蘇北教育名校2022-2023學年高三8月調研測試-數(shù)學試題6

蘇北教育名校2022-2023學年高三8月調研測試——數(shù)學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合4=卜卜1W2},B={x\x<a}f則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.a<2B.a>2C.a>-\D.a>-\

2.已知直線x+y-&a=0與圓f+y?=25相交于4,B兩點，則是

“4<a<5”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知〃x)的定義域是(0,+8),/'(x)為"力的導函數(shù),且滿足〃x)</'(x),則

不等式eT/(x2+x)＞eX-2〃2)的解集是()

A.(—2,1)B.(YO,-2)U(1,+OO)

C.(-1,2)D.(-oo,-l)U(2,+oo)

4.數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，滿足4=1,=3,囁=3q,+(-l)Z,則邑”=

()

4"4

A.4〃+2〃一2B.——+2〃一二C.4"+2"+2D.4"+2"

一一33

5.設直線)，二號與函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象在內交點的橫坐

標依次是引、巧、芻，則COS6+9+&)=()

A.—B.；C，-立D.立

2222

3冗冗(4的值為()

6.已知sin2a=二，且一＜a＜一,貝ijcosa+-

44214/

A1R1Dw

4444

7.若曲線“x)=ar2-x+lnx存在垂直于)，軸的切線,則〃的取值范圍是()

A.B.(0,1]C.卜i]D.

8.一船以每小時15面?的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60。，行

駛4〃后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15。，這時船與燈塔的距離為（〉

km.

A.15B.30#C.15娓D.30及

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.要得到函數(shù)y=2sin（3x-§的圖象，只需將函數(shù)y=2sin3x的圖象向右平移1個

單位；

B.y=cos2x在弓㈤上是增函數(shù)；

C.若點嗎當為角a的終邊上一點，則cosa=g；

2

D.已知扇形的圓心角a=等，所對的弦長為46,則弧長等于?.

10.下列說法正確的是（）

A.設。也ceR,則關于x的方程以2+bx+c=0有一根為-1的一個充要條件是

a-b+c=0;

21

B.若3"=4"=36,則一+丁=1

ab

C.X2=9是V=_27的必要不充分條件

D.函數(shù)y=（；尸”的最大值g

11.設等差數(shù)列｛4｝前”項和為S“，公差d>0,若$9=520,則下列結論中正確的有

（）

A.530=0B.當”=15時，S,取得最小值

C.4。+%>。D.當S.>0時，〃的最小值為29

12.函數(shù)〃幻=竺叫@（心0）在［-2萬,2句上的大致圖像可能為（）

sinx

三、填空題

13.在△ABC中，BC=6,AC=\,且8=二，則4=____.

6

14.設P是函數(shù)y=4(x+l)圖象上異于原點的動點，且該圖象在點P處的切線的傾

斜角為。，則，的取值范圍是.

15.已知數(shù)列｛%｝的首項4=1021,其〃前項和S,滿足S.=—Si-/,則生以=

四、雙空題

16.“以直代曲”是微積分中最基本、最樸素的思想方法，如在切點附近，可用曲線在

該點處的切線近似代替曲線.曲線y=lnx在點(1,0)處的切線方程為,

利用上述“切線近以代替曲線”的思想方法計算物托所得結果為(結果用

分數(shù)表示).

五、解答題

17.從下列二個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答：

?/?sinA=y/3acosB；?(a+c+b)(a+c—b)=3ac?

在AA5c中，角A,B,C,所對的邊分別為小b,c,滿足條件.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若a=4,S"即c=66,求b的值.

18.設函數(shù)/。)=以2+(l-a)x+“-2.

(1)若關于x的不等式/(力2-2有實數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若不等式/(耳2-2對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；

(3)解關于x的不等式：/(x)<a-l,(awR).

19.函數(shù)y=/(x)的定義域為/,對于區(qū)間￡>=/,如果存在巧,馬?。，x1^x2,使得

/&)+〃巧)=2,則稱區(qū)間。為函數(shù)y=/(X)的“產區(qū)間”.

(1)判斷(-8,+00)是否是函數(shù)丫=$皿。+2)+3的“/>區(qū)間”，并說明理由；

(2)設。為正實數(shù)，若［萬,2%］是函數(shù)y=8S&r的“產區(qū)間，，，求。的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)=ae*-lnx-lna.

(1)若。=,，求函數(shù)/(x)的極值；

e

⑵當x>0時，/(%)>|,求a的取值范圍.

21.在等比數(shù)列｛風｝中，

⑴已知4=16,n=6,4=；，求4和S〃；

(2)已知q=2,n=3,Sn=14,求4和

(3)已知4=；，n=6fS〃=詈，求〃i和冊；

(4)已知％=1,凡=81,Sn=121,求q和〃.

22.已知函數(shù)/'(x)=alnx-五，aeR.

⑴試討論/CO的單調性；

⑵若對任意XE(0,+8)，均有/(幻《。,求〃的取值范圍；

⑶求證:氏向)>附一「

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

利用數(shù)軸表示兩個集合，結合題意可得答案.

【詳解】

,設集合A={X|T4X42},B={x|x<a},Ac8r0,

**?a>-1

故選：C

2.B

【解析】

【分析】

先求出的充要條件，利用包含關系即可判斷.

【詳解】

因為直線x+y-缶=0與圓x?+y2=25相交于A,8兩點，設圓心到直線的距離為止則

|AB|<6等價于：2425-送<6,即4cd<5,所以4<J^hl<5，解得：4<a<5或

V1+1

—5v。v—4.

所以是“4<a<5"的必要不充分條件.

故選：B

3.B

【解析】

【分析】

構造函數(shù)內）=詈，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，根據(jù)單調性建立不等式求解即可.

答案第1頁，共16頁

【詳解】

令〃（可=9）,則“（力二ra）：/（”>0,所以函數(shù)〃⑴在區(qū)間（0,+。）上單調遞增，所

v2-2

以?-"（父+%）>e/（2）o'（：：'）>o〃（—十,>A（2）=/+%>2，解之得

ee

x<—2或x>l,即原不等式的解集為（3,-2）U（l,田），

故選：B.

4.A

【解析】

【分析】

先分析出奇數(shù)項構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項構成以3為首項，4為公比

的等比數(shù)列，再分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，相加即可.

【詳解】

當n為奇數(shù)時，氏+2=2〃“，所以奇數(shù)項構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；

當n為偶數(shù)時，%+2=4%,所以偶數(shù)項構成以3為首項，4為公比的等比數(shù)列；

所以邑”=5奇+S偶=首+^：^=4"+2"-2

故選：A

【點睛】

等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：運用公式進行基本量代換和靈活運用性質.

5.A

【解析】

【分析】

根據(jù)直線y=q與函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像在（0段）內交點的橫坐標依

次為毛，巧，*3,得至Usin±=4，cosx2=*,tanx3=4,再利用兩角和的三角函數(shù)的公

式求解.

【詳解】

答案第2頁，共16頁

因為直線y=g與函數(shù)y=sinx,

y=cosx,y=tanx的圖像在內交點的橫坐標依

次為巧，x,x3

33

V3

所以玉=3=3

sin,cosx23ta

T)小

邁

-萬

所以COSX]=&,sinx3，6

32

所以sin(%1+w)=sin玉cos%+cosX]sin/=l,cos(54-x2)=0,

所以cos(x,+X,+x)=cos(…)+9=cos(x,+x)cos--sinfx,+x)sin—=-—

326262

故選：A.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)a的范圍可知cosa-sina<0,結合兩角和的余弦公式、二倍角的正弦公式和同角三

角函數(shù)的基本關系化簡計算cosa+：即可.

【詳解】

因為一<a<一,所以sina>cosa,

42

即cos(z-sintz<0,又sin2a=—,則

4

7.C

【解析】

【分析】

問題等價于./U）的導數(shù)在x>0時有零點，再參變分離轉化為函數(shù)交點問題.

【詳解】

依題意，火x）存在垂直與y軸的切線，即存在切線斜率k=0的切線，

答案第3頁，共16頁

又%=r(x)=2奴+g—1,x>0,

.，?2"H----1=0有正根，BP—2a=f—有正根,

XJX

即函數(shù))=一2〃與函數(shù)y=,x>0的圖像有交點,

令，=/>o,則g?)=ga)2g(J)=_J,

xI2J424

/?-2a>-y,即aW：.

48

故選：C.

8.D

【解析】

【分析】

設過B點的南北方向直線與直線4B交于點。，且C￡>=xh〃，結合題中數(shù)據(jù)在RtABCD中

算出B?=(2+6)HOT,然后在RtAADB中算出A￡>=(2四+3)X,根據(jù)

AC=4)-8=15x4=60切?建立關于x的方程解出x=15(G-l)h”，最后在RtABCD中利用三

角函數(shù)的定義加以計算，即可算出此時的船與燈塔的距離.

【詳解】

解：設根據(jù)題意，可得

RtABCD中,設CD=xkm,

?;NCBD=15°,tanZ.CBD=—=(2->/3)x

BD

由此可得BD==(2+\[3)xkm

?.?RAADB中，ZABD=60°

AD=x/3S?=(2>/3+3)x

因止匕，AC=AD-CD=(2x/3+3)x-x=\5x4

即(26+2)x=60,解之得x=15(G-l)如?

答案第4頁，共16頁

CD_15(73-1)_r-

由此可得RraBCQ中，8，=/褥=遠否=3卬-"",即此時的船與燈塔的距離為

故選：D.

北；，

?I

c：Q東

【點睛】

本題給出實際應用問題，求航行過程中船與燈塔的距離.著重考查了利用正余弦定理解三

角形、直角三角形中三角函數(shù)的定義和方位角的概念等知識，屬于中檔題.

9.ABCD

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)的平移變換可判斷A；利用余弦函數(shù)的單調性可判斷B；利用三角函數(shù)的定

義可判斷C；利用弧長公式可判斷D.

【詳解】

-JT

對于A,將函數(shù)y=2sin3x的圖象向右平移1個單位，

可得y=2sin3故A正確;

對于B,由丫=以)52X，則2Z不一乃42%42左乃(左EZ),

jrjr

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為kn--,k7i(AeZ),當女=1時，-,7T,故B正確;

對于C,點嗎號為角a的終邊上一點，則c°sa="］、2：百丫=5,故C正確;

對于D,扇形的圓心角a=R,所對的弦長為46,則扇形的半徑為R=4,

答案第5頁，共16頁

所以/=aR=-R=—,故D正確.

33

故選：ABCD

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的平移變換、余弦函數(shù)的單調性、三角函數(shù)的定義以及扇形的弧長公

式，屬于基礎題.

10.ABC

【解析】

【分析】

利用充要條件的定義結合方程根的知識即可判斷A;利用指數(shù)與對數(shù)的互化及對數(shù)的運算

即可判斷B;利用必要不充分條件的定義即可判斷C；取x=2即可判斷D.

【詳解】

對于A,必要性證明：關于*的方程ar2+bx+c=0有一根為T,代入x=-1有

a-h+c=O,故必要性成立，

充分性證明：若力+。=0,貝IJ必有ax(-l)2+6x(-l)+c=0,故-1為程加+法+0=0的

一個根，故A正確；

對于B,若3"=4&=36,則a=log336,b=log436,

11,_11,

則：■寶=*3,T=i―/=*4,

alog336blog436

21

所以一+：=2k)g%3+k)g%4=k)g369+k)g364=k)g%36=1,故B正確；

ab

對于C,由f=9可得工=±3,則/=i27,而由丁=一27可得％=一3,則f=9,

故f=9是J?=一27的必要不充分條件，故C正確；

對于D,函數(shù)y=(；)T+l當x=2時，y=(》-'=2,故D錯誤，

故選：ABC.

11.BC

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式，結合該數(shù)列的單調性逐一判斷即可.

【詳解】

答案第6頁，共16頁

由S9=S20n9q+gx9x8d=20q+gx20x19dn4+14d=0=>al5=0.

A：因為d>0,

所以有S?=30“+gX30X29d=30?(-I4d)+435d=-15d<0,因此本選項說法不正確；

B：因為d>0,所以該等差數(shù)列是單調遞增數(shù)列，因為“5=0,所以當”=15,或”=14

時，5“取得最小值，故本選項說法正確；

C：因為d>0,所以該等差數(shù)列是單調遞增數(shù)列，因為%=0，

所以4()+a22=246=2(q5+")=2">0,因此本選項說法正確；

D：因為d>0,〃eN*

所以由5?=nay+=gd"(〃-29)>0,

可得：〃>29,〃eN*，因此〃的最小值為30,所以本選項說法不正確，

故選：BC

12.ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)。的取值分類討論，研究函數(shù)性質后判斷圖象

【詳解】

①當4=0時，/(X)為奇函數(shù)，由X-0時f(x)-8,x=±l時f(x)=O等性質可知A選項符

合題意

②當。<0時，令g(x)=ln|x|,力(x)=-ar,作出兩函數(shù)圖象，研究其交點

數(shù)形結合可知在(-1,0)內必有一交點，記橫坐標為飛,此時/(%)=0,故排除D選項

-2%<x<x()時，g(x)-/z(x)>0；x()<x<0時，g(x)-/?(x)<0

若在(0,2萬)內無交點，貝IJg(x)-〃(x)<0在(0,2外恒成立，則在X)圖象如C選項所示,故C

選項符合題意

若在(0,2萬)內有兩交點，同理得B選項符合題意

故選：ABC

答案第7頁，共16頁

y

-

[c冗-p2乃

13.§或彳

【解析】

【詳解】

nrAC

在△ABC中，由正弦定理得一二二」；，

sinAsinB

..人BCsinBr-.7Ty/3

??sinA.=--------=73sin—=—,

AC62

又BC>AC,

:.A>B=~,

6

：,A=-^A=—.

33

答案：?或年

K兀、

14.---

[32；

【解析】

【詳解】

y'=—\[x—L=tan0=—4xH——>2/—\[x?-\==6

22&226V22G

?.?8€[0,幻;.。€[[,1）

22

點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊''等技巧，使其滿足基本不等

式中“正''（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的

條件）的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.

答案第8頁，共16頁

15.-999

【解析】

【分析】

利用題干中的遞推關系找出與〃的關系，進而計算出結果.

【詳解】

由題知，5“+S,T=—“2,則5用+，=一(〃+1)2.

兩式做差得??+|+??=(-〃+1)2-(-叫=-2〃-1.

整理得0用+(〃+1)=-(4,+〃).

所以｛4+“｝是以4+1=1022為首項，一1為公比的等比數(shù)列.

%+2021=1022x(-1)2020=1022.

故答案為-999

【點睛】

方法點睛：在處理數(shù)列的通項與前n項和的相關問題時，一定要抓住題干中給出的遞推關

系，利用遞推關系將抽象的數(shù)列問題轉化為我們熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，從而運

用我們所學的等差、等比數(shù)列的知識取解決問題.

【解析】

【分析】

利用導數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程；根據(jù)切線方程可得InxBX-l,

代入x=20%求解即可.

【詳解】

由y=lnx得：)，'=一,.??在點(1,0)處的切線斜率A=1,則切線方程為：y=xT；

由題意知：lnx=x-l,.?.In*嚶a?飛^-1,即［ne/ae盛T，

e2022?lne2O22+l=L+l=22”，即2。%?型U

202220222022

2023

故答案為：y=x-\；

2022

答案第9頁，共16頁

17.(l)y

(2)2^7

【解析】

【分析】

(1)選①：由正弦定理化簡得到sin8=geos8,即可求得8的大小；

選②：根據(jù)題意化簡得到〃+/-"=ac,利用余弦定理求得cosB=g,即可求得8的大

?。?/p>

(2)利用面積公式，列出方程求得c=6,結合余弦定理，即可求解.

(1)

解：選①：因為hsinA=A/J〃COS5,

由正弦定理得sin8sinA=百sinAcosB,

因為A€(0,%),可得sinA>0,所以sin3=6cos3,即tan8=百，

TT

又因為3e(0,萬)，所以8=1.

選②：因為(a+c+6)(a+c-?=3ac,可得/+/一/=改,

由余弦定理得cosB==&=J.,

2ac2ac2

因為所以B=《.

(2)

解：因為a=4,S"c=6石，可得5皿.=lacsin8=2cx3=,解得c=6,

由余弦定理得〃=。2+。2-2ac=16+36-2x4x6cosg=28,解得匕=2叔.

18.⑴心-1；(2){1}；(3)分類求解,答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)將給定的不等式等價轉化成?2+(1-?！?〃>0,按4=0與"NO并結合二次函數(shù)的性質

討論存在實數(shù)使不等式成立即可；

(2)將給定的不等式等價轉化成(V-x+Da+xNO,根據(jù)給定條件借助一次函數(shù)的性質即可

答案第10頁，共16頁

作答；

(3)將不等式化為以2+(]-a)x_|<0,分類討論并借助一元二次不等式的解法即可作答.

【詳解】

(1)依題意，7(x)2-2有實數(shù)解，即不等式依2+(1-°?+“>0有實數(shù)解，

當。=0時，X20有實數(shù)解，貝ija=。，

當。>0時，取x=0,貝!Iar?+(l-a)x+?=a>0成立，即ov,+(l-a)x+a-0有實數(shù)角吊，于

是得a>0,

當”0時，二次函數(shù)、=?2+(1-a)x+”的圖象開口向下，要了20有解，當且僅當

A=(l-?)2-4?2>0?-l<a<-,從而得-14a<0,

3

綜上，

所以實數(shù)。的取值范圍是；

(2)不等式2對于實數(shù)時恒成立，B|JV67e[-l,l],(x2-x+l)^+x>0,

顯然/7+1>0,函數(shù)8(〃)=(/一]+1)。+%在?！辍?』上遞增，從而得g(—1)20,即

—x2+2x-120,解得x=1,

所以實數(shù)X的取值范圍是{1};

(3)不等式=加+(1-。)1-1<0,

當a=0時，x<1,

當。>0時，不等式可化為(XH—)(x-1)<0,而一,<0,解得—<x<l,

aaa

當”0時，不等式可化為(x+3(x-l)>0,

a

當一，=i,即〃=一1時，XCR,XH1,

a

當<1,即av—l時，x<或x>l,

aa

當—>1,即一1<。<0時，x<l或x>—

aa9

所以,當。=0時，原不等式的解集為

當a>0時，原不等式的解集為(-',1),

a

答案第11頁，共16頁

當一l?a<0時，原不等式的解集為(-oU)u(-Ly),

a

當時，原不等式的解集為(-%-37(1,內).

a

19.(1)不是，理由見解析；(2){2}U[3,+oo).

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)函數(shù)值的范圍可判定y~)不是函數(shù)〉=$小+5+3的“產區(qū)間”：

[cox.=2%乃，

(2)根據(jù)新定義和余弦函數(shù)的性質可得存在鼠/eZ,使得,,再分類討論即可求

出。的取值范圍.

【詳解】

(1)(T?,+°o)不是函數(shù)丫=5仙(%+專)+3的“產區(qū)間”.理由如下：

因為/(x)=sin(x+1]+3W2,

所以對于任意的Xj,we(fo,+oo),都有“%)+/優(yōu))24,

所以(YO,4W)不是函數(shù)丫=$山卜+^|)+3的“尸區(qū)間”.

⑵因為[萬,2句是函數(shù)>=cos&r的“產區(qū)間”，

所以存在辦,We[乃,2l],x產使得cos(yX|+cos(yx2=2.

COScox}=1,

所以

coscox2=1.

Ct)X-2k/r,

所以存在太/wZ,使得}

cox2=217r.

不妨設兀4%42幾，又因為刃>0,

所以師〈69元1<3式242師，所以GW2Rv2/42G.

即在區(qū)間2例內存在兩個不同的偶數(shù).

①當①24時，區(qū)間[。,2例的長度2。一。二4,

所以區(qū)間[。,2句內必存在兩個相鄰的偶數(shù)，故。24符合題意.

答案第12頁，共16頁

②當0<。<4時，W0<<y<2A:<2/<2iy<8,

所以2%,2/e{2,4,6}.

⑵=4,_f<y<4,

當9/?時，有一,即3—.

[21=6[6<2(y

所以3<。<4也符合題意.

12%=2,f0<2,

當0/4時，有，即/=2-

[21-4[4<2(y

所以。=2符合題意.

f2%=2,,10W2,

當0/?時，有,,此式無解?

[2/=6[6<269

綜上所述，0的取值范圍是{2}=[3,心).

20.(D/(x)極小值=2,無極大值

⑵(唱H2T

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)，并判斷導數(shù)的正負，從而求得函數(shù)極值；

(2)求出函數(shù)的導數(shù)r(x)=ae'-g,由零點存在定理可知其在區(qū)間上存在零

點,根據(jù)其單調性，判斷其正負，確定函數(shù)/(x)=ae、-Inx-Ina的最小值，令最小值大于

等于|,求得答案.

(1)

當“=’時，/(x)=et-1-lnx+l,f'(x)=ex~'(x>0),

ex

顯然/a)在(o,+8)上是遞增的，且r⑴=o,

故ovx<i時，r(x)<o,x>i時，r(x)>o,

.?./(X)在(0,1)上遞減，(1,招0上遞增，

???“X)極小值="1)=2,無極大值?

答案第13頁，共16頁

（2）

由=—lnx—ln?？芍簒>0,a>0,

而外"=,*-（,r（x）在（o,+8）上單調遞增，

且/產卜e;-l>0,卜即_]_qe<_]<0,

1-L

（這是因為。>0,----<l,?el+fle<ae）,

l+〃e

,

存在唯一的x0G（I使/（xo）=O,即ae&=0nIna=_lnx0-x0,

11+oeaJx0

且當―。時,r（x）<o,F（X）遞減;當x>/時，r（x）>o,〃x）遞增,

t0

f（^）min=fM=?e-Inx0-Ina=---lnx0+lnx0+x0=—+JC0

X。/

15I

令一+%*不，解得0<%4彳或毛之2,

龍（）,2

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值以及用導數(shù)解決不等式成立時的參數(shù)的范圍問題，一般

思路是求導，判斷導數(shù)的正負，從而求得極值或最值，難點在于用導數(shù)求解不等式成立時

的參數(shù)范圍時，要巧妙的應用零點滿足的方程祀"-'=0進行整體代換，這樣就可以求出

%

零點的范圍，進而解決問題.

2i.(i)q=；，s”號

\q=2f(/=-3

⑵a或

U=80=18S

3

⑶q=24,a“=w

(4)q=3,〃=5

【解析】

【分析】

(1)由基本量法列方程直接可解；

(2)由基本量法列方程直接可解；

答案第14頁，共16頁