新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)精講精練 第09講 函數(shù)模型及其應(yīng)用（高頻精講）（解析版）

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 2高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 2高頻考點(diǎn)二：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（二次模型；分段模型） 7高頻考點(diǎn)三：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（指、對(duì)、冪函數(shù)模型） 13高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 18第三部分：數(shù)學(xué)文化題 25溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(為常數(shù)，)反比例函數(shù)模型(為常數(shù)且)二次函數(shù)模型（均為常數(shù)，）指數(shù)函數(shù)模型（均為常數(shù)，，，）對(duì)數(shù)函數(shù)模型（為常數(shù)，）冪函數(shù)模型（為常數(shù)，）分段函數(shù)2、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長(zhǎng)平緩介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間,相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型典型例題例題1．（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┤鐖D是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國(guó)7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國(guó)7歲以下女童身高（長(zhǎng)）的中位數(shù)散點(diǎn)圖，下列可近似刻畫身高隨年齡變化規(guī)律的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】A選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖知身高y隨時(shí)間x變化不是線性增長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)模型中y隨x增長(zhǎng)越來(lái)越快，與圖象不符合；D選項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型在時(shí)沒(méi)有意義；B選項(xiàng)符合散點(diǎn)圖中y隨x增長(zhǎng)越來(lái)越慢，且在時(shí)有意義，故選：B．例題2．（2023秋·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：12現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】從表中的數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)看，函數(shù)遞增的速度不斷加快,對(duì)應(yīng)四個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)的對(duì)數(shù)型函數(shù)，其遞增速度不斷變慢，不符合，選項(xiàng)B，隨著t的增大，速度變小，不符合,選項(xiàng)D是以一個(gè)恒定的幅度變化，其圖象是條直線，不符合本題的變化規(guī)律,選項(xiàng)C，函數(shù)的二次型，對(duì)比數(shù)據(jù)，其最接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，符合題意.故選：C例題3．（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽(yáng)的距離（單位：，是天文學(xué)中計(jì)量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測(cè)在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽(yáng)的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：行星編號(hào)1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）離太陽(yáng)的距離(1)為了描述行星離太陽(yáng)的距離與行星編號(hào)之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；①；②；③．(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）(3)請(qǐng)用你求得的模型，計(jì)算谷神星離太陽(yáng)的距離．【答案】(1)散點(diǎn)圖見(jiàn)解析，模型②符合題意(2)，模型與數(shù)據(jù)吻合(3)【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示：根據(jù)散點(diǎn)圖可知，模型②符合題意；（2）將，，分別代入，得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，所以，模型與數(shù)據(jù)吻合；（3）當(dāng)時(shí)，，即谷神星距太陽(yáng)的距離為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)如圖所示．∵對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)顯示該函數(shù)是增函數(shù)，且增幅越來(lái)越快，∴A不成立；∵C是偶函數(shù)，∴的函數(shù)值應(yīng)該相等，∴C不成立；∵時(shí)，無(wú)意義，∴D不成立；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證它與各數(shù)據(jù)比較接近.故選：B.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：時(shí)）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時(shí)開始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實(shí)際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)條件畫出散點(diǎn)圖，依題意，所選函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：①定義域包含；②是增函數(shù)；③隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變?。?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)無(wú)意義，故排除B；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變大，故排除C；在上隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度變大，故排除D．函數(shù)可以同時(shí)符合上述條件.故選：A．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，如圖所示，根據(jù)散點(diǎn)圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，結(jié)合選項(xiàng)：函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，符合題意；函數(shù)，增長(zhǎng)速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)與真實(shí)數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個(gè)函數(shù)是.故選：B.高頻考點(diǎn)二：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（二次模型；分段模型）典型例題例題1．（2023秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)的部分2.5元超過(guò)但不超過(guò)的部分5元超過(guò)的部分7.5元若某戶居民本月交納的水費(fèi)為65元，則此戶居民本月用水量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)用戶的用水量為，繳納的水費(fèi)為元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.令，解得.則此戶居民本月用水量為.故選：A.例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為，的面積為，則函數(shù)的解析式為______．【答案】【詳解】當(dāng)在上時(shí)，即，，.當(dāng)在上時(shí)，即，，，.所以.當(dāng)在上時(shí)，即，.，即..故答案為：例題3．（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）近年來(lái)，中美貿(mào)易摩擦不斷，特別是美國(guó)對(duì)我國(guó)華為的限制，盡管美國(guó)對(duì)華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對(duì)各國(guó)的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而，這并沒(méi)有讓華為卻步．華為在2018年不僅凈利潤(rùn)創(chuàng)下記錄，海外增長(zhǎng)同樣強(qiáng)勁．今年，華為為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)．通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（千部）手機(jī)，需另投入成本萬(wàn)元，且．由市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.8萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完．(1)求出2023年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售額-成本）；(2)2023年產(chǎn)量為多少千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【答案】(1)(2)當(dāng)2023年年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為9000萬(wàn)元【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)2023年年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為9000萬(wàn)元．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知，且，設(shè)，綠地面積為．(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出的定義域；(2)當(dāng)為何值時(shí)，綠地面積最大？并求出最大值．【答案】(1)，定義域?yàn)椋?2)答案見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，，，所以，由題意，解得，所以的定義域?yàn)?；?）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，若，則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；若，則在單調(diào)遞增，所以；綜上，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.2．（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬(wàn)箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬(wàn)箱時(shí)，，若每箱口罩售價(jià)100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤(rùn)=銷售總價(jià)-固定成本-生產(chǎn)成本）(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值是多少（萬(wàn)元）？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300萬(wàn)元.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為850萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y取得最大值，最大值為1300萬(wàn)元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300萬(wàn)元.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象．【答案】(1)(2)作圖見(jiàn)解析【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以（2）解：由（1）可得函數(shù)圖象如下所示：高頻考點(diǎn)三：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（指、對(duì)、冪函數(shù)模型）典型例題例題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度（單位：升/小時(shí)）與液體所處環(huán)境的溫度（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）.若該液體在的蒸發(fā)速度是0.2升/小時(shí)，在的蒸發(fā)速度是0.4升/小時(shí)，則該液體在的蒸發(fā)速度為（

）A．0.5升/小時(shí) B．0.6升/小時(shí) C．0.7升/小時(shí) D．0.8升/小時(shí)【答案】D【詳解】由題意得，兩式相除得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以該液體在的蒸發(fā)速度為0.8升/小時(shí).故選：D.例題2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過(guò)物體的溫度將滿足，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過(guò)物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得：，即，，，由得：，即，解得：，若使物體的溫度為，需要冷卻.故選：C.例題3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售人員的銷售利潤(rùn)不低于10萬(wàn)元時(shí)，按其銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷售人員的銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)其銷售利潤(rùn)的．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，請(qǐng)分別判斷這三個(gè)模型是否符合公司的要求？并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，當(dāng)時(shí)，恒成立）【答案】獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司的要求，理由見(jiàn)解析【詳解】由題意，符合公司要求的模型需同時(shí)滿足：當(dāng)時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③．對(duì)于，易知滿足①，但當(dāng)時(shí)，，不符合公司的要求；對(duì)于，易知滿足①，但當(dāng)時(shí)，，不符合公司的要求；對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而且函數(shù)的最大值，因而滿足①②，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，滿足③，故符合公司的要求．綜上，獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司的要求．例題4．（2023秋·江蘇連云港·高一?？计谀┠成镅芯空哂谠┰诤蟹湃胍恍P眼蓮（其覆蓋面積為），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇.(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】(1)選擇模型符合要求，解析式為(2)【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來(lái)越快，而函數(shù)的值增加的越來(lái)越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來(lái)越快，因此選擇模型符合要求.根據(jù)題意可知時(shí)，時(shí)，，，解得.故該函數(shù)模型的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，由，得，，，即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）車?yán)遄邮且环N富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛(ài)．根據(jù)車?yán)遄拥墓麖酱笮?，可將其從小到大依次分?個(gè)等級(jí)，其等級(jí)與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．若花同樣的錢買到的1級(jí)果比5級(jí)果多3倍，且3級(jí)果的市場(chǎng)銷售單價(jià)為55元/千克，則6級(jí)果的市場(chǎng)銷售單價(jià)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克【答案】A【詳解】由題意可知，解得，由，可得．故選：A.2．（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收.”源于《增廣賢文》，《增廣賢文》是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把式子中的看作是每天的“進(jìn)步”率，一年后的值是；而把式子中的看作是每天的“退步”率，一年后的值是．照此計(jì)算，大約經(jīng)過(guò)多少天“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍？（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．100天 B．108天 C．115天 D．124天【答案】C【詳解】假設(shè)經(jīng)過(guò)天，“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，則可得，所以，所以，即經(jīng)過(guò)天，“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，故選:C3．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）科學(xué)家通過(guò)生物標(biāo)本中某種放射性元素的存量來(lái)估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經(jīng)過(guò)1620年，該元素的存量為原來(lái)的一半），某生物標(biāo)本中該元素的初始存量為，經(jīng)檢測(cè)生物中該元素現(xiàn)在的存量為，（參考數(shù)據(jù)：）請(qǐng)推算該生物距今大約___________年．【答案】3780【詳解】設(shè)放射性元素的存量模型為，由已知，所以，，，設(shè)題中所求時(shí)間為，則，，，，∴，．故答案為：3780.4．（2023秋·山東濟(jì)南·高一統(tǒng)考期末）La'eeb是2022年卡塔爾世界杯足球賽吉祥物，該吉祥物具有非常鮮明的民族特征，阿拉伯語(yǔ)意為“高超的球員”，某中國(guó)企業(yè)可以生產(chǎn)世界杯吉祥物L(fēng)a'eeb，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，投資成本x（千萬(wàn)）與利潤(rùn)y（千萬(wàn)）的關(guān)系如下表x（千萬(wàn)）…2…4…12…y（千萬(wàn)）…0.4…0.8…12.8…當(dāng)投資成本x不高于12（千萬(wàn)）時(shí)，利潤(rùn)y（千萬(wàn)）與投資成本x（千萬(wàn)）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇.(1)當(dāng)投資成本x不高于12（千萬(wàn)）時(shí)，選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)投資成本x高于12（千萬(wàn)）時(shí)，利潤(rùn)y（千萬(wàn)）與投資成本工（千萬(wàn)）滿足關(guān)系，結(jié)合第（1）問(wèn)的結(jié)果，要想獲得不少于一個(gè)億的利潤(rùn)，投資成本x（千萬(wàn)）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)最符合實(shí)際的函數(shù)模型為(2)【詳解】（1）最符合實(shí)際的函數(shù)模型是.若選函數(shù)模型，將點(diǎn)與代入得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，.若選函數(shù)模型，將點(diǎn)與代入得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，綜上可得，最符合實(shí)際的函數(shù)模型為.（2）由題意可知：利潤(rùn)y與投資成本x滿足關(guān)系,要獲得不少于一個(gè)億的利潤(rùn)，即,當(dāng)時(shí)，，即，即因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，解得，又因?yàn)?，所以，綜上可得，,故要想獲得不少于一個(gè)億的利潤(rùn)，投資成本x（千萬(wàn)）的范圍是.高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題典型例題例題1．（多選）（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過(guò)60℃.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測(cè)得這杯茶的溫度分別為80℃，65℃，給出兩個(gè)茶溫T（單位：℃）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間（單位：分鐘，）的函數(shù)模型：①；②.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．選擇函數(shù)模型①B．選擇函數(shù)模型②C．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2分鐘D．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2.5分鐘【答案】AD【詳解】將代入，得；將代入，得.故選擇函數(shù)模型①.由，可得，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待2.5分.故選:AD.例題2．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)擬購(gòu)買一批智能機(jī)器人生產(chǎn)型電子元件，以提高生產(chǎn)效率，降低生產(chǎn)成本.已知購(gòu)買臺(tái)機(jī)器人的總成本（萬(wàn)元）.(1)要使所購(gòu)買的機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)購(gòu)買多少臺(tái)機(jī)器人？(2)現(xiàn)將按（1）所求得的數(shù)量購(gòu)買的機(jī)器人全部投入生產(chǎn)，并安排名工人操作這些機(jī)器人（每名工人可以同時(shí)操作多臺(tái)機(jī)器人）.已知每名工人操作水平無(wú)差異，但每臺(tái)機(jī)器人每日生產(chǎn)型電子元件的個(gè)數(shù)與操作工人人數(shù)有關(guān)，且滿足關(guān)系式：.問(wèn)在引進(jìn)機(jī)器人后，需要操作工人的人數(shù)為何值時(shí)，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，并求這個(gè)最大值.【答案】(1)購(gòu)買120臺(tái)機(jī)器人；(2)當(dāng)大于等于20時(shí)，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，且最大值為19200個(gè).【詳解】（1）由總成本，可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本.因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以要使所購(gòu)機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)購(gòu)買120臺(tái)機(jī)器人.（2）當(dāng)時(shí)，120臺(tái)機(jī)器人的日平均生產(chǎn)量為，所以當(dāng)時(shí)，120臺(tái)機(jī)器人日平均生產(chǎn)量最大值為19200.當(dāng)時(shí)，120臺(tái)機(jī)器人日平均生產(chǎn)量為.所以120臺(tái)機(jī)器人的日平均產(chǎn)量的最大值為19200個(gè).所以當(dāng)大于等于20時(shí)，機(jī)器人日平均生產(chǎn)量達(dá)最大值，且最大值為19200個(gè).例題3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，，．（參考數(shù)據(jù)：）(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型能符合公司要求，并說(shuō)明理由．(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，當(dāng)利潤(rùn)為多少時(shí)，獎(jiǎng)金與利潤(rùn)之比最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)，時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③對(duì)于，易知滿足①；但當(dāng)時(shí)，，不滿足公司的要求,對(duì)于，易知滿足①，當(dāng)時(shí)，，不滿足公司的要求,對(duì)于，易知滿足①，當(dāng)，時(shí)，，滿足②又，時(shí)，由此可知滿足③綜上所述，只有獎(jiǎng)勵(lì)模型：能完全符合公司的要求.（2）由（1）知：符合要求的函數(shù)為，故，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，例題4．（2023秋·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）北京冬奧會(huì)已于月日開幕，“冬奧熱”在國(guó)民中迅速升溫，與冬奧會(huì)相關(guān)的周邊產(chǎn)品也銷量上漲.因可愛(ài)而聞名的冰墩墩更是成為世界頂流，在國(guó)內(nèi)外深受大家追捧.對(duì)某商戶所售的冰墩墩在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的日銷售單價(jià)（元/套）與時(shí)間（被調(diào)查的一個(gè)月內(nèi)的第天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（常數(shù)），冰墩墩的日銷量（套）與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（套）已知第天該商品日銷售收入為元，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③(1)選出你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來(lái)描述銷售量與時(shí)間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)根據(jù)你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入（，）在哪天達(dá)到最低．【答案】(1)模型③最合適，理由見(jiàn)解析；(2)第天達(dá)到最低.【詳解】（1）模型③最合適，理由如下：對(duì)于模型①，為指數(shù)型函數(shù)模型，表格中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)遞增的速度較慢，故模型①不合適；對(duì)于模型②，為二次函數(shù)模型，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，有，與表中數(shù)據(jù)不符，故模型②不合適；對(duì)于模型③，冪函數(shù)型增長(zhǎng)模型滿足表格中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)較慢的遞增速度，將表中數(shù)據(jù)，代入模型③，有，解得，∴，經(jīng)驗(yàn)證，均滿足表中數(shù)據(jù)，因此，使用模型③來(lái)描述銷售量與時(shí)間的關(guān)系最合適.（2）∵第天冰墩墩的日銷售單價(jià)（元/套），∴第天的日銷售收入為（元），∴，∴，由（1）所選模型③，當(dāng)且時(shí)，（元）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴在第天時(shí)，該商品的日銷售收入達(dá)到最低元.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）2022年11月20日，備受全球球迷關(guān)注的第22屆世界杯足球賽如期開幕，全球32支參賽隊(duì)伍，將在64場(chǎng)比賽中爭(zhēng)奪世界足球的最高榮譽(yù)大力神杯！某體育用品商店借此良機(jī)展開促銷活動(dòng)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店每天的銷售收入不低于2萬(wàn)元時(shí)，其純利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）隨銷售收入x（單位：萬(wàn)元）的變化情況如下表所示：x（萬(wàn)元）235y（萬(wàn)元）(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別用模型（且）與建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)已知當(dāng)時(shí)，，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型更合理？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，(2)選用模型更合理，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）若選用，則依題意可得，解得，，，則．若選用，則依題意可得，解得，，，則．（2）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）；對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）；因，所以選用模型更合理．2．（2023秋·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）近年來(lái)，中國(guó)自主研發(fā)的長(zhǎng)征系列運(yùn)載火箭的頻頻發(fā)射成功，標(biāo)志著中國(guó)在該領(lǐng)域已逐步達(dá)到世界一流水平.設(shè)火箭推進(jìn)劑的質(zhì)量為M（單位：t），去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量為m（單位：t），火箭的飛行速度為v（單位：），初始速度為（單位：），已知其關(guān)系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度.假設(shè)，.（參考數(shù)據(jù)：，）.(1)若，當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時(shí)，求相應(yīng)的M；（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）(2)如果希望火箭飛行速度達(dá)到16.7，但火箭起飛質(zhì)量的最大值為2000t，請(qǐng)問(wèn)的最小值為多少？（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】(1)t(2)【詳解】（1）由題意可得：，令，則（t），故當(dāng)火箭飛行速度達(dá)到第三宇宙速度（16.7）時(shí)，相應(yīng)的為t.（2）由題意可得：，令，則，∴，故的最小值為.3．（2023秋·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)?？计谀┪覀冎?，聲音由物體的振動(dòng)產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進(jìn)行傳播．在物理學(xué)中，聲波在單位時(shí)間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強(qiáng)．但在實(shí)際生活中，常用聲音的聲強(qiáng)級(jí)D（分貝）來(lái)度量．為了描述聲強(qiáng)級(jí)與聲強(qiáng)之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過(guò)多次測(cè)定，得到如下數(shù)據(jù)：組別1234567聲強(qiáng)①聲強(qiáng)級(jí)1013.0114.7716.022040②現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．(1)試根據(jù)第1—5組的數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①、②數(shù)據(jù)的值；【答案】(1)(2)①：；②：【詳解】（1）由于的量級(jí)為量級(jí)，而的量級(jí)為量級(jí)，所以與的關(guān)系更接近于對(duì)數(shù)函數(shù)，從而符合實(shí)際的函數(shù)模型，根據(jù)可得；根據(jù)可得，聯(lián)立解得，，故解析式為：（2）令，有，從而，所以①處的數(shù)據(jù)的值為；當(dāng)時(shí)，所以②處的數(shù)據(jù)的值為.4．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┠成锊《狙芯繖C(jī)構(gòu)用打點(diǎn)滴的方式治療“新冠”，國(guó)際上常用普姆克實(shí)驗(yàn)系數(shù)（單位：pmk）表示治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好．元旦時(shí)在實(shí)驗(yàn)用小白鼠體內(nèi)注射一些實(shí)驗(yàn)藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來(lái)越大，二月底測(cè)得治愈效果的普姆克系數(shù)為24pmk，三月底測(cè)得治愈效果的普姆克系數(shù)為36pmk，治愈效果的普姆克系數(shù)y（單位：pmk）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)選擇模型符合要求；該函數(shù)模型的解析式為，，；(2)六月份.【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來(lái)越快，而函數(shù)的值增加的越來(lái)越慢，由于這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來(lái)越大，因此選擇模型符合要求．根據(jù)題意可知時(shí)，；時(shí)，，∴，解得．故該函數(shù)模型的解析式為，，；（2）當(dāng)時(shí)，，元旦治愈效果的普姆克系數(shù)是，由，得，∴，∵，∴，即治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份是六月份．第三部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為22，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為22時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.45，則學(xué)習(xí)率衰減到0.05以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．11 B．22 C．227 D．481【答案】D【詳解】由于，所以，依題意，則，由得，，，，，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為輪.故選：D2．（2022秋·黑龍江雙鴨山·高一校考階段練習(xí)）岡珀茨模型是由岡珀茨（Gompertz）提出的，可作為動(dòng)物種群數(shù)量變化的模型，也可用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種年后的種群數(shù)量近似滿足岡珀茨模型（，當(dāng)時(shí)表示2022年初的種群數(shù)量），經(jīng)過(guò)年后，當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2022年初種群數(shù)量的時(shí)，即將有瀕臨滅絕的危險(xiǎn)，則的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【詳解】根據(jù)題意得時(shí)2022年初種群數(shù)量為，所以，化簡(jiǎn)得，則，又因?yàn)椋缘淖钚≈禐?3.故選：D.3．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì)．組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為，，…，（單位：m2），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，，…，，則組合墻的實(shí)際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值確定：，于是組合墻的實(shí)際隔聲量（單位：dB）為．已知某墻的透射系數(shù)為，面積為20m2，在墻上有一門，其透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲