初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)綜合強化練習(xí)3

初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)綜合強化練習(xí)3

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，已知直線“心，卜4之間的距離4E為白，在AABC中,

BC=2,AB=yfj,將AABC繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)得到AA'B'C,若旋轉(zhuǎn)角為

2.如圖，在正方形4BCO中，對角線AC與BO相交于點。，點E在8c的延長線上,

連接OE,點F是DE的中點，連接OF交CD于點G,連接CF,若CE=4,

OF=6.則下列結(jié)論：@GF=2；②OD=0OG;③tanNCDE=；；（4）

NOZ）F=NOCF=90。；⑤點D到CF的距離為隨.其中正確的結(jié)論是（）

5

A.①②③④B.①③④⑤C.@@③⑤D.①②④⑤

3.如圖，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的橫斷面為梯形ABCC,DC//AB,斜

坡A￡）長為8米，坡角a為30。，斜坡BC的坡角￡為45。，則斜坡BC的長為（）

D

A.6米B.6啦米

C.4米D,4&米

4.如圖，在△ABC中，ZB=90°,BC=8AB=6cm,動點P從點A開始沿邊AB向點

B以Icm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動.若

P,Q兩點分別從A,B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，4PBQ的最大面積是

)

B.12cm2C.9cm2D.3cm2

在R中，NC=9(T,若sinA=?則cosA的值為(

5.RABC)

58212

A.B.C.D.——

12T5313

6.下列計算正確的是（)

A.百=±3B.sin2a=2sinaC.(6“6)+(-2〃2)=-3/

D.(r+b1=(a+b^

7.如圖，在平面直角坐標系中，RfAABO的頂點8在x軸的正半軸上,

ZABO=90°,點A的坐標為（1,6）,將AABO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點3的對應(yīng)點

8'落在邊04上，則A的坐標為（）

8.ZkABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個小正方形邊長為1）,8c于。，下列選

項中，錯誤的是（）

A.sina=cosaB.tanC=2C.sinp=-yD.tana=1

二、填空題

9.一人乘雪橇沿坡角為30。的斜坡筆直滑下，滑下的距離S（米）與時間t（秒）的關(guān)

系式為S=10t+t2,若滑坡底的時間為2秒，則此人下滑的高度為

10.如圖，在平面直角坐標系中，RNQ4B斜邊上的高為1,ZAOB=30。，將R/VQ48

繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到用△08,點A的對應(yīng)點C恰好在函數(shù)y="（ZwO）的圖象

X

上，若在y=A的圖象上另有一點"使得N"OC=30。，則點"的坐標為.

11.如圖，矩形中，AB=5,8C=3,點E在邊AD上（不與A,。重合），將

矩形沿CE折疊，使點A,8分別落在點尸，G處，有下列結(jié)論：①NFED與NGCD

Af74

互余；②若C￡＞平分NECG,則tanNBCE=石；③若直線FG經(jīng)過點則二=工；

ED5

④若直線FG交邊AO,分別于M,N,當(dāng)AZWN為等腰三角形時，五邊形

ABCNM的周長為11夜.其中正確結(jié)論的序號是.

12.如圖，在。ABC。中，ZB=30°,AB=AC,。是兩條對角線的交點，過點。作AC

的垂線分別交邊A。，BC于點、E,F,點M是邊AB的一個三等分點.連接MF,則

△40￡與4BMF的面積比為.

B

13.如圖，在矩形A8C￡＞中，A8=4,AO=5,點E,F分別是邊AB,8c上的動點，點

E不與4,B重合，且￡F=AB,G是五邊形他尸8內(nèi)滿足GE=GE且NEG產(chǎn)=90。

的點.現(xiàn)給出以下結(jié)論:

①NGE8與NGF8一定互補;

②點G到邊AB,BC的距離一定相等;

③點G到邊AO,Z）C的距離可能相等;

④點G到邊AB的距離的最大值為2夜.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

AB=\,延長C。至A，使D4|=C。，以

AC為一邊，在BC的延長線上作菱形ACCR,連接AA，得到AAD4,;再延長CR

至4,使以42G為一邊，在CG的延長線上作菱形&GG2,連接

A4,得到AAR4……按此規(guī)律，得到的202021Am，記AAOA的面積為L，

”■A的面積為名……⑼的面積為s202l,則邑⑼=.

15.如圖，在Rt/XABC中.ZABC=90°,A8=2,BC=4,點。是邊AC上一動

點.連接80,將△回￡＞沿8￡＞折疊，點A落在4處，當(dāng)點4在AABC內(nèi)部（不含邊

界）時，AO長度的取值范圍是.

3

16.已知：Z4+ZB=90°,若sinA=g,則cosB=.

三、解答題

17.嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

sin270+sin283°?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°?0.372+0.932=1.0018,

sin229°+sin261°?0.482+0.872=0.9873,

sin2370+sin253°?0.602+0.802=1.0000,

（口弋（/yV

sin245°+sin245°=——+--=1.

I2）I2J

據(jù)此，嘉琪猜想：在HAABC中，ZC=90°,設(shè)NA=a,有

sin2a+sin2（90-a）=1.

（1）當(dāng)a=30。時，驗證sin2a+sin2（90°-a）=l是否成立.

（2）請你對嘉琪的猜想進行證明.

18.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4,P、。均從點B出發(fā)，點P以2個

單位每秒的速度沿S4-AC的方向運動，點。以1個單位每秒的速度沿8C-CD運動，

設(shè)運動時間為f秒.

（1）求AC的長；

（2）若S郎°=5,求S關(guān)于，的解析式.

AD

19.如圖，拋物線y=o?+法+2經(jīng)過A（-1,O）,B（4,0）兩點，與丁軸交于點C,連接

BC.

圖1圖2圖3

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖2,直線/：y="+3經(jīng)過點A,點尸為直線/上的一個動點，且位于x軸的

上方，點。為拋物線上的一個動點，當(dāng)PQ//y軸時，作QM_LPQ,交拋物線于點M

（點M在點。的右側(cè)），以PQ,為鄰邊構(gòu)造矩形PQMN,求該矩形周長的最小

值；

（3）如圖3,設(shè)拋物線的頂點為。，在（2）的條件下，當(dāng)矩形PQMN的周長取最小

值時，拋物線上是否存在點尸，使得NC8尸?若存在，請求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

20.在AA8C中，44、DB、NC的對邊分別為。、b、c,且滿足等式

（2/?）2=4（c+a）（c-a）和5a-3c=0,求sinA+sin8的值.

21.如圖，在中，AB=AC,以A8為直徑的OO交BC于點。，DE_LAC交

84的延長線于點E,交AC于點凡

(1)求證：/)￡：是。。的切線;

3

(2)若AC=6,tanE=二，求A/7的長.

4

I777

22.如圖，點尸為函數(shù)y=：x+l與函數(shù)y='(x>0)圖象的交點，點P的縱坐標為

2x

4,軸，垂足為點從

(1)求用的值；

(2)點M是函數(shù)y='(x>o)圖象上一動點，過點用作MD_LBP于點。，若

x

tanNPA〃)=],求點M的坐標.

2

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

由題意可作出如圖所示，過點力作。FLAC于點凡由題意易得NAC4'=60。，

ZACE=ZDAC,進而可得BE=2,則由勾股定理可得AC=>/歷，設(shè)CF=x,則。尸=居,

AF=M-X,然后根據(jù)三角函數(shù)可進行求解.

【詳解】

解：過點。作。尸，AC于點F,如圖所示：

/.NACE=NDAC,

'：AELEC,AE=石,A8=V7,

?*-BE=>JAB2-AE2=2-

,:BC=2,

：.CE=4,

...在R2AEC中，AC=yjAE2+CE2=719>

:旋轉(zhuǎn)角為60。，

二ZAC4'=60。，

ZFDC=30°,

設(shè)CF=x?貝i]DF=y/3x>CD-2x,AF=\f\9—x,

答案第1頁，共27頁

??/ns?口AEGDF

??tan乙DAC—tanNACE==—=,

EC4AF

.G?

.丁而不

解得：X=叵,

5

?f2M

5

故選C.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

【分析】

由題意易得8c=8,BO=OO=Q4=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,①由三角形

中位線可進行判斷；②由ADOC是等腰直角三角形可進行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進行求

解；④根據(jù)題意可直接進行求解；⑤過點。作交CF的延長線于點H,然后根

據(jù)三角函數(shù)可進行求解.

【詳解】

解：；四邊形ABC7)是正方形，

BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,AC1BD,

:點F是OE的中點，

：.OF^-BE,OF//BE,

2

,：OF=6,CE=4,

ABE=\2,則C￡)=3C=8,

OF//BE,

:.△DGFS^DCE,

.DGGF1

?a---------------——,

CDCE2

.,.GF=2,故①正確;

，點G是CD的中點，

答案第2頁，共27頁

:.0G1CD,

?/N00045。，

???△OOC是等腰直角三角形，

?*-OD=41OG，故②正確；

VC￡=4,8=8,ZDCE=90°,

AtanZCD￡=-C^E-=-1,故③正確；

CD2

??tanZCDE=-^1,

2

:.NCDE/45。，

，NODFw90。,故④錯誤；

過點。作。交CF的延長線于點“，如圖所示:

丁點尸是。的中點，

:.CF=DFf

：.ZCDE=ZDCFf

/.tanZ.CDE=tanZDCF=—,

2

設(shè)=則C”=2x,

在心中，X2+4X2=64,

解得：x=±喳

5

:.DH=處,故⑤正確；

5

,正確的結(jié)論是①②③⑤；

故選C.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性

答案第3頁，共27頁

質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【分析】

做輔助線。E_LAB于點E,CF_LAB于點F,構(gòu)建出兩對直角三角形，根據(jù)已知條件分別用

三角函數(shù)解這兩個三角形，即可的出本題答案.

【詳解】

解：分別作于點E,CFLAB于點F,

"：DC//AB,

：.CF=DE,

在Rf△4￡)￡；中，

：AD=8米，坡角a=30。,

DE=ADsina=8sin300=4米；

在R/AAOE中，

坡BC的坡角夕=45。，

BC=~^=+=4拒

二sinP42.

~2

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用，以及解直角三角形的知識.

4.C

【解析】

【詳解】

試題分析：先根據(jù)已知求邊長BC,再根據(jù)點P和Q的速度表示BP和BQ的長，設(shè)^PBQ

的面積為S,利用直角三角形的面積公式列關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求最值即可.

VtanZC=-,AB=6cm,.?.空；.BC=8,

4BCBC4

由題意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

答案第4頁，共27頁

設(shè)APBQ的面積為S,貝IjS=/xBPxBQ=±x2tx(6-t),

S=-t2+6t=-(t2-6t+9-9)=-(t-3)2+9,P：0<t<6,Q：0<t<4,

.?.當(dāng)t=3時，S有最大值為9,即當(dāng)t=3時，△PBQ的最大面積為9cm2；

考點：(1)解直角三角形；(2)二次函數(shù)的最值.

5.D

【解析】

【分析】

由三角函數(shù)的定義可知疝4=而,可設(shè)8c=5A女由勾股定理可求得枇=必,再

利用余弦的定義代入計算即可.

【詳解】

解：如圖：

A

C-----^4

在R/AA5C中，sinA=—,可設(shè)BC=5AAB=\3k.

AB

由勾股定理可求得AC=y/AB2-BC2=J(13"-(5"=\2k.

m2.AC\2k12

所以，cosA=——=——=—.

AB13213

故選：D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.C

【解析】

【分析】

直接利用算術(shù)平方根定義、三角函數(shù)定義、單項式除以單項式的運算法則與完全平方公式

判斷即可得出答案.

【詳解】

解：A.因為囪=3,所以A項錯誤；

答案第5頁，共27頁

B.當(dāng)a=30°時,sin2a=sin60°=—?2sina=2sin30°=l(此時sin2aw2sina,故B

2

項錯誤；

C.(6?6)4-(-2?7)=-a6-23—3",故C項正確；

D.(a+b)2=fl2+2必+廿；故口項錯誤；

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了算術(shù)平方根定義、三角函數(shù)定義、單項式除以單項式的運算法則與完全平

方公式，能用特值法判斷sin2aw2sin。是解題的難點.

7.A

【解析】

【分析】

由勾股定理求出04的長度，利用三角函數(shù)值求出角的度數(shù)，即可求得4的坐標.

【詳解】

解：過4點作x軸垂線，垂直為C,

??,A的坐標為(1,6),即OB=1,AB=6,

222

：.OA=OA'=yJOB+AB=《1+(廚=2,

皿I,..OBV3

則tanZ.A=---=——,

AB3

ZA=30°,則ZAOB=ZA'OA=60°,

/.ZAOC=l80。-ZAOB-ZA'OA=60°,

:.OC=A'OvosZA'OC=2Xcos60°=1,

A'C=AOsinNA'OC=2xsin600=5

的坐標為(-1,x/3),

答案第6頁，共27頁

故選：A.

【點睛】

本題主要考查銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識點，熟知三角函數(shù)對應(yīng)的邊的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

8.C

【解析】

【詳解】

試題分析：由圖可分別求得BO=AD=2,A8=2&,CD=\,AC=逐，利用銳角三角函數(shù)定

義在RtAABD和RsACD中計算即可判斷.

解：由圖可得BO=A￡>=2,CD=\,

所以AB=S]A.D2+BD2=2應(yīng)，AC=JAD?+CD?=石>

BDADV2BD.

在RtAABD中,sma=---二------,cosct=-----=-----,tana=-----=1,

AB2AB2AD

小

?介CD口AO275「A。八

在RtA4C￡>中,Sin^=AC----,cosp=-----=------,tanC=——=2,

5"AC5CD

貝ijsina=cosot,故A正確；tanC=2,故B正確；sin/?rcos夕，故C錯誤；tana=l,故D正

確.

故選C.

9.12米

【解析】

【分析】

由S=10t+t2可求得滑下的距離S,結(jié)合坡角為30。，通過三角函數(shù)計算從而得到答案.

【詳解】

：S=10t+t2且f=2

；.S=20+4=24

???坡角為30。且sin30°=1

.??此人下滑的高度為Sxsi"30o=24x'=12

故答案為：12米.

【點睛】

本題考察了一元二次函數(shù)和三角函數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是結(jié)合實際問題，熟練掌握并運

答案第7頁，共27頁

用一元二次函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

10.(>/3,1)

【解析】

【分析】

利用3&的正切可以求出C點坐標，再利用C、M在y=A(kwO)上，設(shè)M的坐標，最后通

x

過NMOF=30?？梢郧蟪鯩點的坐標.

【詳解】

解：如圖，過點C作軸，過點M作軸，

由題意可知/EOC=/MOF=30°,CE=\

CFr-k

則OE='^=6,C在y=±(Z*0)上，

tan30°x

設(shè)M(@,")(〃?>0)

m

???NMO/=30。

/?

/.tanAMOF=—

3

AH_V3

即石=7解得〃=21,機=-1(不符合題意，舍去)

m

所以

故答案為：(百,1).

【點睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)性質(zhì)，正確理解題

答案第8頁，共27頁

意，求出c點的坐標是解決問題的關(guān)鍵.

11.（D@③④

【解析】

【分析】

①根據(jù)折疊可得NF=/G=90。，ZADC=90°,再利用直角三角形兩個銳角互余即可判

斷；

②根據(jù)折疊可得NBCE=NECG,再根據(jù)CD平分NECG,可得NBCE=60。，進而即可判

斷；

③根據(jù)題意可知：直線FG經(jīng)過點。，證明△EF￡>~A￡）GC,對應(yīng)邊成比例可得AE=EF=

445

ED=3--=-,進而即可判斷；

333

④當(dāng)AOMN為等腰三角形時，可得△MGCAOMN均為等腰直角三角形，如圖，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

①根據(jù)折疊可得N尸=ZG=90°,

工NFED+NEDF=9。。,NCDG+NGC。=90。，

???ZADC=90%

???ZCDG+ZEDF=90°,

?.NFED=/CDG,

??.NEE。+NGCQ=90。，故①正確；

②根據(jù)折疊可知：NBCE=/ECG,

???CD平分NECG,

?.3NECD=90。,

??.NECD=30。,

NBCE=60。,

tan/BCE=6,故②正確；

③根據(jù)題意可知：直線FG經(jīng)過點

?.?BC=CG=3,CD=5,

ADG=4,DF=1,

???ZF=ZG=ZADC=90°,

答案第9頁，共27頁

△EFD~△DGC,

，EF=——DF,

DGCG

EF1

''~=39

:.EF=-,

3

4

...AE=EF=-,

3

:.ED=3--=-.

33

ApA

???煞=9,故③正確；

ED5

④當(dāng)△力MN為等腰三角形時，

可得△MGC,△。仞V均為等腰直角三角形,

如圖，

???BC=CG=3,

：.MG=3,

??.CM=3正，

:.DN=DM=5-342，

MN=&(5-3V2)=5五-6,

五邊形ABCMN的周長為：

AB+BC+CM+MN+AN

=5+3+3&+5應(yīng)-6+3應(yīng)-2=11正,故④正確，

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題考查了折疊問題，同時與相似三角形、特殊三角函數(shù)值、等腰三角形、矩形等知識相

結(jié)合，轉(zhuǎn)化相關(guān)線段和角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

12.3：4

答案第10頁，共27頁

【解析】

【分析】

設(shè)AB=AC=m,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得0A=0C=gAC=3m,繼而根據(jù)已知解三角形

求得FC=3m,通過證明△AOE彩△COF,求得AE=FC=@m,從而求得%AOE=3

3324

m2,作ANJLBC于N,求得BC=^m,繼而求得BF=BC-FC=Gm-將m=3叵m,然

后作MH_LBC于H,分點M為靠近點B的三等分點和靠近點A的三等分點兩種情況求出

SABMF的值即可求得答案.

【詳解】

設(shè)AB=AC=m,

VO是兩條對角線的交點，.??OA=OC=gAC=gm,

VZB=3O0,AB=AC,AZACB=ZB=30°,

VEF1AC,/.cosZACB=—,即cos30°=2"，.\FC=—m,

FC7E3

：AE〃FC,NEAC=NFCA,又；NAOE=NCOF,AO=CO,AAAOE^ACOF,

.,.AE=FC=—m,

3

OE=gAE=m,SAAOE=工OA,OE=7-x^-mx2^m=m2,

26222624

作AN±BC于N,

VAB=AC,，BN=CN=GBC,VBN=^AB=^m,，BC=Gm,

222

/.BF=BC-FC=73m--m=m,

33

作MHLBC于H,如圖1（點M為靠近點B的AB的三等分點），則BM=gm,

2

ZB=30°,MH=7rBM=-m,SABMF=BF?MH=^-X^2^mx—m=—m,

26223618

732

-m

?、c△-OE_24_￡Q

S^BMF直加24

18

7

如圖2（點M為靠近點A的AB的三等分點），則BM=§m,

2

?/ZB=30°,/.MH=!BM=-m,/.SABMF=工BF*MH=gxmx-m=—m,

2322339

答案第11頁，共27頁

G2

—mi

c_24_3

S.BMF28

9

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識，綜合性較強，有一定的難

度，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵.本題運用了分類討論思想.

13.①@④

【解析】

【分析】

①利用四邊形內(nèi)角和為360°即可求證；

②過G作GM_LAB,GNA.BC,證明△GME四△GNF即可得結(jié)論；

③分別求出G到邊A2OC的距離的范圍，再進行判斷；

④點G到邊AB的距離的最大值為當(dāng)GELA8時，GE即為所求.

【詳解】

?:NEGF=90。GE=GF

：.ZGEF=45°

①：四邊形438是矩形

:.ZB=90°

?.?NEG『=90。,四邊形內(nèi)角和為360。

:.NGEB+NGFB=180。

??,①正確.

②如圖：過G作GM，A8,GN，BC

答案第12頁，共27頁

AD

NGME=NGNF=90。

-.-ZGEB+NGFB=180。，NGEM+ZGEB=180°

:.NGFN=GEM

又；GE=GF

AGME迫AGNF(AAS)

：.GM=GN

即點G到邊的距離一定相等

②正確.

③如圖：過G作GN_LAO,GM，C￡>

NG<AB-1EF=2,GM<AD--EF=3

22

答案第13頁，共27頁

NG>AB-￡Fxsin45°=4-2>/2,

GM>AD-EFxsin450=5-242

:.4-2>j2<NG<2,5-2y/2<GM<3

Wv2<5-2V2

所以點G到邊A￡>,OC的距離不可能相等

二③不正確.

④如圖：

A

E

B

當(dāng)GE_LAB時，點G到邊AB的距離的最大

GE=EFxsin45°=4x—=2>/2

2

，④正確.

綜上所述：①②④正確.

故答案為①②④.

【點睛】

本題考查了動點問題，四邊形內(nèi)角和為360。，全等三角形的證明，點到直線的距離，銳角

三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.2叫代

【解析】

【分析】

由題意易得/88=60。,48=">=8=1,則有為等邊三角形，同理可得

AA44…….△4網(wǎng)3。2。&021都為等邊三角形，進而根據(jù)等邊三角形的面積公式可得

答案第14頁，共27頁

5=空，s?=6……由此規(guī)律可得然后問題可求解.

【詳解】

解：；四邊形ABCD是菱形，

:.AB=AD=CD=\9AD//BC,AB//CD,

?：ZABC=120°,

???ZBCD=60°,

??.NADA,=NBCD=60。,

,:DA〕=CD,

/.DA{=AD,

???AA”為等邊三角形，

同理可得MD,A……."必。2020A2⑼都為等邊三角形，

過點8作BEJ_C。于點E,如圖所示：

/.BE=BC-sinNBCD=—,

2

/.S,=^\DBE=^-\D2=日，

同理可得:邑邛&々邛x2j,品邛也邛X4-5

...由此規(guī)律可得：S?=y/3-22"-4,

答案第15頁，共27頁

.??S2M=6x22*281=2的38.6；

故答案為6.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、

等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

內(nèi)275275

15.---<AD<----

53

【解析】

【分析】

分別求出當(dāng)A落在AC和BC上時AO的長度即可.

【詳解】

VZABC=90°,AB=2tBC=4,

AC=yjAB2+BC2=〃+16=26，

當(dāng)點4落在AC上時，如圖，

匚

、c

?.?將△ABO沿8。折疊，點A落在A處，

，ZADB=ZA'DB=90°

?.”,必=必=空，

ABAC

，陋=四=述，

AC5

當(dāng)點A落在8C上時，

BA'C

答案第16頁，共27頁

??,將△ABD沿3D折疊，點A落在4處,

,NABD=NDBC=45。,

〈DHLAB,

???NHDB=/HBD=45°,

:.BH=DH,

A_HD_BC_

?tcinA=---=---=2,

AHAB

:?HD=2AH=BH,

???AB=AH+BH=2AH+AH=2,

AAH=-,BH=-=DH,

33

AD=JAH2+HD2=/-+—=—,

V993

???當(dāng)點4在△ABC內(nèi)部（不含邊界）時，A。長度的取值范圍為坡<AO<2叵.

53

【點睛】

本題考查折疊問題，解題的關(guān)鍵是考慮兩種極端情況.還可以利用相似來解題.

16.?

5

【解析】

【分析】

根據(jù)/A+N8=90。，判定三角形ABC為直角三角形，則根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系

求解即可.

【詳解】

3,3

由NA+N8=90°,sinA=-,得：cosB=sinA=-,

故答案為I.

【點睛】

本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意：在AACB中，NA+NB=90。，則

ZC=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,cotA=tanB.

17.（1）成立，理由詳見解析；（2）成立，證明詳見解析

【解析】

【分析】

答案第17頁，共27頁

(1)將a=30。代入，根據(jù)三角函數(shù)值計算可得；

(2)設(shè)NA=a,則/B=90"a,根據(jù)正弦函數(shù)的定義及勾股定理即可驗證.

【詳解】

解：⑴當(dāng)a=30。時,

sin2a+sin2(90°-a)

=sin230°+sin260°

3

44

=1;

證明：如解圖，在△ABC中，ZC=90°,

設(shè)ZA=a,貝iJ/B=90。一。，

BCACY_8c2+3_AB^_]

sin2a+sin2(90°-a)=

~AB~AB)-—AB^~-AB7-'

【點睛】

本題主要考查特殊銳角的三角函數(shù)值及正弦函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義及勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

r,O<Z<-

2

3123

18.(1)AC=5；(2)5=--12+—t,-<t<4

552

2t—8,t>4

【解析】

【分析】

(1)由題意易得4=90°,然后根據(jù)勾股定理可求解;

答案第18頁，共27頁

(2)由題意易得①當(dāng)點P在AB上時，即04/4：,則BP=2r,8Q=f,②當(dāng)點尸在AC

2

3

上，點Q在BC上時，即過點P作PELBC于點E,然后可得

PC=8-2r,PE=|(8-2r),③當(dāng)點P與點C重合，點Q在CQ上時，即r>4,則有

BP=4,CQ=J,進而根據(jù)面積計算公式可求解.

【詳解】

解：(1)???四邊形A3CD是矩形，

,4=90。，

,:AB=3,BC=4,

AC=VAB2+BC2=5;

(2)由題意得當(dāng)點P到達點C時，點。恰好到達點C,則有：

3

當(dāng)點尸在A8上時，即如圖所示：

2

BP=2t,BQ=t,

二S=,8尸?8Q=!x2txf=f2；

22

3

當(dāng)點尸在AC上，點。在8c上時，即5</44,過點P作PELBC于點E,如圖所示:

答案第19頁，共27頁

3

由(1)nJWsinZPCE=-,

3

???PE=CP-sinZPCE=-(8-2r),

iiQ312

：.S=-BQPE=-x^x^-2t)xt=--t2+—t；

當(dāng)點P與點C重合，點Q在CD上時，即f>4,如圖所示:

,3

t2,O<t<-

2

3123

綜上所述：S關(guān)于，的解析式為S=一一廠2+—t,-<t<4.

552

2/-8,r>4

【點睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)及函數(shù)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定

理、三角函數(shù)及函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

19.(1)y=-#+gx+2；(2)—；⑶存在，/(-1,0)或尸.言.

224139)

【解析】

【分析】

(1)直接將A(T,O),8(4,0)兩點坐標代入拋物線解析式之中求出系數(shù)的值即可；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再設(shè)出點尸的坐標，接著表示出Q點和M點

的坐標后，求出線段PQ和QM的表達式，再求出它們和的兩倍，利用配方法即可求出其

最小值；

(3)先利用銳角三角函數(shù)證明出NCBA=/DQM,進而得到尸點的其中一個位置，在BC

另一側(cè)，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立方程組，即可求出8尸與y軸的交點，進

而求出8斤的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，即可確定F點的坐標.

答案第20頁，共27頁

【詳解】

解：（1）,??拋物線y"+加+2經(jīng)過A（T,O）,6（4,0）兩點,

Ja-b+2=0

116。+4〃+2=0

1

a=—

2

解得：

,3

b=一

2

1,3

?,?該拋物線的函數(shù)表達式為：y=--x2+|x+2；

（2）:y=依+3經(jīng)過點A,

：.一4+3=0,

**.&=3,

工直線/y=3x+3；

設(shè)尸（力3f+3）,則Q，，一，2+|f+2）,

3

23

?.?拋物線對稱軸為：x=------廣且。點和M點關(guān)于對稱軸對稱,

2x"

3

???M點橫坐標為2><萬一=37,

QM=3—t—t=3—2t?

XVPQ=3r+3-1-g/+|f+2

2（PQ+QA/）=2（；/+gf+l+3-2，=/-r+8=

I71

當(dāng)r己時，2（PQ+QM）的值最小，為亍;

31

二該矩形周長的最小值為W；

（3）存在，尸（TO）或尸

由（2）可知，。

???拋物線的函數(shù)表達式為：y=~1x2+^3x+2；

答案第21頁，共27頁

如圖4,作DELLQM,

圖4

因為。E=325-二21=上1，QE=3---1=\,

88222

tanZ.DQE=g；

又?.?拋物線與y軸交于點C,與x軸交于點A、B,

：.C(0,2)

]3

令-萬一+/X+2=0,解得：*=-1,々=4；

二A(-1,O),8(4,0),

,OC=2,OB=4,

tanZCBA=-=~,

42

...當(dāng)F點在點A處時，能使得NC8尸=NDQM,此時尸(-1,0);

如圖5,在BC另一側(cè)，當(dāng)ZCBH=ZDQM時，ZCBH=Z.CBA,

過C點作CNLBH,垂足為點N,

答案第22頁，共27頁

圖5

由角平分線的性質(zhì)可得：CN=C0=2,

：.BN=B0=4,

由勾股定理可得：CH-=CN?+NH?且OH?+OB?=BH?,

即C”2=2?+N〃2,且(C〃+2)2+4?=(M7+4；

1AQ

解得：CH=3,NH=--

設(shè)直線BH的函數(shù)解析式為：y=px+q,

4p+q=0

,4

"16'

q=-

I3

416

???直線3”的函數(shù)解析式為：y=--x+^,

33

聯(lián)立拋物線解析式與直線3H的函數(shù)解析式，得：

4