2024版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）思想方法　第3講　分類討論思想38

第3講分類討論思想思想概述分類討論思想是當(dāng)問(wèn)題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答．實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想．方法一由概念、公式、法則、計(jì)算性質(zhì)引起的分類討論概念、定理分類整合即利用數(shù)學(xué)中的基本概念、定理對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，如絕對(duì)值的定義、不等式的轉(zhuǎn)化、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等，然后分別對(duì)每類問(wèn)題進(jìn)行解決．例1(1)(2023·成都模擬)直線l過(guò)點(diǎn)(0,3)與圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0B．3x＋4y－12＝0或4x＋2y＋1＝0C．x＝0D．x＝0或3x＋4y－12＝0思路分析設(shè)直線方程→k存在，l：y＝kx＋3→由圓心到直線l的距離d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.答案D解析將圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝4，則圓心C的坐標(biāo)為(1,1)，半徑為2.當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時(shí)，代入圓的方程得y2－2y－2＝0，解得y1＝1＋eq\r(3)，y2＝1－eq\r(3)，此時(shí)|AB|＝1＋eq\r(3)－(1－eq\r(3))＝2eq\r(3)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由|AB|＝2eq\r(3)，得圓心C到直線l的距離為eq\r(22－\r(3)2)＝1，故eq\f(|k－1＋3|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，故此時(shí)直線的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0，綜上可得，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，a2＝2，an＋2－2an＝1－(－1)n，則下列選項(xiàng)不正確的是()A．{a2n－1}是等比數(shù)列B.eq\i\su(i＝1,5,)(a2i－1＋2)＝－10C．{a2n}是等比數(shù)列D.eq\i\su(i＝1,10,a)i＝52思路分析an＋2－2an＝1－－1n→n為奇，{a2n－1}為等比數(shù)列；n為偶，{a2n}為等比數(shù)列.答案B解析對(duì)于A，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an＋2－2an＝2，所以an＋2＋2＝2(an＋2)，又因?yàn)閍1＝－2，所以a1＋2＝0，所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an＋2＝0，即an＝－2，即{a2n－1}是以－2為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由A知，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an＋2＝0，所以eq\i\su(i＝1,5,)(a2i－1＋2)＝0，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋2－2an＝0，即an＋2＝2an，又因?yàn)閍2＝2，所以eq\f(an＋2,an)＝2，所以{a2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，eq\i\su(i＝1,10,a)i＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝－10＋eq\f(2×1－25,1－2)＝52，即選項(xiàng)D正確．批注涉及數(shù)列中(－1)n的問(wèn)題，一般需分奇、偶討論，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，首項(xiàng)是a1，an是第eq\f(n＋1,2)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，首項(xiàng)是a2，an是第eq\f(n,2)個(gè)偶數(shù)項(xiàng)．規(guī)律方法解題時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，根據(jù)需要對(duì)所有情形分類．設(shè)直線方程需分斜率存在和不存在兩種情況，數(shù)列中含(－1)n需分奇、偶兩種情況，要注意分類討論，要有理有據(jù)、不重不漏．方法二由圖形位置或形狀引起的分類討論圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于對(duì)幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究．例2(多選)(2023·鹽城模擬)已知P是圓O：x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A在x軸上，線段AP的垂直平分線與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的軌跡可以是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線思路分析分類討論點(diǎn)A的位置圓內(nèi)、圓上、圓外→求||QO|－|QA||或|QA|＋|QO|→利用圓錐曲線定義判斷形狀.答案ABC解析當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，如圖(1)，(2)所示，設(shè)AP的中點(diǎn)為B，過(guò)B作AP的垂線交直線OP于Q，連接AQ，則|QP|＝|QA|，則||QO|－|QA||＝|OP|＝2，又|AO|>2，則此時(shí)Q的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線；當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)(非原點(diǎn))時(shí)，如圖(3)所示，此時(shí)|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝2，又|AO|<2，則此時(shí)Q的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓；當(dāng)A在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，如圖(4)所示，此時(shí)B，Q重合，|QO|＝1，則此時(shí)Q的軌跡為以O(shè)為原點(diǎn)，半徑為1的圓；當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，如圖(5)所示，由垂徑定理，可知Q與O重合，此時(shí)Q的軌跡為點(diǎn)O.批注點(diǎn)A在x軸上，但沒(méi)明確是在圓內(nèi)、圓外，還是圓上，所以需分類討論，仔細(xì)審題，理解題意是關(guān)鍵．規(guī)律方法圓錐曲線的形狀、焦點(diǎn)位置不確定時(shí)要分類討論；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化，三角形和平行四邊形的不確定性都要進(jìn)行分類討論．方法三由參數(shù)變化引起的分類討論某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等．解決這類問(wèn)題要根據(jù)需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全．例3已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值是eq\f(3,2)，求a的值；(2)討論f(x)在[1，e]上的最大值．思路分析1求f′x→分a≤1，1<a<e，a≥e討論求最小值→a的值；2討論fx在[1，e]上的單調(diào)性→由單調(diào)性求fx的最大值.解(1)f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)，x>0，若a≤1，則f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝a＝eq\f(3,2)，不滿足題意；若1<a<e，令f′(x)<0，解得1≤x<a，令f′(x)>0，解得a<x≤e，所以函數(shù)f(x)在[1，a)上單調(diào)遞減，在(a，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(a)＝lna＋1＝eq\f(3,2)，解得a＝eq\r(e)，滿足題意；若a≥e，則f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(e)＝1＋eq\f(a,e)＝eq\f(3,2)，解得a＝eq\f(e,2)，不滿足題意，綜上，a＝eq\r(e).(2)由(1)可知若a≤1，則f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，f(x)max＝f(e)＝1＋eq\f(a,e)；若1<a<e，令f′(x)<0，解得1≤x<a，令f′(x)>0，解得a<x≤e，所以函數(shù)f(x)在[1，a)上單調(diào)遞減，在(a，e]上單調(diào)遞增，f(1)＝a，f(e)＝1＋eq\f(a,e)，①當(dāng)1＋eq\f(a,e)≥a即1<a≤eq\f(e,e－1)時(shí)，f(x)max＝f(e)＝1＋eq\f(a,e)，②當(dāng)1＋eq\f(a,e)<a即eq\f(e,e－1)<a<e時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a；若a≥e，則f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)max＝f(1)＝a，綜上，當(dāng)a≤eq\f(e,e－1)時(shí)，f(x)max＝f(e)＝1＋eq\f(a,e)；