高中數(shù)學人教A版必修5課件：2.3.2-等差數(shù)列的綜合應用

第2課時

等差數(shù)列的綜合應用1.復習穩(wěn)固等差數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式.2.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應用.3.能夠利用等差數(shù)列的前n項和公式解決實際應用問題.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.(2)公式:假設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,那么有an=a1+(n-1)d,【做一做1-1】等差數(shù)列{an}的公差d=2,a1=1,那么().A.an=2n,Sn=n2 B.an=n,Sn=n2+nC.an=2n-1,Sn=n2 D.an=2n-1,Sn=n2-n答案:C【做一做1-2】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a1=4,那么公差d等于().答案:C等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)剖析:數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,其前n項和具有以下性質(zhì):(1)Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差為n2d的等差數(shù)列,且有Sn+S3n-S2n=2(S2n-Sn).名師點撥Sn,S2n,S3n不一定成等差數(shù)列,這一點要切記!題型一題型二題型三【例1】一個等差數(shù)列的前10項之和為100,前100項之和為10,求其前110項之和.分析:此題的根本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,先求Sn,再求S110,或利用性質(zhì)求解.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思1.先利用求出a1,d,然后再求所求的量,這是根本解法,有時運算量較大,如此題解法一.2.我們也可以利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),或利用等差數(shù)列通項公式的性質(zhì),這兩種解法可簡化運算,是最優(yōu)解法,如此題解法三和解法四.題型一題型二題型三【變式訓練1】

等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m.解:在等差數(shù)列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,即30,70,S3m-100成等差數(shù)列,故2×70=30+(S3m-100),S3m=210.題型一題型二題型三【例2】某長江抗洪指揮部接到預報,24h后有一洪峰到達.為確保平安,指揮部決定在洪峰來臨前筑一個堤壩作為一道防線.經(jīng)計算,除現(xiàn)有的部隊指戰(zhàn)員和當?shù)馗刹咳罕娺B續(xù)奮戰(zhàn)外,還需用20臺同型號的翻斗車,平均每輛車要工作24h才能完成任務.但目前只有一輛車投入施工,其余的需從附近高速公路上抽調(diào),每隔20min能有一輛車到達,且指揮部最多還可調(diào)集24輛車,那么在24h內(nèi)能否構(gòu)筑成這道防線?分析:這25輛車分別工作的時間按一定順序排起來,組成一個等差數(shù)列,計算出這25輛車可以工作的時間,即這個等差數(shù)列的前25項和,如果大于或等于總共需要工作的時間,就能構(gòu)筑成這道防線,否那么不能.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思

有關(guān)數(shù)列的應用問題,應先通過對實際問題的研究建立關(guān)于數(shù)列的數(shù)學模型,然后求出符合實際的答案,可分以下幾步考慮:(1)問題中所涉及的數(shù)列{an}有何特征?(2)是求數(shù)列{an}的通項還是求其前n項和?(3)列出等式(或方程)求解.(4)怎樣求解?(5)答案是怎樣的?題型一題型二題型三【變式訓練2】

甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動,甲第1min走2m,以后每分鐘比前1min多走1m,乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開始運動幾分鐘后第一次相遇?(2)如果甲、乙到達對方起點后立即折返,甲繼續(xù)每分鐘比前1min多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇?題型一題型二題型三解:(1)設(shè)甲、乙運動開始n

min后第一次相遇,整理,得n2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去).故甲、乙開始運動7

min后第一次相遇.(2)設(shè)m

min后第二次相遇,依題意有整理得m2+13m-6×70=0.解得m=15或m=