，，所以，所以，故C錯誤，D正確故選：D．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式進行求解即可.【詳解】因為，所以由，，故選：A6.設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B7.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排名大學(xué)生到個學(xué)校進行支教活動，每個學(xué)校至少安排人，其中甲校至少要安排名大學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對甲校分配的大學(xué)生人數(shù)進行分類討論，利用排列、組合計數(shù)原理結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若甲校分名大學(xué)生，此時有種分配方法；若甲校分名大學(xué)生，此時有種分配方法.綜上所述，共有種分配方法.故選：C.8.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，分析可得為偶函數(shù)且，求出的導(dǎo)數(shù)，分別求出的單調(diào)區(qū)間，然后再分類討論成立的解集，從而求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，若為奇函數(shù)，則，則有，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，則，則，，又由當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，又由，則在上，，在上，，又由為偶函數(shù)，則在上，，在上，，，即，則有或，故或，即不等式的解集為，故B正確.故選：B.【點睛】方法點睛：本題構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性解不等式.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法中，正確的命題是（）A.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，），P（X<4）=0.8，則P（2<X<4）=0.2B.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為y=+，若=1，=3，則=1D.若樣本數(shù)據(jù)2+1，2+1，……，2+1的方差為8，則數(shù)據(jù)，…，的方差為2【答案】CD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可以求得的值，進而判定A錯誤，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可以判定B錯誤，利用回歸直線方程過樣本中心點，可以求得回歸常數(shù)的估計值，從而判定C正確，利用線性相關(guān)的數(shù)據(jù)組的方差之間的關(guān)系可以求得數(shù)據(jù)，，…，的方差，進而判定D正確.【詳解】A.已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則，所以，所以∴，故A錯誤；B.線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到1之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱，故B錯誤；C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，，則，故C正確；D.設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的方差為,樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則，即數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，故D正確.故選：CD.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題可知，然后再這個大前提下，對選項逐一判斷即可.【詳解】已知，，且，所以，對于A選項，，故錯誤；對于B選項，，為增函數(shù)，所以，故正確；對于C選項，均為正數(shù)，且不相等，所以，故正確；對于D選項，，所以，故錯誤.故選：BC11.如圖，圓柱的軸截面是正方形，E在底面圓周上，，F(xiàn)是垂足，G在BD上，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.直線與平面所成角的余弦值為．D.若平面平面，則【答案】AD【解析】【分析】選項A：由線面垂直的判定定理，以及線面垂直的性質(zhì)定理得出；選項B：平移法找出異面直線所成角，構(gòu)造三角形，求解三角形可得；選項C：找出線面垂直，作出線面角，再求解三角形可得；選項D：運用線面平行的判定定理，以及線面平行的性質(zhì)定理可得.【詳解】對于A：由圓柱的性質(zhì)得：面，面，又是下底面圓的直徑又，面，面面，又面，又又，面，面面，又面，A正確；對于B：過點作交于點，如圖則就是直線與直線所成角（或補角）設(shè)，則中，，在等腰中，，又在中，，，即：在中，，，在中，，，B錯誤；對于C：取的中點，連接，如圖所示則：，面，又面又，面，面面就是直線與平面所成角又，C錯誤；對于D：在中，，，，又面，面面又平面平面，面，D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的一個周期為 B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最大值為 D.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性定義判斷A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的單調(diào)性判斷B，取特殊值法可判斷C，由的關(guān)系可判斷D.【詳解】由知，A正確；由在上單調(diào)遞增及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，由在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時，，故函數(shù)的最大值取不是，故C錯誤；關(guān)于直線對稱，故D正確.故答案為：ABD第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若，則______．【答案】2【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，由推出，列出方程即可求得m.【詳解】已知，，所以，由可得，解得．故答案為：2.14.已知圓，直線過點且與圓相切，若直線與兩坐標(biāo)軸交點分別為、，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點在直線上，結(jié)合垂直關(guān)系可得切線斜率，進而可得切線方程，進而可求解，又兩點距離公式求解即可.【詳解】由于，所以在圓上，又，故,故切線的斜率為，進而切線方程為，即，分別令，故,故，故答案為：15.某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一社區(qū)進行民意調(diào)查．參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．則該社區(qū)居民遇到一位進行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率是______．【答案】##0.5【解析】【分析】用A1，A2分別表示居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的事件，B表示是女生的事件，由題可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.【詳解】如果用A1，A2分別表示居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的事件，B表示是女生的事件，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，由題意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，即該社區(qū)居民遇到一位進行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為.故答案為：16.已知正三棱臺的高為1，上下底面的邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的體積為________．【答案】【解析】【分析】分別求得上下底面所在平面截球所得圓的半徑，找到球心，求得半徑，再由球的體積公式可得結(jié)果．【詳解】由題意設(shè)三棱臺為，如圖，上底面所在平面截球所得圓的半徑是，（為上底面截面圓的圓心）下底面所在平面截球所得圓的半徑是，（為下底面截面圓的圓心）由正三棱臺的性質(zhì)可知，其外接球的球心在直線上，設(shè)球的半徑為，當(dāng)在線段上時，軸截面中由幾何知識可得，無解；當(dāng)在的延長線上時，可得，解得，得，因此球的體積是.故答案為：.【點睛】易錯點睛：本題求球的半徑時，容易只考慮在線段上，從而無法求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知分別為內(nèi)角的對邊，，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式得到，從而得到的兩種關(guān)系，再根據(jù)，舍去，進而求解出；（2）利用面積公式，求出，再用余弦定理求出，進而求出的周長.【小問1詳解】∵∴即∴∴或∵在中，∴故∴，即，∴【小問2詳解】∵的面積為，且由第一問可知：由面積公式得：∴∵由余弦定理得：解得：∴的周長為18.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系可得，即可知為等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列通項公式即可.（2）由（1）得，利用分組求和，并結(jié)合錯位相減法及等差、等比前n項和公式求.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，則，即，又，則，∴（常數(shù)），故是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）可得：，∴，設(shè)，則∴，∴，又，∴19.隨著北京2022冬奧會的臨近，冰雪運動在全國各地蓬勃開展.某地為深入了解學(xué)生參與“自由式滑雪”、“單板滑雪”兩項運動的情況，在該地隨機抽取了10所學(xué)校進行調(diào)研，得到數(shù)據(jù)如下：（1）從這10所學(xué)校中隨機選取1所學(xué)校，求這所學(xué)?！白杂墒交钡膮⑴c人數(shù)超過40人的概率；（2）規(guī)定“單板滑雪”的參與人數(shù)超過45人的學(xué)校作為“基地學(xué)?！?（i）現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選取3所，記為其中的“基地學(xué)?！钡膫€數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）為提高學(xué)生“單板滑雪”水平，某“基地學(xué)校”針對“單板滑雪”的4個基本動作進行集訓(xùn)并考核.要求4個基本動作中至少有3個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則考核為“優(yōu)秀”.已知某同學(xué)參訓(xùn)前，4個基本動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為0.2，參訓(xùn)后該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”.能否認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化？并說明理由.【答案】（1）；（2）（i）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（ii）無法確定該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合所給的數(shù)據(jù)進行求解即可；（2）（i）根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進行求解即可；（ii）根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率公式，結(jié)合小概率事件的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)事件A為“從10所學(xué)校中選出的1所學(xué)?！白杂墒交钡膮⑴c人數(shù)超過40人”．“自由式滑雪”的參與人數(shù)超過40人的學(xué)校共4所，所以．【小問2詳解】（i）X的所有可能取值為0，1，2，3，“單板滑雪”的參與人數(shù)在45人以上的學(xué)校共4所．所以，.所以X分布列為：X0123P所以．（ii）設(shè)事件B為“參訓(xùn)前，該同學(xué)考核為‘優(yōu)秀’”，則．參考答案1：可以認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．理由如下：比較小，即該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”為小概率事件，一旦發(fā)生了，就有理由認(rèn)為該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．參考答案2：無法確定該同學(xué)在參訓(xùn)后“單板滑雪”水平發(fā)生了變化．理由如下：事件是隨機事件，比較小，即該同學(xué)考核為“優(yōu)秀”為小概率事件，一般不容易發(fā)生，但還是可能發(fā)生的，因此，無法確定該