浙教版八年級下冊數(shù)學舉一反三系列 專題7.6 期末專項復習之特殊平行四邊形十五大必考點（學生版）

專題7.6特殊平行四邊形十五大必考點【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求線段長】 1【考點2根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度】 2【考點3根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積】 3【考點4矩形與折疊問題】 5【考點5根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求線段長】 6【考點6根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求角度】 7【考點7根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求面積】 9【考點8根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求線段長】 11【考點9根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求角度】 12【考點10根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求面積】 14【考點11中點四邊形】 15【考點12特殊四邊形的證明】 17【考點13特殊四邊形的動點問題】 19【考點14特殊四邊形的最值問題】 20【考點15特殊四邊形的存在性問題】 22【考點1根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求線段長】【例1】（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，AE=CF，過點E，F(xiàn)分別作AC的垂線，與邊BC分別交于點G，H．若BG=1,CH=4，則EG+FH=（

）A．41 B．34 C．42 【變式1-1】（2022春·廣東珠?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，AD∥BC，AD與BC之間的距離為4，AB=AD=CD=5，則邊BC的長為______．【變式1-2】（2022春·廣西防城港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形ABCD，延長AB到E，使BE=AB，連接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求證：CD=BE；(2)求證：四邊形BECD是矩形；(3)連接AC，若AD=7，CD=2，求AC【變式1-3】（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)如圖2，M為AD的中點，N為AB的中點，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的長．【考點2根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度】【例2】（2022春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，DF⊥AC于點F，且AE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠BAE:∠EAD=4:5，求∠EAO的度數(shù)．【變式2-1】（2022春·陜西延安·八年級延安市實驗中學?？计谥校┤鐖D，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=BD，∠OAD=30°，求∠OAB的度數(shù)．【變式2-2】（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點E從點A出發(fā)，沿邊AD，DC向點C運動，A，D關(guān)于直線BE的對稱點分別為M，N，連接MN．(1)如圖，當E在邊AD上且DE＝2時，求∠AEM的度數(shù)．(2)當N在BC延長線上時，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關(guān)系，說明理由．(3)當直線MN恰好經(jīng)過點C時，求DE的長．【變式2-3】（2022春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，∠EAO=15°，求∠BEO的度數(shù)．【考點3根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積】【例3】（2022春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM點E，EM=BM，連接DE，若BD=2AB，且DC=5，DN=4，求四邊形DEMN的面積．【變式3-1】（2022春·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM至點E，使EM=BM，連接DE．（1）求證：△AMB≌△CND；（2）若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求四邊形DEMN的面積．【變式3-2】（2022春·貴州遵義·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE＝DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點．(1)求證：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面積．【變式3-3】（2022春·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC上一點，∠DAE的角平分線AF交CD于點G，交BC的延長線于點F，連接EG，△AGE的面積為S．（1）求證：AE＝EF；（2）若EG⊥AF，試探究線段AE，EC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．【考點4矩形與折疊問題】【例4】（2022秋·廣東肇慶·八年級廣東肇慶中學?？计谀┮阎喝鐖D，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點E處，已知AB=6cm，BC=10cm，則CF的長是（A．83 B．2 C．52 【變式4-1】（2022秋·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD，AB=5，AD=3，矩形GBEF是由矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點H為CD邊上一點，現(xiàn)將四邊形ABHD沿BH折疊得到四邊形A′BHD′，當點A′恰好落在EFA．175 B．72 C．185【變式4-2】（2022秋·九年級課時練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，直線DE垂直平分AB，把線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點A落在直線DE上的點F處，聯(lián)結(jié)CF、BF，線段AC、BF交于點G，如果CF//AB，那么【變式4-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=5，AD=6，點P是射線AD上一點，將△ABP沿BP折疊得到△A′BP，點A′恰好落在BC的垂直平分線【考點5根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求線段長】【例5】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠A=60°，點E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點，P為菱形邊上的一點，且△PEF為直角三角形，那么BP的長度為______．【變式5-1】（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學?？计谀┤鐖D，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，則四邊形A．12 B．18 C．24 D．30【變式5-2】（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B，F(xiàn)為圓心，大于12BF的長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接（1）求證：四邊形ABEF是菱形．（2）設AE與BF相交于點O，四邊形ABEF的周長為16，BF＝4，求AE的長和∠C的度數(shù)．【變式5-3】（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）已知，在長方形紙片ABCD中，AB=4，BC=8．將紙片沿對角線BD翻折，點C落在點E處，BE交AD于點F．(1)如圖1，連結(jié)AE．①求證：△ABF≌②求證：AE∥(2)如圖2，將△BDE沿BD翻折回去，則點F正好落在BC邊G處，連結(jié)FG，求FG【考點6根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求角度】【例6】（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接EB，DF．(1)求證：四邊形EBFD為菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度數(shù)．【變式6-1】（2022春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：在數(shù)學課外小組活動中，老師要求大家對“菱形的剪拼”問題進行探究．如圖1，將邊長為4，∠A=45度的菱形紙片ABCD沿著對角線BD剪開，得到△ABD和△B′DC．將△初步探究：（1）“愛心小組”將△B′DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當D再次探究：（2）“勤奮小組”將△B′DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，連接AC，BB′深入探究：（3）“創(chuàng)新小組”將△B′DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3，此時點B，D，B′恰好在一條直線上，延長BA，B′【變式6-2】（2022春·河北邯鄲·八年級校聯(lián)考期末）已知，四邊形ABCO是菱形，延長AO到D點，使OD=OC，連接AC、BO相交于E點，連接CD．（1）求證：∠ACD=90°；（2）過A作AF⊥BC于F點．①已知AD=15，AC=9，求AF的長；②點M是對角線OB上一點，∠BAF=∠D，若△ABM是銳角三角形，求∠BAM的取值范圍．【變式6-3】（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC，BD相交于點O．(1)求邊AB的長；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．【考點7根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求面積】【例7】（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°．點D是邊AB上的一點，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．(1)如圖1，當CD⊥AB時，求證：AC=ED；(2)如圖2，當D是邊AB的中點時，若AB=10，ED=8，求四邊形ADCE的面積．【變式7-1】（2022春·浙江·八年級期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，作CG⊥AB于點G，GF的延長線交CD的延長線于點H．（1）求證：四邊形ABEF是菱形．（2）當AB=5,BF=8時，①求GH的長．②如圖2，CG交BF于點P，記△FGP的面積為S1，△BCP的面積為S2，則【變式7-2】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是對角線，點E、F分別是邊AB、AD上兩個點，且滿足AE＝DF，連接BF與DE相交于點G．（1）如圖1，求∠BGD的度數(shù)；（2）如圖2，作CH⊥BG于H點，求證：2GH＝GB+DG；（3）在滿足（2）的條件下，且點H在菱形內(nèi)部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面積．【變式7-3】（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，四邊形ABCD、CEFG均為正方形．可知BE=DG．【拓展】如圖②，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，且∠A=∠F．求證：BE=DG．【應用】如圖③，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，點E在邊AD上，點G在AD延長線上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面積為8，菱形CEFG的面積是_______．（只填結(jié)果）【考點8根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求線段長】【例8】（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點G．若BC=4,DE=AF=1，則CG的長是_____．【變式8-1】（2022春·天津南開·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=DF=2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為________．【變式8-2】（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD的邊長為2，以AD為一邊向外作等腰直角三角形ADE，則點E到點B的距離為___________．【變式8-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△EAF中，∠A=90°，∠AEF，∠AFE的外角平分線交于點C，過點C分別作直線AB，AD的垂線，B，D(1)【問題發(fā)現(xiàn)】∠ECF=______°（直接寫出結(jié)果，不寫解答過程）．(2)【問題探究】①求證：四邊形ABCD是正方形．②若AF=DF=4，求BE的長．(3)【問題拓展】如圖2，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=4，HR=1，則HQ的長度是______（直接寫出結(jié)果，不寫解答過程）．【考點9根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求角度】【例9】（2022秋·重慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點M是AB上一點，點E是CM的中點，AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．則∠CDF的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【變式9-1】（2022秋·福建泉州·七年級?？计谥校┤鐖D所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則α、β、γ三個角的數(shù)量關(guān)系為（

）A．α+β+γ=90° B．α+β?γ=90° C．α?β+γ=90° D．α+2β?γ=90°【變式9-2】（2022春·全國·八年級期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點P為對角線BD上一動點，點E在射線BC上．

（1）填空：∠PBC=________度；（2）若點E為BC的中點，連接PE、PC，求PE+PC的最小值；（3）若點E是直線AP與射線BC的交點，當△PCE為等腰三角形時，求∠PEC的度數(shù)．【變式9-3】（2022春·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD垂直平分線上的點，點E關(guān)于BD的對稱點是E'，直線DE與直線BE'交于點F．(1)若點E是CD邊的中點，連接AF，則∠FAD＝___°；(2)小明從老師那里了解到，只要點E不在正方形的中心，則直線AF與AD所夾銳角不變．他嘗試改變點E的位置，計算相應角度，驗證老師的說法．①如圖，將點E選在正方形內(nèi)，且△EAB為等邊三角形，求出直線AF與AD所夾銳角的度數(shù)；②請你繼續(xù)研究這個問題，可以延續(xù)小明的想法，也可用其它方法．我選擇___小明的想法；（填“用”或“不用”）并簡述求直線AF與AD所夾銳角度數(shù)的思路．【考點10根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求面積】【例10】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的角平分線交于點G，GE⊥BC于點E，GF⊥AC于點F．(1)求證：四邊形GECF是正方形；(2)若AC=4，BC=3，求四邊形GECF的面積．【變式10-1】（2022秋·江西南昌·九年級期中）如圖，E、F在正方形ABCD的邊上，∠EAF=45（1）△ABG是由△ADE旋轉(zhuǎn)而來，旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是多少度？（2）求證：GF=EF；（3）若BG=2,BF=3，求正方形ABCD的面積．【變式10-2】（2022·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBnCnD【變式10-3】（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點E是正方形ABCD外一點，連接AE、BE和DE，過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為7；④S正方形ABCD＝8+14．則正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點11中點四邊形】【例11】（2022春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A1，B1，C1，D1分別是四邊形ABCD各邊的中點，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中點A3，B3，C3，D3……以此類推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中點An，Bn，Cn，Dn，若四邊形AnBnCnDn的面積為1532，則nA．5 B．6 C．7 D．8【變式11-1】（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┧倪呅蜛BCD的對角線AC，BD交于點O，點M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形ABCD，四邊形MNPQ都是平行四邊形；②若四邊形ABCD是平行四邊形，則MP與NQ交于點O；③若四邊形ABCD是矩形，則四邊形MNPQ也是矩形；④若四邊形MNPQ是正方形，則四邊形ABCD也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【變式11-2】（2022春·福建福州·八年級福州華倫中學?？计谥校┮阎涸诰匦蜛BCD中，AB=6，AD=4．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個頂點E、F、H分別在AD，AB，CD上，DE=1①連接BG，若BG=5，求AF②設AF=m，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式S=3?12m．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH【變式11-3】（2022春·浙江·八年級期中）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、M；（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）若在AB上取一點E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：①判斷此時四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論；②當AE=6，EB=3，求此時四邊形PQMN的周長（結(jié)果保留根號）．【考點12特殊四邊形的證明】【例12】（2022春·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在邊BC、AB上，點G在邊BA的延長線上，且CE=BF=AG．(1)求證：①DE=DG；②DE⊥DG；(2)尺規(guī)作圖：以線段DE、DG為邊作出正方形DEHG（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；(3)連接（2）中的FH，猜想四邊形CEHF的形狀，并證明你的猜想；(4)當CECB=1【變式12-1】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，這是一張三角形紙片，小紅想用這張紙片剪出一個菱形圖案，貼在她制作的手抄報，使∠B為菱形的一個內(nèi)角．(1)請在圖中畫出一個符合要求的菱形，并簡要說明畫圖步驟．(2)根據(jù)你的畫圖步驟，證明你所畫的圖形是一個菱形．【變式12-2】（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）已知正方形ABCD，E是射線AB上一動點，連接EC，點F在直線CD上，且EF=EC，將EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EG，過點C作EG的平行線，交射線AD于點H，連接HG．(1)如圖1，當點E在AB中點時，D，F(xiàn)重合，請判斷四邊形(2)如圖2，當點E在AB延長線上時，補全圖形并回答下列問題：①四邊形HCEG的形狀是否發(fā)生改變，請說明理由；②連接HE，交DC于點M，若MC=5，EF=53，請直接寫出ME【變式12-3】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別為A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n滿足關(guān)系式d?a?c+b+|m﹣n(1)判斷四邊形ABCD的形狀并證明你的結(jié)論．(2)在圖1中，若∠ABC＝60°，BD交y軸于點F，點P為線段FD上一點，連接PA，且點E與點B關(guān)于y軸對稱，連接PE，若PE＝PA，①試求∠APE的度數(shù)；②試求PFBF+PD(3)如圖2，在（2）的條件下，若PE與CD交于點M，且∠CME＝45°，請直接寫出BC+CEBC?CE的值【考點13特殊四邊形的動點問題】【例13】（2022春·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）已知在平面直角坐標系中，四邊形ACBO是矩形，A（a，0）、B（0，b）滿足a?b+a?22=0，P是對角線AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO=PD，DE⊥(1)求a、b的值．(2)當P點運動時，PE的值是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值．(3)若∠OPD=45°，求點D的坐標．【變式13-1】（2022春·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）已知正方形ABCD，M為射線BD上一動點（M與點B，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．(1)當點M在線段BD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)果______；(2)如圖2，當點M在線段BD的延長線上時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；(3)若正方形AMEF的邊長為5，DM=1，求BF的長．【變式13-2】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．(1)如圖1，連接AF、CE，求AF的長；(2)如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為每秒1cm，設運動時間為t秒．①問在運動的過程中，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運動時間t和點Q的速度，若不可能，請說明理由；②若點Q的速度為每秒0.8cm，當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．【變式13-3】（2022春·遼寧沈陽·八年級東北育才學校?？计谥校┌匆蠡卮鹣铝袉栴}發(fā)現(xiàn)問題如圖（1），在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的動點，且∠EAF=45°，易證：EF=DF+BE．（不必證明）(1)類比延伸①如圖（2），在正方形ABCD中，如果點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的動點，且∠EAF=45°則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請寫出證明過程；②如圖（3），如果點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的動點，且∠EAF=45°則EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系是________．（不要求證明）(2)拓展應用：如圖（1），若正方形的ABCD邊長為6，AE=35，求EF【考點14特殊四邊形的最值問題】【例14】（2022秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在長方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，點P在邊BC上，且不與點B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點E．(1)當點P是BC的中點時，求證：△ABP≌△ECP；(2)將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點B′落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長PB′①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；②連接B′C，直接寫出【變式14-1】（2022春·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形OABC，是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10,OC=6，在AB上取一點M使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作B′點，(1)求B(2)求折痕CM所在直線的表達式；(3)求折痕CM上是否存在一點P，使PO+PB'【變式14-2】（2022春·遼寧沈陽·八年級期末）在正方形ABCD中，BD是對角線，直線BD上有一點E（不與B、D重合），連接AE，過點E作EF⊥AE，交直線BC于點F.(1)如圖，當點E在線段BD上時，求證：∠BAE=∠EFC；(2)當AE=CF，且AB=23+2時，直接寫出線段(3)設S=2AE+BE，AB=2，當S取最小值時，直接寫出S2【變式14-3】（2022春·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）在?ABCD