人教版九年級數(shù)學(xué)21.2.2《公式法（1）》名師教案

/21.2.2公式法第一課時〔王鵬鵬〕一、教學(xué)目標(biāo)〔一〕學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.2.掌握公式結(jié)構(gòu),知道使用公式前先將方程化為一般形式,通過判別式判斷根的情況.〔二〕學(xué)習(xí)重點掌握一元二次方程的根的判別式．〔三〕學(xué)習(xí)難點理解求根公式的推導(dǎo)過程及判別公式的應(yīng)用．二、教學(xué)設(shè)計〔一〕課前設(shè)計預(yù)習(xí)任務(wù)求根公式解方程的一般步驟：1、把方程化成一般形式,并寫出a,b,c的值．2、求出的值．3、代入求根公式:,(a≠0,b2-4ac≥0)4、寫出方程的解：預(yù)習(xí)自測1.一般地,對于一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕,當(dāng)b2-4ac≥0時,它的根是_____,當(dāng)b2-4ac<0時,方程_________．【知識點】求根公式【解題過程】當(dāng)b2-4ac≥0時,x=,當(dāng)b2-4ac<0時,無實數(shù)根【思路點撥】一元二次方程的求根公式．【答案】x=,無實數(shù)根2.方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有兩個相等的實數(shù)根,那么有________,假設(shè)有兩個不相等的實數(shù)根,那么有_________,假設(shè)方程無解,那么有__________．【知識點】一元二次方程的根的情況．【解題過程】b2-4ac=0,b2-4ac>0,b2-4ac<0【思路點撥】一元二次方程的求根公式適用條件．【答案】b2-4ac=0,b2-4ac>0,b2-4ac<03.不解方程,判定2x2-3=4x的根的情況是______〔填“兩個不等實根〞或“兩個相等實根或沒有實根〞〕【知識點】一元二次方程的求根公式．【解題過程】原方程可化為【思路點撥】一元二次方程的求根公式【答案】有兩個不等實根4.以下一元二次方程沒有實數(shù)根的是〔〕A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0【知識點】根的判別式．【解題過程】解：A.Δ=22﹣4×1×1=0,方程有兩個相等實數(shù)根,此選項錯誤；B.Δ=12﹣4×1×2=﹣7＜0,方程沒有實數(shù)根,此選項正確；C.Δ=0﹣4×1×〔﹣1〕=4＞0,方程有兩個不等的實數(shù)根,此選項錯誤；D.Δ=〔﹣2〕2﹣4×1×〔﹣1〕=8＞0,方程有兩個不等的實數(shù)根,此選項錯誤；【思路點撥】求出每個方程的根的判別式,然后根據(jù)判別式的正負(fù)情況即可作出判斷．【答案】B．〔二〕課堂設(shè)計1.知識回憶用配方法解一元二次方程的步驟是：〔1〕化二次項系數(shù)為1——兩邊同除以二次項的系數(shù)；〔2〕移項——將含有的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程的右邊；〔3〕方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；〔4〕將原方程變成的形式；〔5〕判斷右邊代數(shù)式的符號,假設(shè),可以直接開方求解；假設(shè)原方程無解．教師引導(dǎo)學(xué)生回憶配方法解一元二次方程的根本思路及根本步驟,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊．2.問題探究探究一探索一元二次方程的求根公式●活動①復(fù)習(xí)舊知用配方法解以下方程：解：〔4〕移項得到6x2-7x=-1,二次項系數(shù)化為1,得到配方得到x2-x+〔〕2=-+〔〕2寫成〔x+m〕2=n形式得到〔x-〕2=,直接開平方,得到x-=±,教師問：為什么有的方程有兩個不等的實數(shù)根？有的方程有兩個相等的實數(shù)根,有的方程沒有實數(shù)根呢？學(xué)生答：當(dāng)被開方數(shù)大于0的時候有兩個不等的實數(shù)根；當(dāng)被開方數(shù)等于0的時候有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)被開方數(shù)小于0的時候沒有實數(shù)根．【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在用配方法的根底上解一元二次方程,探索出方程的根的情況．●活動=2\*GB3②以舊引新問題1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕轉(zhuǎn)化為〔x+m)2=n的形式嗎？說明：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程,讓學(xué)生分組討論交流,達成共識,最后化成〔x+)2=∵a≠0,方程兩邊都除以a,得x2+移項,得x2+配方,得x2+即〔x+問題2：當(dāng)b2_4ac≥0,且a≠0時,大于等于零嗎？教師讓學(xué)生思考,分析,發(fā)表意見,得出結(jié)論：當(dāng)b2-4ac≥0時,因為a≠0,說以4a2＞0,從而得出問題3：在問題2的條件下直接開平方,你得到了什么？讓學(xué)生討論可得x+說明：假設(shè)有必要可讓學(xué)生討論為什么成立.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在配方法的根底上解一元二次方程,進而探索出配方法．并學(xué)生探索出公式法的使用條件．探究二證明一元二次方程的求根公式.★▲●活動①大膽猜測,探究新知由問題1,問題2,問題3,你能得出什么結(jié)論？讓學(xué)生討論,交流,從中得出結(jié)論,當(dāng)b2-4ac≥0時,一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0〕的根為x+,即x=由以上研究結(jié)果得到了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0〕的求根公式：x=〕,這個公式就稱為“求根公式〞．利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．〔1〕求根公式〔b2-4ac≥0〕是專指一元二次方程的求根公式,b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕求根公式的重要條件．〔2〕用公式法〔求根公式〕解一元二次方程,實際上就是給出a、b、c的數(shù)值〔或表示式〕,然后對代數(shù)式進行求值,由于這樣的計算比擬復(fù)雜,所以提醒學(xué)生計算時注意a、b、c的符號．【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生建立用公式法解一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．●活動=2\*GB3②集思廣益,探究一元二次方程解的情況老師問：當(dāng)b2-4ac≥0,方程才有實數(shù)根,那么什么時候有兩個相等實數(shù)根？什么時候有兩個不等實數(shù)根？什么時候沒有實數(shù)根呢？,有兩個相等實數(shù)根；,有兩個不等實數(shù)根；,沒有實數(shù)根．一般的,式子叫做一元二次方程根的判別式,通常用希臘字母表示它,即【設(shè)計意圖】將公式法的公式進行拓展,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和知識遷移能力．探究三利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況.★▲●活動①用根的判別式判斷方程解的個數(shù)例1.以下一元二次方程中,沒有實數(shù)根的是〔〕A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0【知識點】根的判別式．【解題過程】解：A∵Δ=25﹣4×2×4=﹣7＜0,∴方程沒有實數(shù)根,故本選項正確；B∵Δ=36﹣4×1×9=0,∴方程有兩個相等的實數(shù)根,故本選項錯誤；C∵Δ=16﹣4×5×〔﹣1〕=36＞0,∴方程有兩個不等的實數(shù)根,故本選項錯誤；D∵Δ=16﹣4×1×3=4＞0,∴方程有兩個不等的實數(shù)根,故本選項錯誤；【思路點撥】此題考查了根的判別式,一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：〔1〕Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；〔2〕Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；〔3〕Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．【答案】A練習(xí)1.以下方程有實數(shù)根的是〔〕A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣6x+10=0 D．x2﹣x+1=0【知識點】根的判別式【解題過程】解：A、Δ=b2﹣4ac=(-1)2﹣4×1×〔﹣1〕=5＞0,那么方程有實數(shù)根．故正確；B、Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0,那么方程無實數(shù)根,故錯誤；C、Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0,那么方程無實數(shù)根,故錯誤；D、Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0,那么方程無實數(shù)根,故錯誤．應(yīng)選A．【思路點拔】判斷上述方程的根的情況,只要看根的判別式Δ=b2﹣4ac的值的符號就可以了．一元二次方程有實數(shù)根即判別式大于或等于0．總一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：〔1〕Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；〔2〕Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；〔3〕Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．【答案】A例2.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是〔〕A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【知識點】根的判別式【解題過程】解：∵a=1,b=﹣4,c=4,∴Δ=16﹣16=0,∴方程有兩個相等的實數(shù)根．應(yīng)選C．【思路點撥】要判斷方程x2﹣4x+4=0的根的情況就要求出方程的根的判別式,然后根據(jù)判別式的正負(fù)情況即可作出判斷．【答案】C練習(xí)2.關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,以下說法正確的選項是〔〕A．方程有兩個相等的實數(shù)根 B．方程有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【知識點】根的判別式【解題過程】解：∵Δ=42﹣4×3×〔﹣5〕=76＞0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．【思路點撥】先求出Δ的值,再判斷出其符號即可【答案】B【設(shè)計意圖】根的判別式的應(yīng)用：判斷方程的解的個數(shù)．●活動=2\*GB3②用根的判別式根據(jù)方程解的個數(shù)判斷系數(shù)例3.關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0,不管m為何實數(shù),方程總有兩個不相等的實數(shù)根,求m的取值范圍．【知識點】根的判別式【解題過程】解：由題意有Δ=〔2m﹣1〕2﹣4m20,解得,∴實數(shù)m的取值范圍是.【思路點撥】假設(shè)一元二次方程有兩實數(shù)根,那么根的判別式Δ=b2﹣4ac0,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍.【答案】練習(xí)3.〔1〕假設(shè)關(guān)于x的方程x2+x﹣a+=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜2【知識點】根的判別式【解題過程】解：根據(jù)題意得Δ=12﹣4〔﹣a+〕＞0,解得a＞2．【思路點撥】根據(jù)判別式的意義得到Δ=12﹣4〔﹣a+〕＞0,然后解一元一次不等式即可．【答案】C練習(xí)3.〔2〕假設(shè)關(guān)于x的方程有實數(shù)根,那么k的取值范圍為〔〕A．k≥0 B．k＞0 C．k≥ D．k＞【知識點】根的判別式【解題過程】解：∵關(guān)于x的方程有實數(shù)根,∴Δ=b2﹣4ac=〔﹣3〕2+4=9k+4≥0,解得：k≥,又∵方程中含有∴k≥0,故此題選A．【思路點撥】假設(shè)一元二次方程有實數(shù)根,那么根的判別式Δ=b2﹣4ac≥0,建立關(guān)于k的不等式,求出k的取值范圍．還要根據(jù)二次根式的意義可知k≥0,然后確定最后k的取值范圍．【答案】A例4.一元二次方程〔1﹣k〕x2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么k的取值范圍是〔〕A．k＞2 B．k＜2且k≠1 C．k＜2 D．k＞2且k≠1【知識點】根的判別式【解題過程】解：∵a=1﹣k,b=﹣2,c=﹣1,一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ=b2﹣4ac=22﹣4×〔1﹣k〕×〔﹣1〕＞0,解得k＜2,∵〔1﹣k〕是二次項系數(shù),不能為0,∴k≠1且k＜2．應(yīng)選B．【思路點拔】在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中,必須滿足以下條件：〔1〕二次項系數(shù)不為零；〔2〕在有不相等的實數(shù)時下必須滿足Δ=b2﹣4ac＞0．【答案】B練習(xí)4.關(guān)于x的方程kx2﹣3x+2=0有兩個實數(shù)根,那么k的取值范圍為〔〕A． B．k＜ C．k＜且k≠0 D．且k≠0【知識點】根的判別式【解題過程】解：由題意得：9﹣4k×2≥0；k≠0,∴k≤,且k≠0,應(yīng)選D．【思路點拔】讓△=b2﹣4ac≥0,且二次項的系數(shù)不為0保證此方程為一元二次方程．【答案】D【設(shè)計意圖】根的判別式的應(yīng)用：根據(jù)判斷方程的解的個數(shù)判斷系數(shù)大?。窕顒?3\*GB3③根的判別式的綜合應(yīng)用例5．關(guān)于x的一元二次方程x2+2〔k﹣1〕x+k2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根．〔1〕求實數(shù)k的取值范圍；〔2〕0可能是方程的一個根嗎？假設(shè)是,請求出它的另一個根；假設(shè)不是,請說明理由．【知識點】根的判別式,解一元二次方程【解答】解：〔1〕∵Δ=[2〔k﹣1〕]2﹣4〔k2﹣1〕=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8,又∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴﹣8k+8＞0,解得k＜1,即實數(shù)k的取值范圍是k＜1；〔2〕假設(shè)0是方程的一個根,那么代入原方程得02+2〔k﹣1〕?0+k2﹣1=0,解得k=﹣1或k=1〔舍去〕,即當(dāng)k=﹣1時,0就為原方程的一個根,此時原方程變?yōu)閤2﹣4x=0,解得x1=0,x2=4,所以它的另一個根是4．【思路點撥】〔1〕方程有兩個不相等的實數(shù)根,必須滿足Δ=b2﹣4ac＞0,由此可以得到關(guān)于k的不等式,然后解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍；〔2〕利用假設(shè)的方法,求出它的另一個根．【答案】〔1〕k＜1；〔2〕0是該方程的根,它的另一個根為4.練習(xí)5.閱讀材料并答復(fù)以下問題．求一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根〔用配方法〕．解：ax2+bx+c=0,∵a≠0,∴x2+x+=0,第一步移項得：x2+x=﹣,第二步兩邊同時加上〔〕2,得x2+x+〔〕2=﹣+〔〕2,第三步整理得：〔x+〕2=,直接開方得x+=±,第四步∴x=,∴x1=,x2=,第五步上述解題過程是否有錯誤？假設(shè)有,說明在第幾步,指明產(chǎn)生錯誤的原因,寫出正確的過程；假設(shè)沒有,請說明上述解題過程所用的方法．【知識點】解一元二次方程﹣公式法．【解題過程】解：有錯誤,在第四步．錯誤的原因是在開方時對b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒有進行討論．正確步驟為：〔x+〕2=,①當(dāng)b2﹣4ac≥0時,x+=±,x+=±,x=,∴x1=,x2=．②當(dāng)b2﹣4ac＜0時,原方程無解．【思路點拔】①檢查原題中的解題過程是否有誤：在第四步時,在開方時對b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒有進行討論；②更正：分類討論b2﹣4ac≥0和b2﹣4ac＜0時,原方程根的情況．【答案】①當(dāng)b2﹣4ac≥0時,∴x1=,x2=．②當(dāng)b2﹣4ac＜0時,原方程無解．例6.設(shè)m為整數(shù),且4＜m＜40,方程x2﹣2〔2m﹣3〕x+4m2﹣14m+8=0有兩個不相等的整數(shù)根,求m的值及方程的根．【知識點】解一元二次方程﹣公式法．【解題過程】解：解方程x2﹣2〔2m﹣3〕x+4m2﹣14m+8=0,得,∵原方程有兩個不相等的整數(shù)根,∴2m+1為完全平方數(shù),又∵m為整數(shù),且4＜m＜40,2m+1為奇數(shù)完全平方數(shù),∴2m+1=25或49,解得m=12或24．∴當(dāng)m=12時,,x1=26,x2=16；當(dāng)m=24時,．【思路點拔】根據(jù)求根公式可知：x==〔2m﹣3〕±,根據(jù)4＜m＜40可知m的值為12或24,再把m值代入求解即可．【答案】m的值為12或24；當(dāng)m=12時,x1=26,x2=24,當(dāng)m=24時,x1=52,x2=38.練習(xí)6.關(guān)于x的一元二次方程x2+〔2m﹣1〕x+m2=0有兩個實數(shù)根x1和x2．〔1〕求實數(shù)m的取值范圍；〔2〕當(dāng)x12﹣x22=0時,求m的值．【知識點】根的判別式、解一元二次方程﹣公式法．【解題過程】解：〔1〕由題意有Δ=〔2m﹣1〕2﹣4m2≥0,解得,∴實數(shù)m的取值范圍是；〔2〕由兩根關(guān)系,得x1+x2=﹣〔2m﹣1〕,x1?x2=m2,由x12﹣x22=0得〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕=0,假設(shè)x1+x2=0,即﹣〔2m﹣1〕=0,解得,∴不合題意,舍去,假設(shè)x1﹣x2=0,即x1=x2∴Δ=0,解得m=,由〔1〕知,故當(dāng)x12﹣x22=0時,．【思路點撥】〔1〕假設(shè)一元二次方程有兩實數(shù)根,那么根的判別式△=b2﹣4ac≥0,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍；〔2〕由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；當(dāng)x1+x2=0時,運用兩根關(guān)系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有兩個相等的實根,Δ=0,據(jù)此即可求得m的值．【答案】〔1〕．〔2〕【設(shè)計意圖】根的判別式的綜合應(yīng)用．3.課堂總結(jié)知識梳理1.本節(jié)課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根,推出了一元二次方程的求根公式,并按照公式法的步驟解一元二次方程．2.求根公式是一元二次方程的專用公式,只有在確定方程是一元二次方程時才能使用,同時,求根公式也適用于解任何一元二次方程,是常用而重要的一元二次方程的萬能求根公式．重難點歸納〔1〕用求根公式解方程的一般步驟：1、把方程化成一般形式,并寫出a,b,c的值．2、求出b2-4ac的值．3、代入求根公式:(a≠0,b2-4ac≥0)4、寫出方程的解：x1=?,x2=?〔2〕公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0〔3〕,有兩個相等實數(shù)根；,有兩個不等實數(shù)根；,沒有實數(shù)根.〔三〕課后作業(yè) 根底型自主突破1.以下一元二次方程中有兩個相等實數(shù)根的是〔〕A．2x2﹣6x+1=0 B．3x2﹣x﹣5=0 C．x2+x=0 D．x2﹣4x+4=0【知識點】根的判別式．【解題過程】解：A、∵Δ=b2﹣4ac=〔﹣6〕2﹣4×2×1=28＞0,∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根；B、∵Δ=b2﹣4ac=〔﹣1〕2﹣4×3×〔﹣5〕=61＞0,∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根；C、∵Δ=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0,∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根；D、∵Δ=b2﹣4ac=〔﹣4〕2﹣4×1×4=0,∴該方程有兩個相等的實數(shù)根．【思路點撥】由根的判別式為Δ=b2﹣4ac,挨個計算四個選項中的△值,由此即可得出結(jié)論．【答案】D2.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是〔〕A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【知識點】根的判別式.【解題過程】解：∵Δ=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×2×1=1＞0,∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．應(yīng)選B．【思路點撥】代入數(shù)據(jù)求出根的判別式△=b2﹣4ac的值,根據(jù)△的正負(fù)即可得出結(jié)論．【答案】B3.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是〔〕A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【知識點】根的判別式.【解題過程】解：在方程x2﹣4x+4=0中,Δ=〔﹣4〕2﹣4×1×4=0,∴該方程有兩個相等的實數(shù)根．應(yīng)選B．【思路點撥】將方程的系數(shù)代入根的判別式中,得出△=0,由此即可得知該方程有兩個相等的實數(shù)根．【答案】B．4.關(guān)于x的方程kx2﹣4x﹣=0有實數(shù)根,那么k的取值范圍是．【知識點】根的判別式；一元一次方程的解【解題過程】解：當(dāng)k=0時,﹣4x﹣=0,解得x=﹣,當(dāng)k≠0時,方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程,根據(jù)題意可得：Δ=16﹣4k×〔﹣〕≥0,解得k≥﹣6,k≠0,綜上k≥﹣6,故答案為k≥﹣6．【思路點撥】由于k的取值不確定,故應(yīng)分k=0〔此時方程化簡為一元一次方程〕和k≠0〔此時方程為二元一次方程〕兩種情況進行解答．【答案】k≥﹣65.試證明：不管m為何值,方程2x2﹣〔4m﹣1〕x﹣m2﹣m=0總有兩個不相等的實數(shù)根．【知識點】根的判別式【解題過程】證明：∵Δ=[﹣〔4m﹣1〕]2﹣4×2×〔﹣m2﹣m〕=24m2+1＞0∴有兩個不相等的實數(shù)根．【思路點撥】利用根的判別式列出關(guān)于方程系數(shù)的代數(shù)式,通過配方法化為完全平方式來判斷△的正負(fù),從而證明方程有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】見解題過程.6.己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．〔1〕假設(shè)方程有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍；〔2〕假設(shè)方程有兩個相等的實數(shù)根,求此時方程的根．【知識點】根的判別式．【解題過程】解：Δ=〔﹣3〕2﹣4〔m﹣1〕,〔1〕∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ＞0,解得m＜．〔2〕∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=0,即9﹣4〔m﹣1〕=0解得m=∴方程的根是：x1=x2=．【思路點撥】〔1〕方程有兩個不相等的實數(shù)根,即Δ＞0,即可求得關(guān)于m的不等式,從而得m的范圍；〔2〕方程有兩個相等的實數(shù)根,當(dāng)Δ=0時,即可得到一個關(guān)于m的方程求得m的值．【答案】m＜．x1=x2=能力型師生共研7.假設(shè)n＞0,關(guān)于x的方程x2﹣〔m﹣2n〕x+mn=0有兩個相等的正實數(shù)根,求的值．【知識點】根的判別式．【解題過程】解：根據(jù)題意知△=0,即〔m﹣2n〕2﹣mn=0,整理得m2﹣5mn+4n2=0,即〔m﹣n〕〔m﹣4n〕=0,解得m=n或m=4n,當(dāng)m=n時,∵n＞0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：原方程的兩個解x1+x2=m﹣2n=﹣n＜0,不合題意原方程兩個相等的正實數(shù)根,故m=n舍去；當(dāng)m=4n時,∵n＞0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：原方程的兩個解x1+x2=m﹣2n=2n＞0,符合題意,∴=4．答：的值是4．【思路點撥】由方程有兩相等的正實數(shù)根知△=0,列出關(guān)于m,n的方程,用求根公式將n代替m代入求出它的值．【答案】48.a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0較大的根,那么下面對a的估計正確的選項是〔〕A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3【知識點】解一元二次方程﹣公式法；估算無理數(shù)的大小【解題過程】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=,∵a是方程x2﹣x﹣1=0較大的根,∴a=,∵2＜＜3,∴3＜1+＜4,∴＜＜2,【思路點撥】先求出方程的解,再求出的范圍,最后即可得出答案【答案】C探究型多維突破9.：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0〔1〕不解方程,判別方程根的情況；〔2〕假設(shè)方程有一個根為3,求m的值．【知識點】根的判別式；一元二次方程的解【解題過程】解：〔1〕由題意得,a=1,b=2m,c=m2﹣1,∵Δ=b2﹣4ac=〔2m〕2﹣4×1×〔m2﹣1〕=4＞0,∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根；〔2〕∵x2+2mx+m2﹣1=0有一個根是3,∴32+2m×3+m2﹣1=0,解得,m=﹣4或m=﹣2．【思路點撥】〔1〕找出方程a,b及c的值,計算出根的判別式的值,根據(jù)其值的正負(fù)即可作出判斷；〔2〕將x=3代入方程中,列出關(guān)于系數(shù)m的新方程,通過解新方程即可求得m的值．【答案】．(1)有兩個不相等的實數(shù)根；(2)m=﹣4或m=﹣210.關(guān)于x的方程mx2+x﹣m+1=0,有以下三個結(jié)論：①當(dāng)m=0時,方程只有一個實數(shù)解；②當(dāng)m≠0時,方程有兩個不等的實數(shù)解；③無論m取何值,方程都有一個負(fù)數(shù)解,其中正確的選項是〔填序號〕．【知識點】根的判別式；一元一次方程的解．【解題過程】解：當(dāng)m=0時,x=﹣1,方程只有一個解,①正確；當(dāng)m≠0時,方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程,△=1﹣4m〔1﹣m〕=1﹣4m+4m2=〔2m﹣1〕2≥0,方程有兩個實數(shù)解,②錯誤；把mx2+x﹣m+1=0分解為〔x+1〕〔mx﹣m+1〕=0,當(dāng)x=﹣1時,m﹣1﹣m+1=0,即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根,③正確；故答案為①③．【思路點撥】分別討論m=0和m≠0時方程mx2+x﹣m+1=0根的情況,進而填空【答案】①③自助餐1.當(dāng)m為何值時,關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣=0有兩個相等的實數(shù)根？此時這兩個實數(shù)根是多少？【知識點】根的判別式；解一元二次方程【解題過程】解：由題意知,Δ=〔﹣4〕2﹣4〔m﹣〕=0,即16﹣4m+2=0,解得：m=．當(dāng)m=時,方程化為：x2﹣4x+4=0,∴〔x﹣2〕2=0,∴方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=2．【思路點撥】方程有兩個相等的實數(shù)根,必須滿足△=b2﹣4ac=0,從而求出實數(shù)m的值及方程的兩個實數(shù)根【答案】當(dāng)m=時,x1=x2=22.關(guān)于x的方程x2﹣2〔m+1〕x+m2=0〔1〕當(dāng)m取值范圍是多少時,方程有兩個實數(shù)根；〔2〕為m選取一個適宜的整數(shù),使方程有兩個不相等的實數(shù)根,并求出這兩個實數(shù)根．【知識點】根的判別式【解題過程】解：〔1〕由題意知：△=b2﹣4ac=[﹣2〔m+1〕]2﹣4m2=[﹣2〔m+1〕+2m][﹣2〔m+1〕﹣2m]=﹣2〔﹣4m﹣2〕=8m+4≥0,解得m≥．∴當(dāng)m≥時,方程有兩個實數(shù)根．〔2〕選取m=0．〔答案不唯一,注意開放性〕方程為x2﹣2x=0,解得x1=0,x2=2．【思路點撥】〔1〕方程有兩個實數(shù)根,必須滿足Δ=b2﹣4ac≥0,從而建立關(guān)于m的不等式,求出實數(shù)m的取值范圍．〔2〕答案不唯一,方程有兩個不相等的實數(shù)根,即Δ＞0,可以解得m＞﹣,在m＞的范圍內(nèi)選取一個適宜的整數(shù)求解就可以【答案】(1)m≥．(2)m=0時,x1=0,x2=23.關(guān)于x的方程x2+〔2k+1〕x+k2+2=0有兩個相等的實數(shù)根,試判斷直線y=〔2k﹣3〕x﹣4k+12能否通過點A〔﹣2,4〕,并說明理由．【知識點】根的判別式；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征【解題過程】解：∵x2+〔2k+1〕x+k2+2=0有兩個相等的實數(shù)根∴Δ=b2﹣4ac=0∴〔2k+1〕2﹣4〔k2+2〕=0,即4k﹣7=0,∴k=,∴2k﹣3=2×﹣3=,﹣4k+12=﹣4×+12=﹣7+12=5,∴直線方程y=x+5,當(dāng)x=﹣2時,y=×〔﹣2〕+5=4,∴A〔﹣2,4〕在直線y=x+5上．【思路點撥】方程x2+〔2k+1〕x+k2+2=0有兩個相等的實數(shù)根,那么△=0,據(jù)此算出k的值,得到直線解析式,看當(dāng)x=﹣2時,y是否等于4．【答案】能通過4.關(guān)于x的方程x2﹣〔k+2〕x+2k=0．〔1〕求證：無論k取任意實數(shù)值,方程總有實數(shù)根．〔2〕假設(shè)等腰三角形ABC的一邊a=1,另兩邊長b、c恰是這個方程的兩個根,求△ABC的周長．【知識點】根的判別式；三角形三邊關(guān)系；