必修五正弦定理第一課時(shí)

1.1正弦定理〔第一課時(shí)〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能推導(dǎo)正弦定理,能用自己的語言說明正弦定理與銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系；2.把握正弦定理的結(jié)構(gòu)特征，從中感受數(shù)學(xué)式子的對稱美與和諧美；3.能正確運(yùn)用定理解根本類型的三角形問題，初步體會(huì)正弦定理在解三角形中的作用。4.通過經(jīng)歷正弦定理的推導(dǎo)過程，體會(huì)由特殊到一般的研究方法?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】正弦定理的推導(dǎo)與初步運(yùn)用【學(xué)習(xí)過程】一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備1.以前我們已學(xué)過了三角形的有關(guān)知識(shí)。想一想，在三角形中，角與角之間有什么關(guān)系？邊與邊之間有什么關(guān)系？邊與角關(guān)系之間又有什么樣的關(guān)系呢？cbCcbCaAB圖1.1-1如圖1.1—1在中，、、所對的邊為，a、b、c，為直角，那么SinA=，SinB=SinC=。利用這些關(guān)系能解決三角形中的哪些問題？3.在實(shí)際工作中我們還會(huì)遇到許多其他的測量問題，而這些問題僅用銳角三角函數(shù)就不夠了，如：〔1〕怎樣在航行途中測量出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？〔2〕怎樣測量底部不能到達(dá)的建筑物的高度？〔3〕怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量出飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨龋窟@些問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)。從今天這節(jié)課開始我們就來學(xué)習(xí)這些知識(shí)，當(dāng)你學(xué)了這些知識(shí)后以上問題也就可以很快解決了！二、學(xué)習(xí)探究1．正弦定理的探究我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是角增大邊也隨著增大，這種關(guān)系能否用具體的數(shù)量關(guān)系來準(zhǔn)確量化呢？由于我們不容易直接得到一般三角形中邊和角的量化關(guān)系，所以我們運(yùn)用先特殊后一般的研究方法，按照“直角三角形—銳角三角形—鈍角三角形”的順序予以探究。探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？在“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”2中，把三個(gè)關(guān)系式進(jìn)行變形得：，,由此可得：探究二：在銳角三角形中，以上關(guān)系式是否仍然成立嗎？在銳角ΔABC中，過C做CD⊥AB于D，那么|CD|==，即，同理得，故有?！舱埬阆泉?dú)立思考探究填寫答案，然后看教材第3頁圖1.1-2及有關(guān)表達(dá)進(jìn)行核對〕●想一想如要論證，如何作高呢？探究三：在鈍角三角形中，以上結(jié)論成立嗎？你能否根據(jù)“探究二”的思路和方法進(jìn)行推導(dǎo)？〔提示：畫張圖，按“探究二”的思路和方法進(jìn)行探究〕在鈍角ΔABC中，∠B為鈍角，過C做CD⊥AB交AB的延長線D，那么|CD|==，即，故有。BDＯCBDＯCA2.正弦定理從上面的探究過程，我們可得以下定理：正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比，即用文字語言描述就是：。想一想：⑴以下有關(guān)正弦定理的表達(dá)正確的選項(xiàng)是正弦定理只適用于直角三角形；②正弦定理只適用于解用銳角三角形；③正弦定理只適用于解鈍角三角形；④在某一個(gè)確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一個(gè)定值。⑵正弦定理的特點(diǎn)是什么？它刻畫了三角形邊和角的什么關(guān)系？它的變式有哪些？它的推論有哪些？⑶從方程的觀點(diǎn)看：三個(gè)方程，每個(gè)含有四個(gè)量，可以知其幾求其一？⑷向量是一種解決角與長度問題的重要工具，那么能不能用向量法推導(dǎo)正弦定理呢？如果能，你如何構(gòu)造向量證明？〔鏈接2〕3．正弦定理的初步應(yīng)用三角形的邊和角分別叫做三角形的元素，我們把三角形的一局部元素求其它元素的過程叫做解三角形。下面我們通過一些例題的學(xué)習(xí)來看正弦定理在解解三角形中的運(yùn)用。題型一:兩角和任意一邊，求出其他兩邊和一角例1．在.思路啟迪：此題中元素有哪些？要求未知元素需要利用那些結(jié)論？解：●解題反思此題的解題過程中用到了哪些知識(shí)？正弦定理的主要作用是什么？三角形的兩角和任一邊，求其他兩邊和另一個(gè)角解題的步驟是什么？●變式練習(xí)1.教材P4“練習(xí)”第1題；2．在中,,那么.題型二:三角形的任意兩邊與其中一邊的對角求其他邊與角例2．〔1〕在解三角形；〔2〕解三角形。思路啟迪：解三角形的含義是什么？這里的是什么？要求的是什么？由最先能求出的是什么？再結(jié)合三角形中大邊對大角考慮解的情況，然后再求其余元素。解：●解題反思1．比照例2〔1〕與〔2〕，你認(rèn)為什么時(shí)候解是唯一的？什么時(shí)候解是不確定的呢？2．三角形有解的幾何意義是什么？無解，有一解、兩解的幾何意義是什么？〔鏈接3〕3．通過上面問題，你對使用正弦定理有什么想法？●變式練習(xí)：1.教材P4“練習(xí)”第2題.2.解三角形。3.解三角形.思考：假設(shè)改為那么三角形有無解？假設(shè)有，請求出其解，假設(shè)沒有請說明理由?！緦W(xué)習(xí)反思】1．正弦定理主要反映了三角形中邊與角之間怎樣一種關(guān)系？它是怎樣推導(dǎo)出來的？2．正弦定理的在三角形中的根本作用是什么？3.利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？〔鏈接4〕4．在三角形的任意兩邊與其中一邊的條件下運(yùn)用正弦定理要注意什么問題？5.本課中你學(xué)到了哪些解題方法與解題策略?定理的推導(dǎo)和解題中有哪些數(shù)學(xué)思想？【學(xué)習(xí)評價(jià)】自我測評一：1．在中，，那么是〔〕A．直角三角形；B．等腰三角形；C．銳角三角形；D．鈍角三角形2在中，角，那么角A的值是〔〕A.B.C.D.或3．在△ABC中,4．在那么c=.5．ABC中，A=60°，，那么=.6．在中，，解三角形。自我測評二：1．在ΔABC中，，那么〔〕A.B.C.D.2.在ΔABC中，，那么〔〕A.B.C.D.3．在ΔABC中，，那么邊c的長為。4.在ΔABC中，角A,B,C的對邊分別為a、b、c，假設(shè)，求角A的大小。●感受與認(rèn)識(shí)：1.在本測評中，易錯(cuò)的題目有錯(cuò)因?yàn)?.你不明白或還需要進(jìn)一步探求的問題是什么?【學(xué)習(xí)鏈接】鏈接1：等比常數(shù)是C，它是直角三角形的斜邊，也是三角形外接圓的直徑。鏈接2：閱讀材料《用向量法論證正弦定理》C證明：過點(diǎn)A作，由向量的加法可得那么AB∴∴，即同理，過點(diǎn)C作，可得從而類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。鏈接3：三角形有解的幾何意義是，根據(jù)條件能構(gòu)成三角形。無解是指由條件不能構(gòu)成三角形；只有一解表示由條件只能構(gòu)成一個(gè)三角形，有兩個(gè)解表示能根據(jù)條件構(gòu)成兩個(gè)三角形。鏈接4：〔1〕三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；〔2〕三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值?！緟⒖即鸢浮坷?．解：，∴由得