大學(xué)文科數(shù)學(xué)課件：函數(shù)

函數(shù)1.1函數(shù)的概念1.2函數(shù)的性質(zhì)1.3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.4初等函數(shù)1.1函數(shù)的概念

1.1.1集合的基本概念

所謂集合，就是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.例如：

(1)某大學(xué)在校生的全體為一集合；

(2)方程x2－3x+2=0的解為一集合；

(3)直線y=2x+1上所有的點(diǎn)為一集合.

其中：(1)和(2)中的元素只有有限個(gè)，這樣的集合叫做有限集；(3)中的元素有無限多個(gè)，這樣的集合叫做無限集.通常情況下，集合用大寫字母(如A、B、C)表示，其元素用小寫字母(如a、b、c)表示.

設(shè)A是一個(gè)集合，如果a是A的一個(gè)元素，則記做

a∈A

如果a不是A的元素，則記做

a∈A

集合中的元素具有唯一性、排他性和無序性.集合一般有兩種表示方法：列舉法和描述法.所謂列舉法,就是把集合中的所有元素都列舉出來.比如由方程x2－3x+2=0的根組成的集合，可表示為

A={1,2}

而描述法則是給出集合中元素所具有的共性，一般用

A={x|x所具有的特征}

來表示.比如滿足方程y=2x+1的點(diǎn)組成的集合，可表示為A={(x,y)|y=2x+1}

還有一些比較特殊的集合，比如不含任何元素的集合，稱為空集，記做Ｏ.如方程x2+1=0的實(shí)數(shù)解集合就是空集.1.1.2集合的關(guān)系與運(yùn)算

定義1.1.1

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，即如果a∈A，則a∈B.那么稱A為B的子集，記做

讀做A包含于B或B包含A.若又有b∈B但b∈A,則稱A真包含于B或B真包含A，記做

定義1.1.2

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果A

B且B

A，則稱集合A與B相等，記做A=B.

定義1.1.3

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由集合A與B的公共元素所構(gòu)成的集合稱為集合A與B的交集，記做

A∩B

即

A∩B={x|x∈A且x∈B}

交集具有以下簡單性質(zhì)：

(1)(A∩B)

A；

(2)(A∩B)

B.

例1.1.1

有直線點(diǎn)集

A={(x,y)|y=2x+1}

和

B={(x,y)|y=－x+4}

則兩條直線的交點(diǎn)構(gòu)成了兩個(gè)集合的交集A∩B={(1,3)}.

定義1.1.4

設(shè)A、B是兩個(gè)集合,由集合A與B的所有元素構(gòu)成的集合稱為集合A與B的并集，記做

A∪B

即

A∪B={x|x∈A或x∈B}

并集具有以下簡單性質(zhì)：

(1)(A∪B)

A；

(2)(A∪B)

B.

例1.1.2{1,2,3,5,7,9}∪{2,4,6,8,9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

定義1.1.5

由所研究對(duì)象的全體構(gòu)成的集合叫做全集，記做Ω.設(shè)A

Ω，那么由Ω中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合叫做集合A在Ω中的補(bǔ)集，記做即

例1.1.3

Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,3,5,7,9}，則A={2,4,6,8}.

集合之間的運(yùn)算滿足以下定律：

（1）交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.

（2）結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.

（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

（4）德·摩根律：1.1.3實(shí)數(shù)集

最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)0,1,2,3,…，其中對(duì)于0的認(rèn)識(shí)要明顯晚于對(duì)其他自然數(shù)的認(rèn)識(shí).全體自然數(shù)的集合稱做自然數(shù)集，記做Ν.在N中我們可以定義加法和乘法.但是當(dāng)利用自然數(shù)進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，自然數(shù)集就不夠用了.于是我們將自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集Z.之后又為了除法的需要發(fā)展出了有理數(shù)集Q.這樣在Q中我們就可以進(jìn)行四則運(yùn)算了.1.1.4區(qū)間

在R的子集中，我們經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的區(qū)間，實(shí)際上就是各種集合.區(qū)間可以是開、閉或半開半閉以及有限或無限的，如圖1.1.1所示.

圖1.1.11.1.5絕對(duì)值

定義1.1.6

設(shè)x∈R，x的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，記做

|x|，其定義為

例如,|5|=5，|－2|=2.絕對(duì)值在幾何上表示的是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.常用絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)如下:1.1.6鄰域

鄰域?qū)嶋H上就是一個(gè)特定的區(qū)間.

定義1.1.7

設(shè)a∈R且δ>0，稱集合

{x||x－a|<δ}

為a的一個(gè)δ鄰域，記做Uδ(a)，其中a叫做鄰域的中心，

δ叫做鄰域的半徑，如圖1.1.2所示.顯然

Uδ(a)={x|a－δ<x<a+δ}圖1.1.21.1.7函數(shù)的概念

定義1.1.8

設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果給定一個(gè)x的取值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x為自變量.x的取值范圍稱做定義域，記做Df;y的值稱做函數(shù)值，其取值范圍稱做值域，記做Rf.

y與x之間的函數(shù)關(guān)系記做

y=f(x)所以所謂的函數(shù)，實(shí)際上類似于一個(gè)機(jī)器，對(duì)于每一個(gè)允許的輸入值都有一個(gè)指定的輸出值.輸入構(gòu)成了函數(shù)的定義域，輸出構(gòu)成了函數(shù)的值域，如圖1.1.3所示.圖1.1.3

例1.1.4

函數(shù)y=2,定義域Df=(－∞,+∞)，值域Rf={2},如圖1.1.4所示.圖1.1.4

例1.1.4

函數(shù)y=2,定義域Df=(－∞,+∞)，值域Rf={2},如圖1.1.4所示.

例1.1.5

圓周-面積函數(shù)A(r)=πr2的定義域是所有可能的半徑的集合，它是全體正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，其值域也是全體正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合.

A在r=3處的值是

A(3)=π×32=9π

即半徑r為3的圓的面積為9π.圖1.1.4

例1.1.6

絕對(duì)值函數(shù)

定義域Df=(－∞,+∞)，值域Rf=［0,+∞),如圖1.1.5所示.圖1.1.5

例1.1.7

符號(hào)函數(shù)也是一個(gè)分段函數(shù)，如圖1.1.6所示.圖1.1.6

例1.1.8

判斷下面函數(shù)是否相同,并說明理由.

(1)y=1與y=sin2x+cos2x；

(2)y=2x+1與x=2y+1.

解(1)雖然這兩個(gè)函數(shù)的表現(xiàn)形式不同，但它們的定義域(－∞,+∞)與對(duì)應(yīng)法則均相同，所以這兩個(gè)函數(shù)相同.

(2)雖然它們的自變量與因變量所用的字母不同,但其定義域(－∞,+∞)和對(duì)應(yīng)法則均相同，所以這兩個(gè)函數(shù)相同.

一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)用解析法表示時(shí)，如果不特別聲明，則函數(shù)的定義域指的就是使f(x)有意義的全體x的集合，通常稱它為自然定義域.

例1.1.9

求函數(shù)的定義域.

解由題設(shè)可知，要使表達(dá)式有意義，4－x2必須大于0，從而

x2<4

因此，－2<x<2，從而定義域?yàn)?－2,2).1.1.8建立函數(shù)關(guān)系

例1.1.10

脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖，其波形如圖1.1.7所示，寫出電壓U與時(shí)間t(t≥0)的函數(shù)關(guān)系式.圖1.1.7

解當(dāng)t∈(τ,+∞)時(shí)，U=0.

所以，U=U(t)是一個(gè)分段函數(shù)，其表達(dá)式為1.2函數(shù)的性質(zhì)

1.2.1有界性

定義1.2.1

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，能夠找到一個(gè)正數(shù)M>0，使得對(duì)于D中所有的x，都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)在

D內(nèi)是有界的.反之，則稱函數(shù)f(x)在D內(nèi)是無界的.

圖1.2.1所示的就是一個(gè)有界函數(shù)的圖像.圖1.2.11.2.2單調(diào)性

我們先看兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1.2.2所示.

從圖1.2.2中可以清晰地看到函數(shù)增減性變化的明顯不同.隨著x的增大，如果函數(shù)圖像是向上爬升或升高的，就是增函數(shù)；如果函數(shù)圖像是下降或下落的，就是減函數(shù).圖1.2.2

定義1.2.2

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，I

D，對(duì)于任意給定的x1、x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，

(1)如果f(x1)<f(x2)，則稱f(x)在I上是單調(diào)遞增的函數(shù)；(2)如果f(x1)>f(x2)，則稱f(x)在I上是單調(diào)遞減的函數(shù).

例1.2.1

證明函數(shù)在(－1,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù).

證在(－1,+∞)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1、x2且x1<x2，則1.2.3奇偶性

奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像具有對(duì)稱性的表征.

定義1.2.3

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域I是一個(gè)對(duì)稱數(shù)集，即x∈I時(shí)，－x∈I.如果對(duì)于任意給定的x∈I，函數(shù)滿足：

(1)f(－x)=－f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；

(2)f(－x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù).

奇和偶的名稱來自x的冪次.如果y是x的奇次冪，如y=x或y=x3，那么它們就是x的奇函數(shù).如果y是x的偶次冪，如y=x2或y=x4，那么它們就是x的偶函數(shù).當(dāng)然，其他一些函數(shù)也有奇偶性，如y=sinx是奇函數(shù)，而y=cosx則是偶函數(shù).

奇函數(shù)圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，而偶函數(shù)圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.這里一定要注意軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱在對(duì)稱方式上的區(qū)別，如圖1.2.3所示.圖1.2.3

例1.2.2

討論下列函數(shù)的奇偶性:

(1)f(x)=x2；

(2)f(x)=x2+1;

(3)f(x)=x；

(4)f(x)=x+1.

解(1)因?yàn)閒(－x)=(－x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函數(shù)；(2)因?yàn)閒(－x)=(－x)2+1=x2+1=f(x)，所以f(x)=x2+1是偶

函數(shù)；

(3)因?yàn)閒(－x)=－x=－f(x)，所以f(x)=x是奇函數(shù)；

(4)因?yàn)閒(－x)=－x+1，－f(x)=－(x+1)=－x－1，所以f(x)=x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，稱之為非奇非偶函數(shù).1.2.4周期性

定義1.2.4

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈R.若存在l>0，對(duì)于任意給定的x∈R,有

f(x+l)=f(x)

則稱f(x)是周期函數(shù)，l為其周期.

如圖1.2.4所示，y=sinx，

y=sin2x等都是周期函數(shù)，它們的最小正周期分別是2π和π.圖1.2.4

1.3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

1.3.1反函數(shù)

例1.3.1

y=ex(x∈R)和y=lnx(x>0)，如圖1.3.1所示.

圖1.3.1

定義1.3.1對(duì)于給定的函數(shù)y=f(x)(x∈X,y∈Y)，如果對(duì)

于Y中的每一個(gè)值y=y0，在X中都有唯一的一個(gè)x=x0，使得f(x0)=y0，我們稱函數(shù)y=f(x)是一一對(duì)應(yīng)的.同時(shí)，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系也確定了一個(gè)y=f(x)的反函數(shù)，記做

x=f－1(y)(y∈Y)這里y=f(x)稱為直接函數(shù)，而x=f－1(y)稱為y=f(x)的反函數(shù).符號(hào)f－1就表示這個(gè)新的函數(shù)關(guān)系.例如圓的面積公式為A=f(r)=πr2(r≥0)，則其反函數(shù)關(guān)系就可以表示成

對(duì)于一個(gè)函數(shù)y=f(x)(x∈X,y∈Y)，它在X上存在反函數(shù)的充要條件是

f(x)在X上是一一對(duì)應(yīng)的.而由于單調(diào)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，并且其反函數(shù)的單調(diào)性和直接函數(shù)的單調(diào)性是一致的.于是就存在反函數(shù)

(x≥0),如圖1.3.2所示.圖1.3.2例1.3.2求函數(shù)的反函數(shù).

解由，解得，改變變量的記號(hào)，即得到所求反函數(shù)為

例1.3.3

求函數(shù)的反函數(shù).

解令

，則，故即從而解得改變變量的記號(hào)，即得到所求反函數(shù)為1.3.2復(fù)合函數(shù)

假定函數(shù)g(x)的某些輸出能夠作為另一個(gè)函數(shù)f(x)的輸入，那么我們就可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)把g和f聯(lián)系在一起，該新函數(shù)的輸入x是g的輸出，而輸出為函數(shù)f［g(x)］.如圖1.3.3所示，函數(shù)f［g(x)］是g和f的復(fù)合函數(shù)，也可以記做

圖1.3.3

定義1.3.2

設(shè)y=f(u)(u∈U)，u=g(x)(x∈X,u∈U1).若

U1

U，則稱f［g(x)］(x∈X)為y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，稱u為中間變量.

例1.3.4

若u=g(x)=x2，f(u)=u－7，求f［g(x)］，并求出

f［g(2)］.

解為求f［g(x)］，我們用g(x)的表達(dá)式代替函數(shù)f(u)=

u－7中的u，即

f［g(x)］=g(x)－7=x2－7

然后將x=2代入上式，即可求出f［g(2)］的值為

f［g(2)］=22－7=－3

例1.3.7

設(shè)，求f(x).

解方法1：令則x2－tx+1=0，取，代入得同理，取可得f(t)=t2－2,所以f(x)=x2－2.方法2：因?yàn)樗詅(x)=x2－2.1.4初等函數(shù)

1.4.1常函數(shù)

函數(shù)y=C(C為常數(shù))叫做常函數(shù).常函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閧C}，圖像是一條平行于x軸的直線，如圖1.4.1所示.圖1.4.11.4.2冪函數(shù)

函數(shù)y=xa(a是常數(shù))叫做冪函數(shù).冪函數(shù)的定義域取決于a的取值，但不論a取何值，函數(shù)y在(0,+∞)上都有定義，并

且函數(shù)圖像都過(1,1)點(diǎn)，如圖1.4.2所示.圖1.4.21.4.3指數(shù)函數(shù)

函數(shù)y=ax(a是常數(shù)且a>0,a≠1)叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+∞).當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.不管a取何值，函數(shù)圖像均過(0,1)點(diǎn),如圖1.4.3所示.圖1.4.3指數(shù)函數(shù)服從指數(shù)運(yùn)算法則：若a>0，b>0，則對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x、y，以下結(jié)果成立:

例1.4.1

具有放射性的原子核在放射出粒子及能量后可變得較為穩(wěn)定，這個(gè)過程稱為衰變.實(shí)驗(yàn)表明某些原子以輻射的方式發(fā)射其部分質(zhì)量，該原子用其剩余物重新組成新元素的原子.例如，放射性碳－14衰變成氮；鐳最終衰變成鉛.若y0是時(shí)刻x=0時(shí)放射性物質(zhì)的數(shù)量，在以后任何時(shí)刻x的數(shù)量為y=y0e－rx，

r>0數(shù)r稱為放射性物質(zhì)的衰減率.對(duì)碳－14而言，當(dāng)x用年份來度量時(shí)，其衰減率r=1.2×10－4.試預(yù)測886年后的碳－14所占的百分比.

解設(shè)碳－14原子核數(shù)量從y0開始，則886年后的剩余

量是

y(886)=y0e(－1.2×10－4)×886≈0.899y0

即886年后的碳－14中約有89.9%的留存，約有10.1%的碳－14衰減掉了.

例1.4.2

某人在2008年欲用1000元投資5年，設(shè)年利率為5%，試分別按單利率、復(fù)利率和連續(xù)復(fù)利率計(jì)算到第5年末，該人應(yīng)得的本利和S.

解按單利率計(jì)算

S=1000(1+0.05×5)=1250（元)

按復(fù)利率計(jì)算

S=1000(1+0.05)5≈1276.28（元）

按連續(xù)復(fù)利率計(jì)算

S=1000e5×0.05≈1284.03（元）表1.4.1為按單利率、復(fù)利率和連續(xù)復(fù)利率計(jì)算從2008年到2012年的本利和.1.4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)y=logax(a

是常數(shù)且

a>0,a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.不管a取何值，函數(shù)圖像均過

(1,0)點(diǎn)，如圖1.4.4所示.圖1.4.4在科學(xué)工程應(yīng)用當(dāng)中，以e為底和以10為底的對(duì)數(shù)極其重要，所以也給它們指定了專門的記號(hào)和名稱：

logex寫做lnx，log10x寫做logx或者lgx.

函數(shù)lnx稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，而logx常稱為普通對(duì)數(shù)函數(shù).由于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax是互為反函數(shù)的，所以我們可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的一些運(yùn)算性質(zhì)，推導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).下面我們不加證明地給出這些性質(zhì)：對(duì)任何實(shí)數(shù)x>0和y>0，有例1.4.3地震的里氏震級(jí)常用對(duì)數(shù)來刻畫,其公式如下：其中:a是監(jiān)聽站以微米計(jì)的地面運(yùn)動(dòng)的幅度;T是地震波以秒計(jì)的周期；B是由于隨離震中的距離增大時(shí)地震波減弱所允許的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)因子.對(duì)監(jiān)聽站10000km處的地震來說，B=6.8.如果記錄的垂直地面運(yùn)動(dòng)為a=10μm而周期T=1s，那么震級(jí)為這種強(qiáng)度的地震在其震中附近會(huì)造成極大的破壞.1.4.5三角函數(shù)

正弦函數(shù)y=sinx，定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋郏?,1］，周期為2π，奇函數(shù)，如圖1.4.5所示.圖1.4.5余弦函數(shù)y=cosx，定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋郏?,1］，周期為2π，偶函數(shù)，如圖1.4.6所示.圖1.4.6正切函數(shù)y=tanx，定義域?yàn)閤∈R且,n∈Z，值域?yàn)镽，周期為π，奇函數(shù)，如圖1.4.7所示.圖1.4.7余切函數(shù)y=cotx，定義域?yàn)閤∈R且x≠nπ,n∈Z，值域?yàn)镽，周期為π，奇函數(shù)，如圖1.4.8所示.圖1.4.8在微積分中，我們還經(jīng)常會(huì)遇到另外兩類三角函數(shù)，其詳細(xì)定義如下.

正割函數(shù)y=secx=1／cosx，定義域?yàn)閤∈R且x≠(2n+1)π/2,n∈Z,值域?yàn)閥≤－1或y≥1，周期為2π，偶函數(shù)，如圖1.4.9所示.圖1.4.9余割函數(shù)y=cscx=1／sinx，定義域?yàn)閤∈R