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2024高三數(shù)學二輪復(fù)習難點突破第五章解析幾何理解數(shù)學運算,少失分在初等數(shù)學中,運算對象主要有數(shù)、式、向量、幾何圖形等。相應(yīng)的運算主要有:初等代數(shù)運算——加法、減法、乘法、除法、乘方、開方.初等超越運算——指數(shù)運算、對數(shù)運算、三角和反三角運算等.幾何運算——平移、旋轉(zhuǎn)、反射、位似、相似等.平面直角坐標系下,平移變換把平面上任一點P(x,y),變?yōu)镻'(x+α,y+β).(2022·新高考Ⅰ卷T21)已知點在雙曲線上,直線l交C于P,Q兩點,直線的斜率之和為0.(1)求l的斜率;(2)若,求的面積.分析易得:雙曲線,即:不妨通過平移變換簡化運算。以為新的原點,作坐標平移變換則在UV平面中,A為原點,而雙曲線方程為:展開得:設(shè)直線l方程為:,則齊次方程為過原點A的直線AP、AQ因為直線的斜率之和為0,所以l的斜率第2問,可以由夾角公式求解,這里從略。從高二月考到2024屆高三期初——齊次化表達,二次曲線不同(2022年9月江蘇省華羅庚中學高二數(shù)學試卷)已知圓的圓心與點關(guān)于直線對稱,且圓與軸相切于原點.(1)求圓的方程;(2)過原點的兩條直線與圓分別交于兩點,直線的斜率之積為,為垂足,是否存在定點,使得為定值,若存在,求出點坐標;若不存在,說明理由.【答案】(1)(2)存在;P(2,0)【齊次化表達】第(2)問,齊次化方法解答:由(1)得:圓的方程為因為過原點的兩條直線與圓分別交于兩點,則直線AB不經(jīng)過原點O設(shè)直線AB方程為:由得:,兩邊同時除以,得:又直線的斜率之積為,所以則,解得:則直線AB方程為:,它過定點又為垂足,則D點在以為圓心,為半徑的圓上此時,為定值2故存在點P(2,0),使得|DP|為定值2.【變式問題】(江蘇省泰州中學2023-2024學年高三上學期期初調(diào)研數(shù)學試題)已知橢圓的左右頂點為A、B,直線l:.已知O為坐標原點,圓G過點O、B交直線l于M、N兩點,直線AM、AN分別交橢圓于P、Q.(1)記直線AM,AN的斜率分別為、,求的值;(2)證明直線PQ過定點,并求該定點坐標.【答案】(1)(2)【平移齊次化表達,二次曲線不同】第(2)問,平移齊次化方法解答:由(1)得:,即:以為新原點,建立新的直角坐標系,,則可以寫成:,即:化簡得:設(shè)直線方程為:由得:兩邊同時除以,得:由,得:(坐標平移前后,直線的傾斜程度不變,即斜率不變)則:解得:則直線方程為:,它過定點故,直線方程過定點,即:直線PQ過定點,且該定點坐標為【舉一反三】過點M(1,0)的直線與:交于A,B兩點,問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.平移齊次化方法解答:設(shè)點N的坐標為:以為新原點,建立新的直角坐標系,則可以寫成:化簡得:(*)設(shè)直線方程為:,代入(*)式,得:兩邊同時除以,得:因為x軸平分∠ANB,所以,根據(jù)“坐標平移前后,直線的傾斜程度不變,即斜率不變”,得:則:,若,則直線方程為:,由橢圓的對稱性,得:此時,x軸平分∠ANB若,則(**)又直線AB過點M(1,0),即:直線過點,則,代入(**),得:,即:化簡得:,解得:當N(eq\f(11,6),0)時,能使x軸平分∠ANB短文精粹:曲線方程中的“且”與“或”在高一邏輯用語章節(jié),我們學過邏輯關(guān)系“且”與“或”。舉個例子,“劉老師是男人,且是女人”,錯誤;“劉老師是男人或女人”,正確!在曲線方程中,也有這樣的例子。我們一起來看!引例:直線方程組,這兩條直線沒有交點(或者說交點在無窮遠處)。將等式兩邊分別相乘,得:,方程無解。由此可見,像上面那樣,將“等式兩邊分別相乘”的操作,是“且”的關(guān)系。若我們將等式兩邊移項,讓等式一邊等于0,然后將兩式分別相乘。即:,方程的解為:或,這是一個“或”的關(guān)系。交軌法,體現(xiàn)一種“且”的關(guān)系。如,,,,兩邊分別相乘,得:,即:()曲線系中,將兩直線方程相乘,得,體現(xiàn)一種或的關(guān)系。如,,,,兩邊分別相乘,得:,即:亦即:這表示兩條直線。另一方面,方程表示經(jīng)過M、A、B三點的二次曲線。當時,即:,該曲線表示經(jīng)過M、A、B三點的圓。曲線系與等軸雙曲線【命題】A、B、C是等軸雙曲線上不同的三點,則的垂心H在雙曲線上。下面是特殊情形【應(yīng)用舉例】(2022-2023·南京、鹽城市·一模)21.已知雙曲線:的離心率為,直線:與雙曲線C僅有一個公共點.(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點為,直線平行于,且交雙曲線C于M,N兩點,求證:的垂心在雙曲線C上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由離心率為可得,再聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式可得的方程;(2)設(shè)方程,及的坐標,由過A引的垂線交C于另一點H,可得點H為.再證即可.【詳解】(1)因為雙曲線的離心率為,所以,即,所以雙曲線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消去得,即,因為與雙曲線C僅有一個公共點,所以,解得,故雙曲線的方程為.(2)設(shè),,則滿足消去得,所以,,如圖所示,過A引的垂線交C于另一點H,則AH的方程為.代入得,即(舍去)或.所以點H為.所以,所以,故為的垂心,得證.以“貝塞爾曲線”為背景的高考原創(chuàng)題【試題呈現(xiàn)】貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線。法國數(shù)學家卡斯特里奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應(yīng)用的嘗試,提出了deCasteljau算法。下面我們用deCasteljau算法的遞推思想來繪制一條二次貝塞爾曲線:第1步,如圖,在平面內(nèi)任選3個不共線的點,記為A,B,C,其中A,C分別為起始點和終止點,B為控制點,連接AB,BC;第2步,在線段AB上任選一點D,計算線段AD與AB長度的比值,記為;第3步,在線段BC上找到對應(yīng)的點E,使得BE與BC的比值也等于;第4步,連接DE,在線段DE上找到對應(yīng)的點F,使得DF與DE的比值也等于;第5步,令點D在線段AB上從起點A移動到終點B,對應(yīng)的點F的軌跡即由點A,B,C定義的二次貝塞爾曲線。若,,,請用含的式子表示點的坐標,并證明F點軌跡的一般方程為?!澳嫦蛩伎肌笔且环N數(shù)學思維方式。由問題(1)可知:二次貝塞爾曲線是拋物線。即:在平面內(nèi)任選3個不共線的點,,,D在線段AB上,E在線段BC上,F(xiàn)在線段DE上,且滿足,則點的軌跡為拋物線。對此進行逆向思考,得到如下命題:過拋物線上不同的三點,,的三條切線分別兩兩交于D,B,E,則有相應(yīng)成比例的結(jié)論。請證明該結(jié)論。原創(chuàng)題該題由劉蔣巍命制【出題背景】貝塞爾曲線與拋物線的三切線定理二次貝塞爾曲線的遞推畫法,見【試題呈現(xiàn)】部分。由此可見,二次貝塞爾曲線是拋物線。反之,已知拋物線上三點的切線,也有相應(yīng)成比例的結(jié)論。這個結(jié)論就是“拋物線三切線定理”。根據(jù)二次貝塞爾曲線的遞推畫法,筆者思考并畫出了如下三次貝塞爾曲線。筆者根據(jù)“二次貝塞爾曲線是拋物線”與“拋物線三切線定理”,命制了【試題呈現(xiàn)】部分的解析幾何題。但筆者始終感覺不太滿意,尤其第二問,似乎落入俗套——拋物線三切線定理。于是,筆者想命制三次函數(shù)(三次貝塞爾曲線中的一種,如下圖),但試著求解軌跡方程之后,又變成純計算了。感慨:命題實在不容易!于是只能“作罷”!突然想到一位大師曾經(jīng)說的話——命題,是一門遺憾的藝術(shù)。于是,筆者將《貝塞爾曲線幾何畫板圖像追蹤F點(二次貝塞爾曲線)、S點(三次貝塞爾曲線)——2023.04.10劉蔣巍命題素材》(幾何畫板文件)共享在江蘇各大高中數(shù)學群里以及命題人交流群里,方便大家研究。也希望能夠拋磚引玉,激發(fā)大家思考,從而命制出更優(yōu)質(zhì)的試題?!窘忸}思路】第1問解法較多。筆者設(shè)計“用含的式子表示點的坐標”,既是體現(xiàn)人文關(guān)懷,也是對“證明F點軌跡的一般方程為”,一種證法的暗示。第2問,培養(yǎng)學生“逆向思考”的能力。同時又是“拋物線三切線定理”。這個定理的證明很常見。這里不再贅述。請讀者自做。省常中2024屆高二周練4橢圓壓軸題的推廣及“副產(chǎn)品”【試題呈現(xiàn)】(江蘇省常州高級中學2023~2024學年高二上學期數(shù)學周練4)直線與橢圓C:交于A、B兩個不同的點,點M為AB中點,點O為坐標原點,且橢圓C離心率為,長軸長為4.求橢圓C的標準方程;若OA,OB的斜率分別為,,,求證:為定值;已知點,當?shù)拿娣eS最大時,求的最大值.【命題推廣及“副產(chǎn)品”】(推廣)直線與橢圓C:交于A、B兩個不同的點,點M為AB中點,點O為坐標原點.一般性結(jié)論(1):若OA,OB的斜率分別為、,,求證:為定值;一般性結(jié)論(2):的面積S最大值為,此時,若點,則的最大值為.“副產(chǎn)品”:一般性結(jié)論(3):若OA,OB的斜率分別為、,的面積S最大值為,此時,為定值.【推廣及“副產(chǎn)品”的證明】(證明)令,則橢圓C:變換為:一般性結(jié)論(1)的證明若OA,OB的斜率分別為、,,則,即:則直線關(guān)于直線對稱。由于圓也是軸對稱圖形,也關(guān)于直線對稱;兩條坐標軸也關(guān)于對稱。

由上述圖形的對稱性以及平面幾何知識可知:即:,,即:為定值.即為一般性結(jié)論1.圖為:結(jié)論1證明示意圖一般性結(jié)論(2)~(3)的證明圖為:結(jié)論2~3證明示意圖又所以則的面積S最大值為此時,若點,則又所以,.即為一般性結(jié)論2.此時,,,即:,,即:為定值.即為一般性結(jié)論3.【作者寄語兼本文總結(jié)】在這個AI時代,我們的學生一定要學會思考、學會提問。做完一道試題之后,一定要問一問自己:存在一般性的問題么?怎么解決?一般性的結(jié)論是什么?惟其如此,才能真正成為AI新時代下需要的人才,在AI時代立于不敗之地!——劉蔣巍2024屆如皋高三8月診斷測試解析幾何壓軸題的源與流【試題呈現(xiàn)】在平面直角坐標系xOy中,已知圓與拋物線交于點M,N(異于原點O),MN恰為該圓的直徑,過點E(0,2)作直線交拋物線于A,B兩點,過A,B兩點分別作拋物線C的切線交于點P.(1)求證:點P的縱坐標為定值;(2)若F是拋物線C的焦點,證明:.【試題的源】【第1問出題背景——極點極線】當點E在拋物線上方時,點E關(guān)于拋物線的極線與拋物線相離,該極線為經(jīng)過點E的弦在兩端點處切線交點P的軌跡;且該極線與以E為中心的弦所在直線平行。在本題中,易得:拋物線的方程為x2=y點E(0,2)關(guān)于拋物線的極線方程為:,即:因此,點P的縱坐標為定值?!镜?問出題背景——拋物線的等角性質(zhì)】已知F為拋物線的焦點,過拋物線外部一點P(把含拋物線焦點的區(qū)域稱為該拋物線的內(nèi)部)作拋物線的兩條切線PA、PB,切點為A、B.則:①過P作直線PK平行于拋物線的對稱軸且交AB于點K,則∠APF=∠MPK;②∠PFA=∠PFB.簡證思路:由拋物線的光學性質(zhì)可知AF'、BF"均平行于拋物線的對稱軸,則直線F'F"為拋物線的準線。由對稱性可知PF'=PF=PF",(接下來,可用平面幾何知識證明,請讀者自己完成證明)根據(jù)該試題的“源”,我們可取種種具體的拋物線,甚至圓錐曲線,源源不斷地產(chǎn)生相應(yīng)的試題。【試題參考解答】(1)由對稱性可知交點坐標為(1,1),(-1,1),代入拋物線方程可得2p=1,所以拋物線的方程為x2=y,設(shè)A,B,所以,所以直線AB的方程為,即,因為直線AB過點C(0,2),所以,所以①.因為,所以直線PA的斜率為,直線PB的斜率為,直線PA的方程為,即,同理直線PB的方程為,聯(lián)立兩直線方程,可得P由①可知點P的縱坐標為定值-2.(2),,注意到兩角都在內(nèi),可知要證,即證,,,所以,又,所以,同理式得證.【試題的流】【試題的延申1】當點E在圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)內(nèi)部時,點E關(guān)于圓錐曲線的極線與該圓錐曲線相離,該極線為經(jīng)過點E的弦在兩端點處切線交點P的軌跡;且該極線與以E為中心的弦所在直線平行。(注:把含拋物線焦點的區(qū)域稱為該拋物線的內(nèi)部)【試題的延申2】已知F1、F2為圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的兩個焦點,過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線的兩條切線,切點分別為A,B,則:①∠APF?=∠F?PB;②∠PF?A=∠PF?B,∠PF?A=∠PF2B.(其中“∠”指的是有向角,如∠AOB指的是直線AO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到與直線OB重合時所經(jīng)過的角;對于拋物線的第二個焦點可以理解為在無窮遠點)。平時教學時,對于一道高中數(shù)學題的講解,需引導(dǎo)學生思考試題的“源”與“流”。即:應(yīng)引導(dǎo)學生理解試題的來源,感悟數(shù)學問題的生成,思考數(shù)學問題的推廣。有些“流”,或可成為新問題的“源”。訓(xùn)練若此,其技必強!2023解析幾何模考題精選精練1.(2022-2023·南通海安高級中學·一模)8.雙曲線的左,右焦點分別為,過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點,的內(nèi)切圓圓心分別為,則的面積是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由題意畫出圖,由已知求出的值,找出的坐標,由的內(nèi)切圓圓心分別為,進行分析,由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑,從而求出的底和高,利用三角形的面積公式計算即可.【詳解】由題意如圖所示:由雙曲線,知,所以,所以,所以過作垂直于軸的直線為,代入中,解出,由題知的內(nèi)切圓的半徑相等,且,的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點,設(shè)為,在中,由等面積法得:由雙曲線的定義可知:由,所以,所以,解得:,因為為的的角平分線,所以一定在上,即軸上,令圓半徑為,在中,由等面積法得:,又所以,所以,所以,,所以,故選:A.2.(2022-2023·南通·一模)7.雙曲線和橢圓的右焦點分別為,,,分別為上第一象限內(nèi)不同于的點,若,,則四條直線的斜率之和為(

)A.1 B.0 C. D.不確定值【答案】B【分析】設(shè)為原點,則,,結(jié)合題意可得,即可得到.由可得,進而得到.設(shè),,分別代入雙曲線和方程,可得,再表示出和,進而求解.【詳解】設(shè)為原點,則,,而,得,所以、、三點共線.因為,所以,且,得,所以,即.設(shè),,分別代入雙曲線和,則,即,所以,,因為、、三點共線,所以,即.故選:B.3.(2022-2023·宿遷沭陽高中·模擬)7.橢圓具有光學性質(zhì):從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左、右焦點分別為,過的直線與橢圓E交與點A,B,過點A作橢圓的切線l,點B關(guān)于l的對稱點為M,若,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】結(jié)合題目所給信息及圖形可得,后由橢圓定義及條件可得,.最后由可得答案.【詳解】如圖,由橢圓的光學性質(zhì)可得三點共線.設(shè),則,.故,解得.又,所以,.所以.故選:A.4.(2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模)7.已知橢圓的右焦點為,點P,Q在直線上,,O為坐標原點,若,則該橢圓的離心率為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算公式和離心率公式求解.【詳解】依題意,設(shè),,則,又,兩式做差可得即,所以.故選;B5.(2022-2023·南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模)8.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:的左、右焦點,點P在雙曲線上,,圓O:,直線PF1與圓O相交于A,B兩點,直線PF2與圓O相交于M,N兩點.若四邊形AMBN的面積為,則C的離心率為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】設(shè),,有,,,由弦長公式可得,,四邊形AMBN的面積為,解得,可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限,如圖所示,圓O:,圓心為,半徑為,設(shè),,點P在雙曲線上,,則有,,可得,過O作MN的垂線,垂足為D,O為的中點,則,,同理,,由,四邊形AMBN的面積為,,化簡得,則有,則C的離心率.故選:D6.(多選題)(2022-2023·南京、鹽城市·一模)11.已知點,,點P為圓C:上的動點,則(

)A.面積的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】BCD【分析】對于A,點P動到圓C的最低點時,面積的最小值,利用三角形面積公式;對于B,當點P動到點時,取到最小值,通過兩點間距離公式即可求解;對于C,當運動到與圓C相切時,取得最大值,利用正弦值,求角即可求解;對于D,利用平面向量數(shù)量積的幾何意義進行求解.【詳解】,圓C是以為圓心,為半徑的圓.對于A,面積的最小值為點P動到圓C的最低點時,,,故選項A錯誤;對于B,連接交圓于點,當點P動到點時,取到最小值為,故選項B正確;對于C,當運動到與圓C相切時,取得最大值,設(shè)切點為,,,,故選項C正確;對于D,,當點P動到點時,取得最大值,即在上的投影,,故選項D正確;故選:BCD.7.(多選題)(2022-2023·揚州中學·一模)11.過拋物線C:的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點,則下列判斷正確的是(

)A.可能為銳角三角形B.過點且與拋物線C僅有一個公共點的直線有2條C.若,則的面積為D.最小值為【答案】CD【分析】對于A:聯(lián)立直線AB與拋物線的方程,由韋達定理得,,從而得到,由此判斷即可;對于B:判斷得點在拋物線外,由此得以判斷;對于C:利用拋物線的定義可求得,進而求得,從而根據(jù)即可判斷;對于D:利用拋物線的定義得到,從而利用基本不等式即可判斷.【詳解】對于A:因為拋物線C:的焦點為F,所以,設(shè),,AB方程為,由,得,所以,,故,所以∠AOB為鈍角,故A錯誤;對于B:因為對于,當時,,所以在拋物線外,顯然過與拋物線C相切的直線有2條,當此直線與x軸平行時,與拋物線C也是僅有一個公共點,所以過點且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條,故B錯誤;對于C:當時,設(shè),則,,即,不妨設(shè),此時,故AB方程為,聯(lián)立拋物線C:,解得,所以,故C正確;對于D:由選項A知,且,所以,當且僅當,即時,等號成立,故D正確.故選:CD.8.(2022-2023·南通海安高級中學·一模)15.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面與截面都相切,設(shè)圖中球,球的半徑分別為4和2,球心距離,截面分別與球,球相切于點(是截口橢圓的焦點),則此橢圓離心率等于_____.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得,從而求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè),由,解得,所以,所以,設(shè)直線與圓錐的母線相交于點,圓錐的母線與球相切于兩點,如圖所示,則,兩式相加得,即,過作,垂直為,則四邊形為矩形,所以,,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點睛】求解橢圓離心率的問題,思考方向有兩個,一個求得求得,從而求得橢圓的離心率;一個是求得關(guān)于的關(guān)系式,可以是一次式,也可以是二次式,但必須是齊次式,由此化簡求得橢圓的離心率.9.(2022-2023·南通·一模)16.弓琴(如圖),也可稱作“樂弓”,是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話,說明上古生民對善射者的尊崇,樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.在我國古籍《吳越春秋》中,曾記載著:“斷竹、續(xù)竹,飛土逐肉”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔,其正面為一橢圓面,它有多條弦,撥動琴弦,音色柔弱動聽,現(xiàn)有某研究人員對它做出改進,安裝了七根弦,發(fā)現(xiàn)聲音強勁悅耳.下圖是一弓琴琴腔下部分的正面圖.若按對稱建立如圖所示坐標系,為左焦點,均勻?qū)ΨQ分布在上半個橢圓弧上,為琴弦,記,數(shù)列前n項和為,橢圓方程為,且,則取最小值時,橢圓離心率為______.【答案】【分析】根據(jù)焦半徑公式可得,從而可知數(shù)列是等差數(shù)列,進而可求得,再根據(jù)的橫坐標為八等分可得,從而可得,進而表示出,利用基本不等式“1”的妙用可求最小值,從而求解離心率.【詳解】設(shè),有,得,所以數(shù)列是等差數(shù)列,,由題意,的橫坐標為八等分,所以,而,又,所以,所以,當且僅當即時取得等號,此時離心率為,故答案為:.10.(2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模)15.已知圓,過點的直線l交圓C于A,B兩點,點P在圓C上,若,,則________【答案】【分析】根據(jù)向量的加減法運算可得,再根據(jù)圓的性質(zhì)可得即可求解.【詳解】易知圓心,半徑,取中點D,則,因為,所以,所以,則,又,所以即,故.故答案為:.11.(2022-2023·南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模)13.已知點在拋物線上,過作的準線的垂線,垂足為,點為的焦點.若,點的橫坐標為,則_______.【答案】【分析】不妨設(shè)點在第一象限,可得點,分析可知直線的傾斜角為,利用直線的斜率公式可得出關(guān)于的等式,結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】如下圖所示:不妨設(shè)點在第一象限,聯(lián)立可得,即點易知軸,則軸,則,所以,直線的傾斜角為,易知點,所以,,整理可得,且有,故,等式兩邊平方可得,即,解得(6舍去)故答案為:.12.(2022-2023·南通海安高級中學·一模)21.已知拋物線的焦點到準線的距離為2,圓與軸相切,且圓心與拋物線的焦點重合.(1)求拋物線和圓的方程;(2)設(shè)為圓外一點,過點作圓的兩條切線,分別交拋物線于兩個不同的點和點.且,證明:點在一條定曲線上.【答案】(1)拋物線的方程為,圓的方程為(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點到準線的距離可得的值,即可得拋物線方程;根據(jù)圓的性質(zhì)確定圓心與半徑,即可得圓的方程;(2)根據(jù)直線與圓相切,切線與拋物線相交聯(lián)立,結(jié)合韋達定理,即可得所滿足的方程.【詳解】(1)解:由題設(shè)得,所以拋物線的方程為.因此,拋物線的焦點為,即圓的圓心為由圓與軸相切,所以圓半徑為,所以圓的方程為.(2)證明:由于,每條切線都與拋物線有兩個不同的交點,則.故設(shè)過點且與圓相切的切線方程為,即.依題意得,整理得①;設(shè)直線的斜率分別為,則是方程①的兩個實根,故,②,由得③,因為點,則④,⑤由②,④,⑤三式得:,即,則,即,所以點在圓.13.(2022-2023·南通·一模)21.已知橢圓的左、右焦點分別為,焦距與短軸長均為4.(1)求E的方程;(2)設(shè)任意過的直線為l交E于M,N,分別作E在點M,N上的兩條切線,并記它們的交點為P,過作平行于l的直線分別交于A,B,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)焦距和短軸的公式求解即可;(2)設(shè)的方程為,,聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)橢圓的切線方程,聯(lián)立可得,設(shè)的中點為,根據(jù)韋達定理可得,再結(jié)合三角形與橢圓的性質(zhì)可得四點共線,從而化簡,再根據(jù)的橫坐標關(guān)系,結(jié)合參數(shù)的范圍求解即可【詳解】(1)由題意,,,解得,,故橢圓(2)由題意,,顯然的斜率不為0,故設(shè)的方程為,,則,即,故,.聯(lián)立過的切線方程,即,相減可得,即,化簡可得.代入可得,故.設(shè)的中點為,則,,故.因為,,故,所以三點共線.又作平行于l的直線分別交于A,B,易得,取中點,根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點共線,結(jié)合橢圓的對稱性有,當且僅當時取等號.故【點睛】方法點睛:根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,結(jié)合向量的性質(zhì),聯(lián)立方程利用韋達定理證明三點共線與求取值范圍的問題.需要根據(jù)題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理得到的坐標,再根據(jù)三角形與向量的性質(zhì)轉(zhuǎn)化所求的量從而進行簡化求解范圍.屬于難題14.(2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模)21.已知直線與拋物線交于兩點,,與拋物線交于兩點,,其中A,C在第一象限,B,D在第四象限.(1)若直線過點,且,求直線的方程;(2)①證明:;②設(shè),的面積分別為,,(O為坐標原點),若,求.【答案】(1)(2)①證明見解析;②【分析】(1)設(shè),,設(shè),聯(lián)立直線和拋物線,利用韋達定理和兩點間距離公式,代入,可以求解的值,進而可以求出直線的方程;(2)設(shè),聯(lián)立直線和拋物線,利用韋達定理,①代入中,即可證明;②代入中,可用分別表示,根據(jù)求出比值即可.【詳解】(1)設(shè),,,,其中,,設(shè),聯(lián)立,整理得,則,,,解得,則.(2)設(shè),①聯(lián)立,整理得,則,,聯(lián)立,整理得,則,,則,即證.②,則,,其中,,解得,則,,,則.15.(2022-2023·南通海安高級中學·一模)21.在平面直角坐標系中,過點且互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于點,與圓交于點.(1)若,求的斜率;(2)記中點為,求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由圓的弦長,結(jié)合勾股定理,得出圓心到直線的距離,根據(jù)點線距公式列方程,解出直線的斜率,進而得出的斜率;(2)當直線的斜率不存在時,可得面積的值;當直線的斜率存在,設(shè),與橢圓方程聯(lián)立,求出弦長,再由得出,根據(jù)三角形的面積公式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),得出面積的取值范圍.【詳解】(1)由題意得,直線的斜率存在,設(shè)為,所以,由,半徑知,圓心到的距離為,所以,解得,因為與垂直,所以的斜率為.(2)當直線的斜率不存在時,直線,與聯(lián)立可得,,,此時,與重合,由,可得,且,所以.當直線的斜率存在,設(shè),,所以,即,所以恒成立,,,所以,因為,,所以,所以,而到的距離為,所以,令,則,所以,顯然,所以由與圓相交得,故,所以,所以,故,綜上:.16.(2022-2023·南京師大附中·一模)21.已知,為雙曲線C的焦點,點在C上.(1)求C的方程;(2)點A,B在C上,直線PA,PB與y軸分別相交于M,N兩點,點Q在直線AB上,若+,=0,是否存在定點T,使得|QT|為定值?若有,請求出該定點及定值;若沒有,請說明理由.【答案】(1)(2)存在T(1,-2)使|QT|為定值【分析】(1)根據(jù)題意可得,解之即可求解;(2)設(shè)直線AB的方程,,聯(lián)立雙曲線方程,利用韋達定理表示;由直線的點斜式方程可得PA方程,得,同理得N(0,),根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示,化簡計算可得,分類討論與的情況,即可求解.【詳解】(1)設(shè)雙曲線C的方程為,,由題意知,解得,∴雙曲線C的方程為;(2)設(shè)直線AB的方程為,,,,消去y,得,則,,,∴直線PA方程為,令,則,同理N(0,),由,可得,∴,,∴,∴,∴,∴,∴,即,當時,,此時直線AB方程為,恒過定點,顯然不可能;∴,此時直線AB方程為,恒過定點,∵,∴,取PE中點T,∴,∴為定值,∴存在點使|QT|為定值.17.(2022-2023·南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模)21.已知橢圓的離心率為,焦距為,過的左焦點的直線與相交于、兩點,與直線相交于點.(1)若,求證:;(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點,與直線相交于點.求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)已知條件求出直線的方程,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出點、的橫坐標,再利用弦長公式可證得成立;(2)分析可知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線方程為,則直線方程為,其中,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達定理,結(jié)合弦長公式可得出的表達式,同理可得出的表達式,利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】(1)證明:設(shè)、,因為橢圓的焦距為,所以,解得.又因為橢圓的離心率,所以,所以,所以橢圓的方程為.因為直線經(jīng)過、,,所以,直線的方程為,設(shè)點、,聯(lián)立可得,由,得,.

所以,,因此,.(2)證明:若直線、中兩條直線分別與兩條坐標軸垂直,則其中有一條必與直線平行,不合乎題意,所以,直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線方程為,則直線方程為,其中.聯(lián)立可得,設(shè)、,則,由韋達定理可得,,易知且,將代入直線的方程可得,即點,所以,同理可得,所以,當且僅當時,等號成立,因此,的最大值為.第六章計數(shù)原理、統(tǒng)計與概率一道考察類比思想的原創(chuàng)小題【試題呈現(xiàn)】(2023高考數(shù)學考前原創(chuàng)熱身卷)【填空題】在復(fù)變函數(shù)中,被稱為“歐拉公式”。我們運用歐拉公式,可以推導(dǎo)出二倍角、三倍角、四倍角、五倍角等三角函數(shù)公式。譬如:由歐拉公式,可得:可知:;。類比上述方法,計算出=__________________________出題背景【出題背景】“歐拉公式”與“類比思想”參考解答【試題1參考解答】2023計數(shù)原理、統(tǒng)計概率??碱}精選精練1.(2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模)3.“綠水青山,就是金山銀山”,隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好,外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游,他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”,事件B為“兩位游客選擇的景點不同”,則(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)古典概型概率公式求出,然后利用條件概率公式即得.【詳解】由題可得,,所以.故選:D.2.(2022-2023·揚州中學·一模)3.下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進球總數(shù):年份19941998200220062010201420182022進球總數(shù)141171161147145171169172則進球總數(shù)的第40百分位數(shù)是(

)A.147 B.154 C.161 D.165【答案】C【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列,計算,根據(jù)第40百分位數(shù)的含義,即可確定答案.【詳解】將連續(xù)八屆的進球總數(shù)從小到大排列為:,由于,故進球總數(shù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)據(jù)161,故選:C3.(2022-2023·揚州中學·一模)6.在某個獨立重復(fù)實驗中,事件,相互獨立,且在一次實驗中,事件發(fā)生的概率為,事件發(fā)生的概率為,其中.若進行次實驗,記事件發(fā)生的次數(shù)為,事件發(fā)生的次數(shù)為,事件發(fā)生的次數(shù)為,則下列說法正確的是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】由相互獨立事件的概率及二項分布的期望與方差進行辨析即可.【詳解】由已知,,∴,,,∴,,∵事件,相互獨立,∴一次實驗中,,同時發(fā)生的概率,∴,∴,,對于A,,,不一定成立,故選項A說法不正確;對于B,,,,不一定成立,故選項B說法不正確;對于C,,,成立,故選項C說法正確;對于D,,,不一定成立,故選項D說法不正確.故選:C.4.(多選題)(2022-2023·南通·一模)9.下列命題中正確是(

)A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B.已知隨機變量X~,若,則C.已知隨機變量~,且函數(shù)為偶函數(shù),則D.已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為:男生樣本平均數(shù)172,方差為120,女生樣本平均數(shù)165,方差為120,則總體樣本方差為【答案】ACD【分析】利用中位數(shù)的概念即可判斷A正確;對于選項B,利用二項分布的方差公式及方差性質(zhì)求解;對選項C,利用正態(tài)分布的對稱性即可求解,對選項D,利用平均數(shù)和方差公式計算即可【詳解】對于選項A,中位數(shù)就是第50百分位數(shù),選項A正確;對選項B,,則,故B錯誤;對選項C,,函數(shù)為偶函數(shù),則,區(qū)間與關(guān)于對稱,故,選項C正確;對選項D,分層抽樣的平均數(shù),按分成抽樣樣本方差的計算公式,選項D正確.故選:ACD.5.(多選題)(2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模)9.某校1000名學生在高三一模測試中數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).分數(shù)不低于X即為優(yōu)秀,已知優(yōu)秀學生有80人,則(

)A.B.C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為93.6【答案】AD【分析】根據(jù)頻率分布圖的求解頻率、頻數(shù)、平均數(shù)即可求解.【詳解】對于A,,A正確;對于B,因為第六組有40人,第五組有160人,所以,B錯誤;對于C,70分以下的人數(shù)為人,C錯誤;對于D,平均成績,D正確,故選:AD.6.(多選題)(2022-2023·南京師大附中·一模)9.已知事件A,B滿足,,則(

)A.若,則 B.若A與B互斥,則C.若A與B相互獨立,則 D.若,則A與B相互獨立【答案】BD【分析】對于A,由題意可得,從而即可判斷;對于B,由互斥事件的概率計算公式計算即可;對于C,先求得,再根據(jù)獨立事件的計算公式計算即可;對于D,判斷是否成立即可.【詳解】解:對于A,因為,,,所以,故錯誤;對于B,因為A與B互斥,所以,故正確;對于C,因為,所以,所以,故錯誤;對于D,因為,即,所以,又因為,所以,所以A與B相互獨立,故正確.故選:BD7.(多選題)(2022-2023·南京師大附中·一模)10.已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為(,),且的極大值點為,記,,則(

)A.B.C.D.【答案】BCD【分析】利用隨機變量X的概率密度函數(shù)可得到,可判斷A;利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上遞增,在上遞減,即的極大值點為,故可判斷B;根據(jù)密度曲線關(guān)于對稱,可判斷CD【詳解】對于A,由隨機變量X的概率密度函數(shù)為可得,因為,所以,所以隨機變量X服從正態(tài)分布,故錯誤;對于B,因為二次函數(shù)在上遞增,在上遞減,由函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(,)在上遞增,在上遞減,所以的極大值點為,所以,所以隨機變量X服從正態(tài)分布,故正確;對于C,因為,,又,所以,即,故正確;對于D,因為,,所以,故正確;故選:BCD8.(多選題)(2022-2023·南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模)9.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位:t/hm2)數(shù)據(jù)為:9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位:t/hm2)數(shù)據(jù)為:9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則(

)A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D.甲種的樣本60百分位數(shù)小于乙種的樣本60百分位數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)極差判斷A,計算平均數(shù)判斷B,計算方差判斷C,分別計算甲乙的樣本60百分位數(shù)判斷D.【詳解】對A,,故A對;對B,,,故B對;對C,因為甲、乙平均值都為,所以,,顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差,故C錯誤;對D,為整數(shù),故甲的60百分位數(shù),乙的60百分位數(shù)為,故D對.故選:ABD9.(2022-2023·南通·一模)14.的展開式中的系數(shù)為___________.(用數(shù)字作答).【答案】【分析】先將看成一項,得到展開式通項公式,確定,進而簡化通項公式,得到與時滿足要求,求出展開式中的系數(shù),相加得到答案.【詳解】的展開式通項公式為,由于求解的是展開式中的系數(shù),故,其中展開式通項公式為,,令得:,此時展開式中的系數(shù)為,令得:,此時展開式中的系數(shù)為,綜上:展開式中的系數(shù)為.故答案為:10.(2022-2023·蘇錫常鎮(zhèn)·一模)13.的展開式中的系數(shù)為________.【答案】【分析】利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】因為的展開式中的項為,所以的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.11.(2022-2023·南通、泰州、揚州、徐州、淮安、連云港、宿遷、鹽城·二模)20.我國風云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量x(單位:dm)與遙測雨量y(單位:dm)的關(guān)系,統(tǒng)計得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下:樣本號i12345678910人工測雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遙測雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xiyi|0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計算得(1)求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系;(2)規(guī)定:數(shù)組(xi,yi)滿足|xiyi|<0.1為“Ⅰ類誤差”;滿足0.1≤|xiyi|<0.3為“Ⅱ類誤差”;滿足|xiyi|≥0.3為“Ⅲ類誤差”.為進一步研究,該地區(qū)水文研究人員從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機抽取3組數(shù)據(jù)與“Ⅲ類誤差”數(shù)據(jù)進行對比,記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學期望.附:相關(guān)系數(shù)【答案】(1)0.98,汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強的線性相關(guān)關(guān)系(2)分布列見解析,【分析】(1)根據(jù)公式求出樣本相關(guān)系數(shù),由數(shù)據(jù)判斷線性相關(guān)關(guān)系的強弱;(2)由的所有可能取值,計算相應(yīng)的概率,得到分布列,再求數(shù)學期望.【詳解】(1)因為,…代入已知數(shù)據(jù),得.所以汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強的線性相關(guān)關(guān)系.(2)依題意,“I類誤差”有5組,“II類誤差”有3組,“III類誤差”有2組.若從“I類誤差”和“II類誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組,抽到“I類誤差”的組數(shù)的所有可能取值為.

則,,,.

所以的概率分布為0123P所以X的數(shù)學期望.

另解:因為,所以.12.(2022-2023·南通海安高級中學·一模)20.甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.已知除第五局甲獲勝的概率是外,其余每局比賽甲獲勝的概率是.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨立.(1)分別求甲以3:0,3:1,3:2勝利的概率;(2)若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對方得1分,求乙得分X的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)甲以3:0,3:1,3:2勝利的概率分別是,,(2)分布列見解析;期望為【分析】(1)利用獨立事件的乘法公式求各比分對應(yīng)的概率;(2)由題設(shè)X的所有可能的取值為0,1,2,3,應(yīng)用獨立事件乘法、互斥事件加法求對應(yīng)值的概率,寫出分布列再求出期望值.【詳解】(1)記“甲隊3:0勝利”為事件,“甲隊以3:1勝利”為事件,“甲隊以3:2勝利”為事件,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,故,,,所以,甲以3:0,3:1,3:2勝利的概率分別是,,.(2)設(shè)“乙隊以3:2勝利”為事件,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,所以,由題意,隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得:,,,,故X的分布列為0123所以.13.(2022-2023·南京師大附中·一模)19.某百科知識競答比賽的半決賽階段,每兩人一組進行PK,勝者晉級決賽,敗者終止比賽.比賽最多有三局.第一局限時答題,第二局快問快答,第三局搶答.比賽雙方首先各自進行一局限時答題,依據(jù)答對題目數(shù)量,答對多者獲勝,比賽結(jié)束,答對數(shù)量相等視為平局,則需進入快問快答局;若快問快答平局,則需進入搶答局,兩人進行搶答,搶答沒有

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