人教版九年級數(shù)學(xué)第23章旋轉(zhuǎn)23.1 圖象的旋轉(zhuǎn)講義

/合作探究探究點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的概念情景激疑時鐘上的秒針不停地轉(zhuǎn)動,小小風(fēng)車帶給我們許多童年的歡樂,這些現(xiàn)象有什么共同特點(diǎn)？知識講解把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個角度,叫做圖形的旋轉(zhuǎn),點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角,如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P’,那么這兩個點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn).注意〔1〕圖形的旋轉(zhuǎn)就是一個圖形圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度,因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角,且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合,這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵?！?〕旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線,旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向?！?〕旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn),否那么有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形,因而要注意此點(diǎn)。典例剖析例1如圖,△QAB繞O點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△OEF,在這個旋轉(zhuǎn)過程中：〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是什么？〔2〕經(jīng)過旋轉(zhuǎn),點(diǎn)A、B分別移動到什么位置？解析根據(jù)定義,圍繞旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心相連的線段的夾角都是旋轉(zhuǎn)角。答案〔1〕旋轉(zhuǎn)中心是O,∠AOE、∠BOF都是旋轉(zhuǎn)角.〔2〕經(jīng)過旋轉(zhuǎn),點(diǎn)A和點(diǎn)B分別移動到點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置.方法指導(dǎo)要充分理解旋轉(zhuǎn)概念的含義,結(jié)合圖形變換前后的關(guān)系找出對應(yīng)點(diǎn),從而確定旋轉(zhuǎn)角及其對應(yīng)點(diǎn)的變化。類題突破1如圖,在△ABC中,∠CAB=65°,將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB’C'的位置,使CC’//AB,那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為〔〕A.35°B.40°C.50°D.65°解析∵CC’//AB,∴∠ACC'=∠CAB=65°,∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB'C',∴AC=AC',∴∠CAC'=180°-2∠ACC’=180°-2×65°=50°,∴∠CAC’=∠BAB'=50°.應(yīng)選C.答案C探究點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)情景激疑把手中的三角板貼在白紙上,描出內(nèi)部的三角形,然后圍繞一點(diǎn)〔點(diǎn)出此點(diǎn)〕轉(zhuǎn)動一定角度,再描出內(nèi)部的三角形,測量出對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段的長度,比擬旋轉(zhuǎn)角的大小并觀察驗證兩三形的關(guān)系,你能得到什么結(jié)論？知識講解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：〔1〕對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等?！?〕對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角?！?〕旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。注意〔1〕旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度是確定旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.〔2〕性質(zhì)是通過學(xué)生操作驗證得出的結(jié)論,性質(zhì)〔1〕和〔2〕是旋轉(zhuǎn)作圖的關(guān)鍵,整個性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)這局部內(nèi)容的核心,是解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的根底.〔3〕要正確理解旋轉(zhuǎn)中的變與不變,尋找等量關(guān)系,解決問題。知識講解例2如圖,△ABC為等邊三角形,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),△ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△ACP的位置,那么,〔l〕旋轉(zhuǎn)中心是什么？〔2〕旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是多少？〔3〕△ADP是什么三角形,為什么？解析由于△ACP是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的,這兩個三角形的形狀大小都沒有變化,只是位置作了變換,在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A始終保持未動,AB轉(zhuǎn)到AC上,AD轉(zhuǎn)到AP上,即AB的對應(yīng)線段是AC,AD的對應(yīng)線段是AP,而旋轉(zhuǎn)角是一組對應(yīng)線段的夾角,即∠BAC=∠DAP=60°,AD=AP.答案〔1〕點(diǎn)A〔2〕60°〔3〕AD=AP,∠DAP=60°,所以△ADP是等邊三角形。方法指導(dǎo)等邊三角形各邊相等,各角都是60°,一邊繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與另一邊重合可以得出相等的邊和相等的角,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),是解決此題的關(guān)鍵,此類問題應(yīng)尋找特殊對應(yīng)點(diǎn),從而找出對應(yīng)角的變化,解決問題。類題突破2如圖,在正方形ABCD中,E為DC邊上一點(diǎn),連接BE,將△BCE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCF,連接EF,假設(shè)∠BEC=60°,那么∠EFD的度數(shù)為〔〕A.10°B.15°C.20°D.25°思路圖示由于△DCF是△BCE旋轉(zhuǎn)得到的,答案B探究點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)作圖情景激疑觀察課本圖23.1-9,你能說出這些美麗的圖案是怎樣得到的嗎？你會畫一個圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形嗎？知識講解〔1〕旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對應(yīng)角都相等,都等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應(yīng)點(diǎn),順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形?！?〕旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨(dú)特的特點(diǎn),決定圖形位置的因素較多,旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心,其中任一元素不同,位置就不同,但得到的圖形全等.典例剖析例3如圖〔1〕,△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D處,畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形,并寫出簡要作法。解析此題旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D,且旋轉(zhuǎn)中心也,所以關(guān)鍵是找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向。顯然,遵時針或順時針旋轉(zhuǎn)都符合要求,一般我們選擇小于180°的旋轉(zhuǎn)角為宜,故此題選擇的旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向。一對對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心,很容易確定旋轉(zhuǎn)角。如圖〔2〕,連接QA、OD,那么∠AOD即為旋轉(zhuǎn)角.接下來根據(jù)“任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角〞和“對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等〞這兩個依據(jù)來作圖即可。答案〔1〕連接OA、OB、OC、OD；〔2〕分別以O(shè)B、OC為邊作∠BOM=∠CON=∠AOD；〔3〕分別截取OE=OB,OF=OC；〔4〕依次連接DE、EF、FD,即△DEF就是所求的三角形,如圖〔2〕所示。方法指導(dǎo)作圖的關(guān)鍵在于找到對應(yīng)點(diǎn),不同的題目給出的條件不同,所以找對應(yīng)點(diǎn)的方法也就不一樣,此題給出了A與D是對應(yīng)點(diǎn),根據(jù)性質(zhì)就可以知道旋轉(zhuǎn)角,結(jié)合旋轉(zhuǎn)作圖的方法,作出圖形。類題突破3四邊形ABCD,你能作出它旋轉(zhuǎn)100°后的圖形嗎？試一試.答案略.點(diǎn)撥因題目要求寬泛,所以每個同學(xué)要先確定旋轉(zhuǎn)中心,再確定旋轉(zhuǎn)方向,才能畫圖,所畫出的圖形也不同,同學(xué)們可以交流,以加深對旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向這三個因素對旋轉(zhuǎn)影響的理解。重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的概念及性質(zhì)的應(yīng)用〔1〕旋轉(zhuǎn)和平移、軸對稱一樣也是一種圖形變換,它是圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度,因而旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、圖形全等是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵?！?〕旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是整節(jié)的關(guān)鍵,它是整個內(nèi)容應(yīng)用的根底.其中有關(guān)旋轉(zhuǎn)角的題目較多、區(qū)分旋轉(zhuǎn)角的關(guān)鍵是：找出對應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)中心就可以判斷出旋轉(zhuǎn)角。確定旋轉(zhuǎn)角是求角的度數(shù)問題的關(guān)鍵,也是旋轉(zhuǎn)作圖的根底?！?〕應(yīng)用時應(yīng)注意旋轉(zhuǎn)具有方向性〔順時針和逆時針〕,必須注意這點(diǎn),考慮兩種可能。例1如圖可以看作是由一個等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)假設(shè)干次而形成的,那么每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是〔〕A.90°B.60°C.45°D.30°解析根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并結(jié)合一個周角是360°求解。答案C類題突破1如圖,把正方形ABCD繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC交于點(diǎn)H,試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜測,然后再證明你的猜測.答案連接AH,由正方形ABCD和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AD=AG,AD=AB,∴AG=AB.∵∠G=∠B=90°,AH=AH,∴△AGH△ABH〔HL〕,∴HG=HB.點(diǎn)撥連接AH構(gòu)造全等三角形,尋找全等的條件,AG=AB,∠G=∠B=90°,AH=AH,由HL公理,可證出全等,得出結(jié)論。方法提示〔1〕根據(jù)圖形特點(diǎn),構(gòu)造全等三角形?！?〕利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),結(jié)合正方形的性質(zhì),尋找等量關(guān)系,證明全等,從而得出結(jié)論。重難點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)作圖的應(yīng)用〔1〕旋轉(zhuǎn)作圖是旋轉(zhuǎn)的落腳點(diǎn),很多美麗的圖案是由一個簡單圖形通過旋轉(zhuǎn)變化而來的.利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案在現(xiàn)實生活中很常見。〔2〕作旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵在于運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到對應(yīng)點(diǎn),旋轉(zhuǎn)過程中所有旋轉(zhuǎn)角都相等,對應(yīng)線段相等,所以通過作等角,再截取相等線段的方法找對應(yīng)點(diǎn),順次連接對應(yīng)點(diǎn)就能得到圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形?！?〕旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向是旋轉(zhuǎn)作圖的三個必要條件,只有在它們一定的情況下,圖形才是唯一的.否那么有一個條件不固定就可以作多個圖形,但所作的圖形都全等。例2己知：如以下圖,△ABC和三角形外一點(diǎn)O,作出△ABC關(guān)于O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)110°的旋轉(zhuǎn)圖形。解析作圖的關(guān)鍵在于找到A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)D、E、F,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),連接AO,在AO的右側(cè)作110°的角,在角的另一邊上截取OD=OA,那么點(diǎn)D就是A的對應(yīng)點(diǎn),同樣作出B、C的對應(yīng)點(diǎn)E、F,順次連接DE、EF、FD得到的三角形即為所求的三角形。答案〔1〕連接AO,在AO的右側(cè)作∠AOM=110°,在OM上截取OD=OA,那么點(diǎn)D就是A的對應(yīng)點(diǎn)。〔2〕同樣方法作出B、C的對應(yīng)點(diǎn)E、F,順次連接DE、EF、FD得到的三角形即為所求的三角形。方法提示所有關(guān)于圖形變換〔軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)〕的方法都相似,關(guān)鍵在于找出對應(yīng)點(diǎn),旋轉(zhuǎn)作圖就是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),找出符合條件的對應(yīng)點(diǎn),順次連接即可得所求圖形。類題突破2如圖〔1〕,線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了一個角度后,成為線段CD,由于不小心,點(diǎn)O被擦去了,你能找到點(diǎn)O的位置嗎？答案〔1〕連接AC、BD；〔2〕分別作AC、BD的垂直平分線,兩線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為所求的旋轉(zhuǎn)中心.如圖〔2〕所示。點(diǎn)撥由于對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,即AO=CO,BO=DO,因此點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上,也在線段B即的垂直平分線上,故點(diǎn)O是線段AC的垂直平分線與BD的垂直平分線的交點(diǎn).方法提示由此可以推廣,對于任意旋轉(zhuǎn)圖形,我們都可以找到兩對適宜的對應(yīng)點(diǎn),連接后作它們的垂直平分線,交點(diǎn)即是旋轉(zhuǎn)中心,這與下節(jié)將學(xué)習(xí)的找中心對稱圖形的旋轉(zhuǎn)中心的方法不同。易錯指導(dǎo)易錯點(diǎn)1混淆旋轉(zhuǎn)變換與平移變換例1如下圖的圖形由四個能夠完全重合的等腰直角三角形拼成,認(rèn)真觀察后,答復(fù)以下問題.〔1〕圖中有哪些三角形可以由三角形①旋轉(zhuǎn)得到？〔2〕圖中有哪些三角形可以由三角形①平移得到？錯解〔1〕三角形②③④都可以由三角形①旋轉(zhuǎn)得到.〔2〕三角形②④可以由三角形①平移得到.錯因分析旋轉(zhuǎn)變換與平移變換都沒有改變圖形的大小和形狀,只是改變了位置,所以很容易混淆。正解〔1〕三角形②可由三角形①繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,三角形③可由三角形①繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到.〔2〕三角形④可由三角形①平移得到。糾錯心得旋轉(zhuǎn)變換由三個條件決定,即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度,三者缺一不可.易錯點(diǎn)2對旋轉(zhuǎn)的特征理解不透徹例2圖〔1〕所示,把△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°,畫出旋轉(zhuǎn)后錯解如圖〔3〕所示,△A'OB'即為所求。錯因分析不能準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的含義而導(dǎo)致錯誤。正解如圖〔2〕所示,△A'OB'即為所求。糾錯心得在旋轉(zhuǎn)過程中,對應(yīng)邊所夾的角即為旋轉(zhuǎn)角,所以在畫圖中,重點(diǎn)是找到對應(yīng)邊。易錯點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)方向不確定時,沒有進(jìn)行分類討論例3在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30°后與△AB1C1重合,求∠BAC1的度數(shù)。錯解當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時件旋轉(zhuǎn)30°時〔如圖〔1〕所示〕,∵∠B=45°,∠C=60°,∴∠BAC=75°.∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=75°+30°=105°.錯因分析只考慮了將圖形進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)的情況,忽略了圖形