第八章z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析

第八章z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析8.1引言8.2z變換定義、典型序列的z變換8.3z變換的收斂域8.4逆z變換8.5z變換的基本性質(zhì)8.6z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系8.7利用z變換解差分方程8.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)8.9序列的傅里葉變換（DTFT）8.10離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性教材上冊P181表4-1：一些常用函數(shù)的拉氏變換單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)是一對拉普拉斯變換對，如果用符號來表示一對變換，則h(t)

H(s)顯然，通過對H(s)進行拉普拉斯反變換，即可得到h(t)。更一般的過程是在復(fù)頻域中求得Y(s)=H(s)X(s)，則零狀態(tài)響應(yīng)y(t)即是Y(s)的拉普拉斯反變換。用系統(tǒng)函數(shù)求零狀態(tài)響應(yīng)（起始狀態(tài)為零）

對常系數(shù)微分方程（線性時不變系統(tǒng)），兩邊同時進行拉普拉斯變換變換，可得系統(tǒng)函數(shù)z變換是求解差分方程的工具，類似于拉普拉斯變換；z變換的歷史可以追溯到18世紀；20世紀50~60年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字計算機的研究和實踐，推動了z變換的發(fā)展；70年代引入大學(xué)課程；今后主要應(yīng)用于DSP分析與設(shè)計，如語音信號處理等問題。本章主要討論：z變換的定義、收斂域、性質(zhì)，與傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系；利用z變換解差分方程；利用z平面零極點的分布研究系統(tǒng)的特性。一．引言8.1

引言二．z變換的導(dǎo)出抽樣信號的拉氏變換→離散信號的z變換對取拉氏變換)(stxDA/)(nxk數(shù)字濾波器)(ngkAD/)(tg)(tp)(txOt()txsTT2()()nTtnTx-dOn()nx12三．對z變換式的理解z變換的定義本章著重介紹單邊z變換8.2

z變換的定義、典型序列的z變換也稱洛朗級數(shù)因果序列的雙邊z變換和單邊z變換是等同的一．單位樣值函數(shù)二．單位階躍序列nO)(nd1nO)(nu1123L三．斜變序列已知兩邊同時乘以z-1

，可得（用間接方法求）因此：nO)(nx111-234同理可得n是離散變量，所以對n沒有微積分運算；z是連續(xù)變量，所以對z有微積分運算。四．指數(shù)序列1．右邊序列On1()nuan1-1234On1-2-3-4-上述結(jié)果說明，兩個不同的序列由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的z變換。因此，為了確定z變換所對應(yīng)的序列，不僅要給出序列的z變換式，而且必須同時說明它的收斂域。五．正弦與余弦序列單邊余弦序列同理已知：一．收斂域的定義這一級數(shù)收斂的(或取有限值)所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。根據(jù)級數(shù)理論，該級數(shù)收斂的充分條件是滿足絕對可和條件，對于任意給定的有界序列x(n)

，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的z變換，故在確定z變換時，必須指明收斂域。8.3

z變換的收斂域二．兩種判定法(正項級數(shù)收斂判定法)1．比值判定法若有一個正項級數(shù)如果：

<1：收斂

=1：可能收斂也可能發(fā)散

>1：發(fā)散即令正項級數(shù)的一般項的n次根的極限等于

，如果

<1：收斂

=1：可能收斂也可能發(fā)散

>1：發(fā)散2．根值判定法三．討論幾類序列的z變換收斂域問題：1．有限長序列的收斂域2．右邊序列的收斂3．左邊序列的收斂4．雙邊序列的收斂1.有限長序列

如果n1和n2均為有限值，則當(dāng)序列的非零值區(qū)間定義在n1≤n≤n2時，該序列稱為有限長序列。Z變換實際是一個求和運算，所以有限長序列的收斂域至少應(yīng)包含0<∣z│<∞。當(dāng)n1≥0時，收斂域還應(yīng)包含∣z│=∞；當(dāng)n2

≤0時，收斂域還應(yīng)包含∣z│=0。由當(dāng)時，在的展開式中，只有z的負冪項，故z不能為0，但可以取。當(dāng)時，在的展開式中，只有z的正冪項，故z不能為，但可以取0。當(dāng)時，在的展開式中，既有z的正冪項，也有負冪項，故z既不能為也不能取0。有限長序列的收斂域(ROC,TheRegionofConvergence)是整個Z平面（可能不包括，或）。例8-3-1所以，收斂域為的z平面。

2.右邊序列

右邊序列是有始無終的序列，即n<N1時，x(n)=0。其Z變換為此時，x(n)可用一個自n=0開始的因果序列和一個有限長序列之和(或差)表示，因果序列的收斂域要求R1r-1<1，即r>R1。因此，若N1<0,則R1<∣z│<∞；當(dāng)N1≥0時，∣z│>R1,其收斂域為半徑是R1的圓域外。右邊序列的ROC是某個圓的外部，但可能不包括設(shè)是右邊序列，

由，有若則，則如果，

當(dāng)時,由于展開式中有若干個Z的正冪項，此時不能為。ROC：例8-3-2若該序列收斂，則要求即收斂域為：)Re(z)Im(jz0313.左邊序列

左邊序列是無始有終的序列，即n>N2時，x(n)=0。其Z變換為若N2>0，顯然z不能為0，故0<∣z│<R2；當(dāng)N2≤0時，∣z│<R2,其收斂域為半徑是R2的圓域內(nèi)。左邊序列的ROC是某個圓的內(nèi)部，但可能不包括若，，則

當(dāng)時，由于的展開式中包括有z的負冪項，所以z不能為零。ROC:例8-3-3收斂域為：)Re(z)Im(jz024.雙邊序列

在－∞<n<∞的區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列x(n)稱為雙邊序列。其Z變換為兩個和式同時存在，要求R1<∣z│<R2，其收斂域為一環(huán)狀域。雙邊=左邊+右邊n()nbnx=10<<bLK1n()nbnx=1>bLK1例8-3-4ROC:)Re(z)Im(jzO23/1常用序列的Z變換及其收斂域時間序列Z變換及其收斂域1，整個z平面=四．總結(jié)教材P52表8-1列出了主要的幾類序列的雙邊z變換收斂域?！镉邢揲L序列的ROC為整個z平面（可能除去z=0和z=

）；★右邊序列的ROC為的圓外；★左邊序列的ROC為的圓內(nèi)；

★雙邊序列的ROC為的圓環(huán)。從X(z)恢復(fù)原序列x(n)的運算稱之為z反變換。求z反變換的主要方法有長除法、部分分式法和留數(shù)法。長除法是利用X(z)的分子除以分母，再利用z變換的定義得到x(n)，這種方法雖然簡單，但一般很難得到一個解析表達式（又稱閉式解）。另外，由于實際應(yīng)用中主要為自n=0開始的右邊序列，所以下面將主要介紹收斂域為時的情況。8.4

逆z變換1.圍線積分法（留數(shù)法）復(fù)變函數(shù)中的柯西積分定理為式中C表示在z平面上的一條圍繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的閉合曲線。對單邊z變換而言，收斂域為一圓外域，在收斂域內(nèi)任取一圍線都將包圍所有極點。設(shè)上式兩邊同乘以，再在收斂域內(nèi)取一條閉合曲線作圍線積分，則由于級數(shù)一致收斂，因此可以交換求和與積分的順序，即根據(jù)柯西積分定理，等式右邊的積分只有在n=k時才等于1，故上式即X(z)的圍線積分表達式，也就是求z反變換的表達式。對單邊z變換而言，所有的極點都落在圍線c內(nèi)，因此可以用留數(shù)定理求解。即式中Res表示極點的留數(shù)，zi為X(z)zn-1的極點。對于單極點而言，存在如果zi為一m重極點，則其對應(yīng)項為例8-4-1

求下式的z反變換：解X(z)存在兩個單極點，所以因為這是一個單邊z變換，所以上式中的n的定義域為n≥0，或?qū)憺槔?-4-2

求下面X(z)的z反變換：解當(dāng)n自0變化時，上式的極點是變化的，因此應(yīng)分別情況進行計算。（1）當(dāng)n=0時，存在4個極點，z1=1,z2=0.5,z3=z4=0,其中包含二重極點。所以（2）當(dāng)n=1時，存在3個單極點，z1=1,z2=0.5,z3=0,所以（3）當(dāng)n≥2時，存在兩個單極點，z1=1,z2=0.5,所以上述結(jié)果可以統(tǒng)一表示為

通過以上例題可以看出，由于要求的是X(z)zn-1的留數(shù)，而不是X(z)的留數(shù)，這其中包含一個變化的n，如果X(n)的分子中各項不共同含z的正次冪，在z=0處必有極點增加（相對X(z)的極點而言），這也正是利用留數(shù)法麻煩的地方。因為x(n)的z變換定義為z-1的冪級數(shù)所以，只要在給定的收斂域內(nèi)將X(z)展成冪級數(shù)，級數(shù)的序列就是序列x(n)。z變換式X(z)一般是z的有理函數(shù)，可表示為：直接用長除法進行逆變換（是一個z

的冪級數(shù)）2.冪級數(shù)展開法（長除法）右邊序列的逆z變換：ROC圓外左邊序列的逆z變換：ROC圓內(nèi)例8-4-3例8-4-43.部分分式展開法（1）z變換式的一般形式(注意參照拉式變換)（2）求逆z變換的步驟部分分式對應(yīng)的z反變換部分分式反變換（時）部分分式反變換（時）部分分式反變換（時）例8-4-5

求下面各式的z反變換：（1）（2）解（1）可直接改寫成利用及位移性質(zhì)得為方便，將（2）改寫成所以(3)極點決定部分分式形式對一階極點例8-4-6同理：B＝2

查表收斂域與原函數(shù)的對應(yīng)右右右左左左O[]zRe[]zImj12高階極點（重根）例8-4-7例8-4-8(2)n=0(3)驗證前例用部分分式展開法得到的結(jié)果結(jié)果相同一．線性a,b為任意常數(shù)。ROC：一般情況下，取二者的重疊部分某些線性組合中某些零點與極點相抵消，則收斂域可能擴大。(表現(xiàn)為疊加性和均勻性）8.5

z變換的基本性質(zhì)例8-5-1解：已知并且同理例8-5-2零極點相消，收斂域擴大為整個z平面。教材P62例8-6求序列的z變換。移位：原序列順序不變，只影響在時間軸上的位置。有左移（超前）、右移（延遲）兩種不同情況。1．雙邊z變換的位移性質(zhì)二．位移性nO)(nx4nO)2(-nx4nO)2(+nx411-211-211-2-左移（超前）右移（延遲）根據(jù)雙邊z變換的定義可得證明雙邊z變換的位移性2．單邊z變換的位移性質(zhì)若x(n)為雙邊序列，其單邊z變換為nO()nunx)(4n)()2(nunx-4n)()2(nunx+411-O11-O11-(1)左移位性質(zhì)左移序列減少證明左移位性質(zhì)根據(jù)單邊z變換的定義，可得(2)右移位性質(zhì)而其左移位序列的單邊z變換不變：右移序列增加證明右移位性質(zhì)根據(jù)單邊z變換的定義，可得例8-5-3解:方程兩邊取z變換，利用單邊z變換的右移位性質(zhì)帶入邊界條件y(－1)=0教材P64例8-8已知差分方程表示式邊界條件y(－1)=0，用z變換方法求系統(tǒng)響應(yīng)y(n)。為求逆變換，令易求得例8-5-4

解:方程兩邊取z變換帶入邊界條件整理得三．序列線性加權(quán)(z域微分)共求導(dǎo)m次例8-5-5

解：四．序列指數(shù)加權(quán)同理證明：（z域尺度變換）例8-5-6解：收斂域：同理：五．初值定理推理x(1)＝？證明初值定理例8-5-7解：六．終值定理證明

因為取極限得初值定理和終值定理常用來校驗z變換的正確性，同時也可以由z變換式反求初值或終值。無無有，1有，0例題終值存在的條件

(1)X(z)的極點位于單位圓內(nèi)，收斂半徑小于1，有終值;例：

，終值為0(2)若極點位于單位圓上，只能位于點，并且是一階極點時。

注意：和系統(tǒng)穩(wěn)定性條件區(qū)別，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件只有第一條。例：u(n)，終值為1七．時域卷積定理收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分即描述：兩序列在時域中的卷積的z變換等效于在z域中兩序列z變換的乘積。注意：如果在某些線性組合中某些零點與極點相抵消，則收斂域可能擴大。證明時域卷積定理因為

所以例8-5-8解：教材P69例8-11abO()zRe()zImj收斂域由Y(z)求y(n)八．序列相乘（z域卷積定理）自閱回顧：傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系8.6

z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系代入比較一．z平面與s平面的映射關(guān)系s平面z平面幾種情況（1）s平面的原點，z平面，即。左半平面虛軸右半平面左向右移單位圓內(nèi)單位圓上單位圓外半徑擴大（2）（3）（4）z~s映射不是單值的。二．z變換與拉氏變換表達式的對應(yīng)注意：連續(xù)時間信號的突變點函數(shù)值與對應(yīng)的序列樣值有區(qū)別。容易求得，它的拉式變換為借助模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器解：例8-6-1教材P78例8-14解：已知例8-6-2教材P78例8-15注意跳變值

當(dāng)滿足這一抽樣的時候，才能通過上面的方法，建立連續(xù)信號的拉式變換與離散序列z變換之間的關(guān)系連續(xù)單邊指數(shù)信號離散單邊指數(shù)序列序言描述離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程求解差分方程是我們分析離散時間系統(tǒng)的一個重要途徑。求解線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法：時域方法——第七章中介紹，煩瑣z變換方法8.7

用z變換解差分方程(1)左移位性質(zhì)(2)右移位性質(zhì)(重要應(yīng)用)而左移位序列的單邊z變換不變。例8-7-1解：方程兩端取z變換解：已知系統(tǒng)框圖

列出系統(tǒng)的差分方程。求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。

（1）列差分方程，從加法器入手

例8-7-2（2）差分方程兩端取z變換，利用右移位性質(zhì)已知代入整理8.8

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對系統(tǒng)特性的影響 確定單位樣值響應(yīng) 穩(wěn)定性 因果性只與系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)、結(jié)構(gòu)有關(guān)，描述了系統(tǒng)的特性。一．單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)1．定義線性時不變離散系統(tǒng)由線性常系數(shù)差分方程描述，一般形式為上式兩邊取z變換得激勵為因果序列系統(tǒng)處于零狀態(tài)2．h(n)和H(z)為一對z變換●系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：●因此：x(n))(nhyzs(n)例8-8-1則解：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)在零狀態(tài)條件下，對差分方程兩邊取單邊z變換已知離散系統(tǒng)的差分方程為：激勵教材P86例8-19二．系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對系統(tǒng)特性的影響1．由零極點分布確定單位樣值響應(yīng)展成部分分式：（假設(shè)無重根）的極點，可以是不同的實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，決定了的特性。其規(guī)律可能是指數(shù)衰減、上升，或為減幅、增幅、等幅振蕩。:與H(z)的零點、極點分布都有關(guān)。OzRezjIm1+1-s平面z平面極點位置h(t)特點極點位置h(n)特點虛軸上等幅單位圓上等幅原點時

左半平面衰減單位圓內(nèi)減幅右半平面增幅單位圓外增幅利用z～s平面的映射關(guān)系2．離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于穩(wěn)定系統(tǒng)，只要輸入是有界的，輸出必定是有界的（BIBO)。(2)穩(wěn)定性判據(jù)(1)定義：判據(jù)1：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：單位樣值響應(yīng)絕對可和。判據(jù)2：對于因果系統(tǒng)(n>0)，其穩(wěn)定的充要條件為：

H(z)的全部極點應(yīng)落在單位圓之內(nèi)。即收斂域應(yīng)包括單位圓在內(nèi):即R1≥1，也就是說H(z)的全部極點應(yīng)落在單位圓內(nèi)。(3)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的比較單位圓沿虛軸臨界穩(wěn)定的極點含單位圓的圓外含虛軸的右半平面收斂域H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)H(s)的極點全部在左半平面極點系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)3．系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)因果性的判斷方法：z域：收斂域在圓外輸出不超前于輸入例8-8-2下面方程所描述的系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)？解：輸出未超前于輸入，所以是因果系統(tǒng)。教材P86例8-19例8-8-3解：不穩(wěn)定系統(tǒng)

從時域判斷因果系統(tǒng)

從z域判斷極點在單位圓上，收斂域不包括單位圓→不穩(wěn)定（邊界穩(wěn)定）。h(n)為右邊序列，收斂域為圓外，為因果系統(tǒng)。例8-8-4LTI系統(tǒng)，，判斷因果性、穩(wěn)定性。注意：對于因果系統(tǒng)，極點在單位圓內(nèi)穩(wěn)定。②從時域判斷：不穩(wěn)定③從z域判斷：收斂域，極點在處，是非因果系統(tǒng)，極點在單位圓內(nèi)也不穩(wěn)定。①從時域判斷：不是因果系統(tǒng)例8-8-5解：分別取z變換系統(tǒng)框圖如下，求H(z),h(n)。方法：設(shè)中間序列w(n)列差分方程例8-8-6解：

分子分母同除以z的最高次冪畫出系統(tǒng)的框圖為：一、序列的傅里葉變換類似于連續(xù)時間信號存在傅里葉級數(shù)和傅里葉變換一樣，離散時間信號也存在傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。而且，從一般意義上講，周期序列存在所謂離散傅里葉級數(shù)，而非周期序列存在傅里葉變換。一個離散的非周期序列的z變換為如果X(z)的收斂域包含單位圓，令，則這里θ是極坐標(biāo)的極角，以2π為其自然周期，稱之為數(shù)字角頻率。將上式兩端同乘以ejθk而后積分得8.9

序列的傅里葉變換（DTFT)

定義方法1由函數(shù)的正交性知上式中的積分僅當(dāng)n=k時等于2π，而n≠k時，積分為零。故式一和式二構(gòu)成一對變換對，式一稱之為序列的傅里葉正變換，式二稱之為序列的傅里葉反變換。z取在單位圓上，意味著序列滿足絕對可和，這是序列存在傅里葉變換的條件。數(shù)字角頻率θ不像連續(xù)時間信號中的ω那樣具有直觀的物理意義，但在某種情況下二者是有聯(lián)系的。如果對連續(xù)信號ejωt以等間隔T進行采樣，將得到離散信號ejωTn，這相當(dāng)于令θ=ωT時的情況。因此，θ的單位是弧度而不是弧度/秒，但由ωt對應(yīng)θn的形式，習(xí)慣上仍稱之為數(shù)字角頻率。由式一可以看出，X(e

jθ)是變量θ的連續(xù)周期函數(shù)，X(e

jθ)稱之為序列的頻譜。序列的頻譜不像連續(xù)信號的頻譜那樣具有直觀的物理意義，而且式二也僅僅是各數(shù)字頻率分量合成序列的一種數(shù)學(xué)表達式。例8-9-1

已知序列求此序列的頻譜。解如果N=8，則其幅度譜為定義方法2DTFT:Discrete-timeFouriertransform為研究離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作準備，從抽樣信號的傅里葉變換引出：OTT2T3tT-()()ttxTd

O123n1-()nx也稱為：離散時間系統(tǒng)的傅里葉變換DTFT注意：不是離散傅里葉變換DFT！與z變換的關(guān)系sResImjO)j(w=s虛軸zRezImjOw1+)e(jw=z單位圓逆變換表示二、序列的傅里葉變換的基本性質(zhì)

若設(shè)a，b為任意常數(shù)，且令1.線性：2.序列的位移：時域位移對應(yīng)頻域的相移3.頻域的位移：頻域位移對應(yīng)時域的調(diào)制4.序列的線性加權(quán)：時域的線性加權(quán)對應(yīng)頻域微分5.序列的反褶：時域反褶對應(yīng)頻域也反褶6.奇偶虛實性：若x(n)為實序列，其實部和虛部分別為7.時域卷積定理：時域卷積對應(yīng)頻域相乘8.頻域卷積定理：時域相乘對應(yīng)頻域卷積9.帕塞瓦爾定理：也稱為能量定理，序列的總能量等于其傅里葉變換模平方在一個周期內(nèi)積分取平均，即時域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。三．傅氏變換、拉氏變換、z變換的關(guān)系1.

三種變換的比較2.頻率的比較3.s平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換4.z平面單位圓上的z變換即為序列的傅氏變換（DTFT）1．三種變換的比較變換名稱傅里葉變換拉普拉斯變換z變換信號類型變量2．頻率的比較模擬角頻率，量綱：弧度/秒；數(shù)字角頻率，量綱：弧度；是周期為的周期函數(shù)關(guān)系：3．s平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換4.

z平面單位圓上的z變換即為序列的傅氏變換（DTFT）一．離散系統(tǒng)頻響特性的定義正弦穩(wěn)態(tài)（不同正弦序列作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）系統(tǒng)對不同頻率的輸入，產(chǎn)生不同的加權(quán)，這就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。8.10

離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性()nx()nyzs()zH離散系統(tǒng)穩(wěn)定的因果()nxnOω()1sinθnωA+ωθ1A()nyzsnOω()2sinθnωB+ωθ2B由系統(tǒng)函數(shù)得到頻響特性輸出對輸入序列的相移離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的z變換即為傅氏變換，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性:輸出與輸入序列的幅度之比：幅頻特性：相頻特性例8-10-1已知離散時間系統(tǒng)的框圖如右圖，求系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性。解：系統(tǒng)的差分方程設(shè)系統(tǒng)為零狀態(tài)的，方程兩邊取z變換系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性幅頻特性相頻特性頻率響應(yīng)特性曲線圖(1)幅頻特性曲線圖(2)相頻曲線Oωππ2π2-LL()ωHje1Oωππ2π2-LL2π()ωjj通過本征函數(shù)透視系統(tǒng)的頻響特性為輸入序列的加權(quán)，體現(xiàn)了系統(tǒng)對不同輸入信號的處理功能。是在單位圓上的動態(tài)，取決于系