人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上21.3《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（1）》名師教案

/21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程〔胡雯雯〕21.3.1倍數(shù)問(wèn)題及增長(zhǎng)率問(wèn)題一、教學(xué)目標(biāo)〔一〕核心素養(yǎng)聯(lián)系實(shí)際,經(jīng)歷“問(wèn)題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用〞的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,及分析、解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.〔二〕學(xué)習(xí)目標(biāo)1.使學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題〔用一定速度傳播,數(shù)字問(wèn)題,增長(zhǎng)率問(wèn)題〕中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.〔三〕學(xué)習(xí)重點(diǎn)建立數(shù)學(xué)模型,找等量關(guān)系,列方程〔四〕學(xué)習(xí)難點(diǎn)找等量關(guān)系,列方程二、教學(xué)設(shè)計(jì)〔一〕課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審；②設(shè)；③找；④列；⑤解；⑥檢驗(yàn)；⑦答.2.n表示變化的次數(shù)預(yù)習(xí)自測(cè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,百位數(shù)字是c,這個(gè)三位數(shù)可以表示為_(kāi)__________.【知識(shí)點(diǎn)】字母表示數(shù)【解題過(guò)程】∵三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,百位數(shù)字是c,∴這個(gè)三位數(shù)表示為100c+10b+a【思路點(diǎn)撥】各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字乘以其對(duì)應(yīng)的基數(shù)之和即可表示數(shù).【答案】100c+10b+a某班班長(zhǎng)通知同學(xué)春游事宜,由班長(zhǎng)通知假設(shè)干同學(xué)后,再由曉事宜的同學(xué)通知其他人,經(jīng)過(guò)兩輪通知,全班49人恰好都得到通知.問(wèn)：平均每個(gè)同學(xué)一次能通知______人.【知識(shí)點(diǎn)】倍數(shù)問(wèn)題【解題過(guò)程】設(shè)平均每個(gè)同學(xué)一次通知x人,那么第一輪通知了x人,第一輪結(jié)束時(shí)共有〔1+x〕人知曉；第二輪通知了x〔1+x〕人,共有1+x+x〔1+x〕人知曉.故有1+x+x〔1+x〕=49,x1=6,x2=-8〔舍〕.故,平均每個(gè)同學(xué)一次能通知6人.【思路點(diǎn)撥】原有人數(shù)+本輪通知人數(shù)=總?cè)藬?shù)【答案】6人.3.假設(shè)某公司2019年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為10萬(wàn)元,年增長(zhǎng)率為10%,那么2019年的銷(xiāo)售利潤(rùn)是,假設(shè)維持此增長(zhǎng)率不變,2019年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為萬(wàn)元.【知識(shí)點(diǎn)】增長(zhǎng)率問(wèn)題【解題過(guò)程】2019年的利潤(rùn)是10×〔1+10%〕=11〔萬(wàn)元〕；2019年的利潤(rùn)是10×〔1+10%〕×〔1+10%〕=12.1〔萬(wàn)元〕【思路點(diǎn)撥】【答案】11萬(wàn)元；12.1萬(wàn)元.4．某地嚴(yán)格控制森林砍伐面積,假設(shè)一月份的砍伐面積為10000m2,以后每月減少20%,那么三月份的砍伐面積為m2．【知識(shí)點(diǎn)】增長(zhǎng)率問(wèn)題【解題過(guò)程】二月砍伐面積為10000×〔1－20%〕=8000〔m2〕；三月砍伐面積為10000×〔1－20%〕×〔1－20%〕=6400〔m2〕.【思路點(diǎn)撥】【答案】6400m2.(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回憶〔1〕列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審,設(shè),找,列,解,檢驗(yàn),答.〔2〕列方程解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系,從而建立方程求解.〔3〕現(xiàn)有量－原有量=增長(zhǎng)量,2.問(wèn)題探究探究一倍數(shù)問(wèn)題★活動(dòng)1疾病傳染問(wèn)題有一個(gè)人患了流感,經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？師問(wèn)：設(shè)每輪傳染中一個(gè)人傳染了x個(gè)人.開(kāi)始有一個(gè)人患了流感,那么第一輪的傳染源就是這個(gè)人,他傳染了x個(gè)人,第一輪傳染后共有_____個(gè)人患了流感；第二輪傳染中,這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人,第二輪后共有_____個(gè)人患有流感.等量關(guān)系是：生答：〔1〕(x+1)；〔2〕[1+x+x〔1+x〕]；〔3〕患病總?cè)藬?shù)=121人.思考：如何列方程求解生答：列方程：1+x+x〔1+x〕=121解方程,得：x1=10,x2=－12〔不合題意,舍去〕故,平均一個(gè)人傳染10個(gè)人.教師點(diǎn)撥：原有感染人數(shù)+新增感染人數(shù)=總感染人數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】此題以流感為問(wèn)題背景,討論按一定傳播速度逐步傳播的問(wèn)題,特別需要注意的是,弄清問(wèn)題背景,特別注意分析清楚題意.題中沒(méi)有特別說(shuō)明,那么最早的患者沒(méi)有痊愈,仍在繼續(xù)傳染別人.活動(dòng)2寫(xiě)信問(wèn)題一個(gè)微信群里共有x個(gè)好友,每個(gè)好友都分別給群里其他好友發(fā)送一條消息,這樣共有42條消息,問(wèn)：這個(gè)微信群里共有多少人？師問(wèn)：〔1〕設(shè)有x個(gè)好友,每人發(fā)條消息；〔2〕那么發(fā)消息共有條.〔3〕等量關(guān)系是：___________.生答：〔1〕〔x－1〕條；〔2〕x〔x－1〕條；〔3〕共有42條消息.師問(wèn)：如何列方程求解生答：依題意得x〔x－1〕=42；解得x1=7,x2=－6〔不合題意,舍去〕答：微信群里共7個(gè)人教師點(diǎn)撥：每個(gè)好友都有一次發(fā)給微信群其他好友消息的時(shí)機(jī),即每?jī)蓚€(gè)好友之間要互發(fā)一次消息；人數(shù)×每人發(fā)出消息數(shù)=總數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】考慮寫(xiě)信類(lèi)似問(wèn)題時(shí),要考慮到每個(gè)人都會(huì)給其他人寫(xiě)信,這樣,人數(shù)×每人寫(xiě)信數(shù)=總數(shù).探究二數(shù)字問(wèn)題★活動(dòng)1奇偶數(shù)相關(guān)問(wèn)題兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和為130,求這兩個(gè)奇數(shù)．師問(wèn)：〔1〕設(shè)較小的奇數(shù)為_(kāi)_______,那么較大的奇數(shù)為;〔2〕等量關(guān)系是：__________.生答：〔1〕x,x+2；〔2〕兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和為130.師問(wèn)：如何列方程求解生答：解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x,x+2,根據(jù)題意得x2+〔x+2〕2=130．解得：x1=－9〔不合題意,舍去〕,x2=7答：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為7,9.教師點(diǎn)撥：根據(jù)連續(xù)奇數(shù)相差2得到較大的奇數(shù),根據(jù)兩個(gè)數(shù)的積是130列出方程求解即可．要注意是否符合實(shí)際情況.【設(shè)計(jì)意圖】會(huì)用字母表示符合條件的數(shù),從而找到等量關(guān)系.活動(dòng)2多位數(shù)相關(guān)問(wèn)題某兩位數(shù),個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為12,個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之積為32,求這個(gè)兩位數(shù).師問(wèn)：〔1〕設(shè)個(gè)位數(shù)字為x,那么十位數(shù)字為〔2〕等量關(guān)系是：___________.生答：〔1〕12－x；〔2〕個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之積為32.師問(wèn)：如何列方程求解生答：解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x,那么十位數(shù)字為12－x,由題意得x〔12－x〕=32；解得x1=8,x2=4.答：48或84.教師點(diǎn)撥：根據(jù)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之積為32,列出方程解答即可.【設(shè)計(jì)意圖】會(huì)用字母表示多位數(shù),并根據(jù)等量關(guān)系求解.探究三增長(zhǎng)率問(wèn)題★▲活動(dòng)1增長(zhǎng)問(wèn)題某校辦工廠今年元月份生產(chǎn)桌椅1000套,2月份因春節(jié)放假,減產(chǎn)10%,3月份,4月份產(chǎn)量逐月上升,4月份產(chǎn)量到達(dá)1296套,求3,4月份的平均增長(zhǎng)率．師問(wèn)：〔1〕設(shè)3,4月平均增長(zhǎng)率為x,那么2月份產(chǎn)量是________;三月份的產(chǎn)量是;四月份的產(chǎn)量是.〔2〕等量關(guān)系是：_____________生答：〔1〕1000〔1－10%〕；1000〔1－10%〕〔1+x〕;1000〔1－10%〕〔1+x〕2〔2〕4月份產(chǎn)量到達(dá)1296套.師問(wèn)：如何列方程求解生答：解：設(shè)三、四月份產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率是x．根據(jù)題意得1000〔1－10%〕〔1+x〕2=1296．解得：x1=0.2=20%,x2=－2.2〔不合題意,舍去〕答：平均增長(zhǎng)率是20%.教師點(diǎn)撥：設(shè)三、四月份產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率是x．根據(jù)題意依次找出二月份,三月份,四月份的產(chǎn)量,根據(jù)四月份產(chǎn)量到達(dá)1296套,可列方程．【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題〔增長(zhǎng)率〕中的等量關(guān)系列方程.活動(dòng)2減少問(wèn)題受某種因素影響,在一個(gè)月內(nèi)豬肉價(jià)格兩次大幅下降,由原來(lái)每斤16元下調(diào)到每斤9元,求平均每次下調(diào)的百分率是多少？師問(wèn)：〔1〕設(shè)平均每次下調(diào)的百分率是x,那么第一次降價(jià)后的價(jià)格為,第二次降價(jià)后的價(jià)格是.〔2〕等量關(guān)系是：______________.生答：〔1〕16〔1－x〕,16〔1－x〕〔1－x〕；〔2〕下降兩次后的價(jià)格是9元.師問(wèn)：如何列方程求解生答：解：列出的方程是16〔1－x〕2=9,解得x1=25%,x2=175%〔不合題意,舍去〕答：平均每次下降的百分率是25%.教師點(diǎn)撥：假設(shè)每次下調(diào)的百分率為x,找出下降兩次后的價(jià)格,把相應(yīng)數(shù)值代入即可列方程．【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題〔減少率〕中的等量關(guān)系列方程.探究四倍數(shù)及增長(zhǎng)率問(wèn)題訓(xùn)練★▲活動(dòng)1根底型例題例1.一次會(huì)議上,每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都互相握手一次,有人統(tǒng)計(jì)一共是握了66次手,那么這次會(huì)議到會(huì)人數(shù)是人．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用【解題過(guò)程】解：設(shè)參加會(huì)議有x人,依題意得：x〔x﹣1〕=66,整理得：x2﹣x﹣132=0解得x1=12,x2=﹣11,〔舍去〕．答：參加這次會(huì)議的有12人．【思路點(diǎn)撥】設(shè)參加會(huì)議有x人,每個(gè)人都與其他〔x﹣1〕人握手,共握手次數(shù)為x〔x﹣1〕,根據(jù)題意列方程．【答案】12人.練習(xí)：一次排球友誼賽,參賽隊(duì)中每?jī)申?duì)都要賽1場(chǎng),假設(shè)此次友誼賽共66場(chǎng),那么本次參賽球隊(duì)有〔〕A．14隊(duì) B．13隊(duì) C．12隊(duì) D．11隊(duì)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì),每個(gè)隊(duì)都要賽〔x﹣1〕場(chǎng),但兩隊(duì)之間只有一場(chǎng)比賽,x〔x﹣1〕÷2=66,解得x=12或﹣11〔舍去〕．故應(yīng)12個(gè)球隊(duì)參加比賽．【思路點(diǎn)撥】賽制為單循環(huán)形式〔每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)〕,x個(gè)球隊(duì)比賽總場(chǎng)數(shù)=．即可列方程求解．【答案】C．【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步穩(wěn)固對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的掌握.活動(dòng)2提高型例題例.兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是15,那么這兩個(gè)數(shù)是．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)其中一個(gè)奇數(shù)為x,那么較大的奇數(shù)為〔x+2〕,由題意得,x〔x+2〕=15,解得,x=3或x=﹣5,【答案】這兩個(gè)數(shù)為3和5或﹣3和﹣5．【思路點(diǎn)撥】設(shè)出兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù),根據(jù)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是15這一等量關(guān)系,列出方程解答即可．練習(xí)：相鄰的兩自然數(shù),它們的平方和比這兩數(shù)中較小者的2倍大51,那么這兩自然數(shù)分別為．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【思路點(diǎn)撥】設(shè)較小的正整數(shù)為n,大的就為n+1,等量關(guān)系為兩數(shù)的平方和比擬小數(shù)的2倍大51．【解題過(guò)程】解：設(shè)較小的正整數(shù)為n．n2+〔n+1〕2=2n+51n=5或n=﹣5〔舍去〕【答案】5,6【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步穩(wěn)固對(duì)數(shù)字問(wèn)題的掌握.活動(dòng)3探究型例題例.近年來(lái)隨著國(guó)際石油價(jià)格的上漲,我國(guó)加快了對(duì)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的扶持力度．2019年國(guó)家啟動(dòng)了節(jié)能汽車(chē)推廣工作,2019年新能源汽車(chē)產(chǎn)量到達(dá)15萬(wàn)輛,預(yù)計(jì)2019年新能源汽車(chē)的累計(jì)產(chǎn)量能到達(dá)105萬(wàn)輛．〔1〕求這兩年的新能源汽車(chē)產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為多少？〔2〕通過(guò)計(jì)算估計(jì)2019年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量能否突破100萬(wàn)輛？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：〔1〕設(shè)這兩年的新能源汽車(chē)產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x,由題意得15+15〔1+x〕+15〔1+x〕2=105,解得x=1,x=﹣4〔不符題意,舍去〕．故這兩年的新能源汽車(chē)產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為100%；〔2〕2019年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量為：15〔1+x〕2=60〔萬(wàn)輛〕,2019年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量為：60〔1+x〕=120〔萬(wàn)輛〕＞100〔萬(wàn)輛〕所以2019年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量能突破100萬(wàn)輛．【思路點(diǎn)撥】〔1〕2019年的產(chǎn)量+2019年的產(chǎn)量+2019年的產(chǎn)量=105萬(wàn)輛,把相關(guān)數(shù)值代入求得適宜的解即可；〔2〕2019年的年銷(xiāo)售量=2019年的年銷(xiāo)量×〔1+增長(zhǎng)率〕,算出結(jié)果后與100萬(wàn)比擬即可．【答案】〔1〕這兩年的新能源汽車(chē)產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為100%；〔2〕2019年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量能突破100萬(wàn)輛．練習(xí)：為響應(yīng)國(guó)家全民閱讀的號(hào)召,某社區(qū)鼓勵(lì)居民到社區(qū)閱覽室借閱讀書(shū),并統(tǒng)計(jì)每年的借閱人數(shù)和圖書(shū)借閱總量〔單位：本〕,該閱覽室在2019年圖書(shū)借閱總量是7500本,2019年圖書(shū)借閱總量是10800本．〔1〕求該社區(qū)的圖書(shū)借閱總量從2019年至2019年的年平均增長(zhǎng)率；〔2〕2019年該社區(qū)居民借閱圖書(shū)人數(shù)有1350人,預(yù)計(jì)2019年到達(dá)1440人,如果2019年至2019年圖書(shū)借閱總量的增長(zhǎng)率不低于2019年至2019年的年平均增長(zhǎng)率,那么2019年的人均借閱量比2019年增長(zhǎng)a%,求a的值至少是多少？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【解題過(guò)程】解：〔1〕設(shè)該社區(qū)的圖書(shū)借閱總量從2019年至2019年的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得7500〔1+x〕2=10800,即〔1+x〕2=1.44,解得：x1=0.2,x2=﹣2.2〔舍去〕答：該社區(qū)的圖書(shū)借閱總量從2019年至2019年的年平均增長(zhǎng)率為20%；〔2〕10800〔1+0.2〕=12960〔本〕10800÷1350=8〔本〕12960÷1440=9〔本〕〔9﹣8〕÷8×100%=12.5%．故a的值至少是12.5．【思路點(diǎn)撥】〔1〕經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng),求年平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題,應(yīng)該明確原來(lái)的基數(shù),增長(zhǎng)后的結(jié)果．設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,那么經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)以后圖書(shū)館有書(shū)7500〔1+x〕2本,即可列方程求解；〔2〕先求出2019年圖書(shū)借閱總量的最小值,再求出2019年的人均借閱量,2019年的人均借閱量,進(jìn)一步求得a的值至少是多少．【答案】〔1〕平均增長(zhǎng)率為20%；〔2〕12.5【設(shè)計(jì)意圖】考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用,一元二次方程的解法的運(yùn)用,增長(zhǎng)率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用,解答時(shí)根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理〔1〕列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審,設(shè),找,列,解,檢驗(yàn),答.〔2〕疾病傳染問(wèn)題,數(shù)字問(wèn)題,增長(zhǎng)率問(wèn)題的根本等量關(guān)系疾病傳染問(wèn)題：原有量+新增量=總量；數(shù)字問(wèn)題：根據(jù)題意設(shè)出符合條件的數(shù),進(jìn)而根據(jù)等量關(guān)系列方程；增長(zhǎng)率問(wèn)題：n表示變化的次數(shù)重難點(diǎn)歸納〔1〕列方程解決實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)等量關(guān)系.〔2〕根據(jù)實(shí)際情況,檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際.〔三〕課后作業(yè)根底型自主突破1.政府為解決老百姓看病難的問(wèn)題,決定下調(diào)藥品價(jià)格．某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后,每盒的價(jià)格由原來(lái)的60元降至48.6元,如果平均每次降價(jià)的百分率為x,那么根據(jù)題意所列方程為．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意得出：60〔1－x〕2=48.6【思路點(diǎn)撥】關(guān)系式為：藥品原價(jià)×〔1－降低的百分比〕2=下調(diào)后的價(jià)格,即可得出答案．【答案】60〔1－x〕2=48.62.某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過(guò)兩次降價(jià),每件零售價(jià)由560元降為315元,兩次降價(jià)的百分率相同,求每次降價(jià)的百分率．設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,所列方程是．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,由題意得,560〔1－x〕2=315．【思路點(diǎn)撥】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意可得,560×〔1－降價(jià)的百分率〕2=315,據(jù)此列方程即可．【答案】560〔1－x〕2=315．3．某種電腦病毒傳播非?？?如果一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過(guò)兩輪被感染后就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染．每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染臺(tái)電腦．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,根據(jù)題意列方程得〔x+1〕2=144解得x1=11,x2=－13〔不符合題意,舍去〕【思路點(diǎn)撥】此題可設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,那么第一輪共感染x+1臺(tái),第二輪共感染x〔x+1〕+x+1=〔x+1〕〔x+1〕臺(tái),根據(jù)題意列方程解答即可．【答案】每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染11臺(tái)電腦．4.元旦來(lái)臨,全班每一個(gè)同學(xué)都將自己制作的賀年卡向其他同學(xué)各送一張以表示紀(jì)念,如果全班有x名學(xué)生,那么送了_________張賀年卡.〔用含x的代數(shù)式表示〕【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：∵全班有x名同學(xué),∴每名同學(xué)要送出〔x－1〕張；又∵全班每一個(gè)同學(xué)都將自己制作的賀年卡向其他同學(xué)各送一張,∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x〔x－1〕．【思路點(diǎn)撥】如果全班有x名同學(xué),那么每名同學(xué)要送出〔x－1〕張,共有x名學(xué)生,那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x〔x－1〕張,即可列式求解．【答案】x〔x－1〕張5.某工程生產(chǎn)一種產(chǎn)品,第一季度共生產(chǎn)了364個(gè),其中1月份生產(chǎn)了100個(gè),假設(shè)2、3月份的平均月增長(zhǎng)率為x,那么可列方程為．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：依題意得二、三月份共生產(chǎn)的機(jī)器100〔1+x〕+100〔1+x〕2,那么方程為100+100〔1+x〕+100〔1+x〕2=364．【思路點(diǎn)撥】主要考查增長(zhǎng)率問(wèn)題,一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×〔1+增長(zhǎng)率〕,如果設(shè)二、三月份的生產(chǎn)平均增長(zhǎng)率為x,那么首先可以用x表示二、三月份共生產(chǎn)的機(jī)器100〔1+x〕+100〔1+x〕2,然后可得出的方程為100+100〔1+x〕+100〔1+x〕2=364．【答案】100+100〔1+x〕+100〔1+x〕2=364．6.直角三角形的三邊長(zhǎng)是3個(gè)連續(xù)偶數(shù),這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是____________.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)最短邊為2x,那么另外兩邊的長(zhǎng)為2x+2,2x+4,根據(jù)題意得：〔2x〕2+〔2x+2〕2=〔2x+4〕2；化為一般形式為：x2－2x－3=0．解得x1=3,x2=－1〔不合題意,舍去〕故直角三角形的三邊為6,8,10.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一邊長(zhǎng)表示出另外兩邊的長(zhǎng),然后利用勾股定理列出方程即可；【答案】6,8,10能力型師生共研7.一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方,且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3,那么這個(gè)兩位數(shù)為〔〕A．25 B．36 C．25或36 D．－25或－36【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x,那么十位數(shù)字應(yīng)該是x－3,由題意得10〔x－3〕+x=x2,解得x1=5,x2=6；那么這個(gè)兩位數(shù)就應(yīng)該是25或36．【思路點(diǎn)撥】可設(shè)這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)為x,那么十位數(shù)字應(yīng)該是x－3,由一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方,列出一元二次方程求解．【答案】C8.據(jù)統(tǒng)計(jì),2019年全國(guó)公務(wù)員參考人數(shù)為64萬(wàn),2019年為92.7萬(wàn),2019年為96萬(wàn),試求從2019年到2019年每?jī)赡甑钠骄鲩L(zhǎng)率,并估計(jì)按此增長(zhǎng)率2019年參考人數(shù)會(huì)不會(huì)到達(dá)115萬(wàn)？〔〕【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)從2019年到2019年每?jī)赡甑钠骄鲩L(zhǎng)率為x,由題意得64×〔1+x〕2=96,解得x1≈0.2,x2≈－2.2〔不符題意,舍去〕．96×〔1+0.2〕=115.2〔萬(wàn)〕,∵115.2萬(wàn)＞115萬(wàn),∴按此增長(zhǎng)率2019年參考人數(shù)會(huì)到達(dá)115萬(wàn)．【思路點(diǎn)撥】〔1〕2019年全國(guó)公務(wù)員參考人數(shù)×〔1+增長(zhǎng)率〕2=2019年全國(guó)公務(wù)員參考人數(shù),把相關(guān)數(shù)值代入求得適宜的解即可；〔2〕2019年參考人數(shù)=2019年參考人數(shù)×〔1+增長(zhǎng)率〕,算出結(jié)果后與115萬(wàn)比擬即可．【答案】會(huì)探究型多維突破9.隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高及汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的快速開(kāi)展,汽車(chē)已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭,成為居民消費(fèi)新的增長(zhǎng)點(diǎn)．據(jù)某市交通部門(mén)統(tǒng)計(jì),2019年底全市汽車(chē)擁有量為150萬(wàn)輛,而截止到2019年底,全市的汽車(chē)擁有量已達(dá)216萬(wàn)輛．〔1〕求2019年底至2019年底該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率；〔2〕為保護(hù)城市環(huán)境,緩解汽車(chē)擁堵?tīng)顩r,該市交通部門(mén)擬控制汽車(chē)總量,要求到2019年底全市汽車(chē)擁有量不超過(guò)231.96萬(wàn)輛；另?yè)?jù)估計(jì),從2019年初起,該市此后每年報(bào)廢的汽車(chē)數(shù)量是上年底汽車(chē)擁有量的10%．假定每年新增汽車(chē)數(shù)量相同,請(qǐng)你計(jì)算出該市每年新增汽車(chē)數(shù)量最多不能超過(guò)多少萬(wàn)輛．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：〔1〕設(shè)該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x根據(jù)題意,得150〔1+x〕2=216解得x1=0.2=20%,x2=－2.2〔不合題意,舍去〕．〔2〕設(shè)全市每年新增汽車(chē)數(shù)量為y萬(wàn)輛,那么2019年底全市的汽車(chē)擁有量為216×90%+y萬(wàn)輛,2019年底全市的汽車(chē)擁有量為〔216×90%+y〕×90%+y萬(wàn)輛．根據(jù)題意得〔216×90%+y〕×90%+y≤231.96,解得y≤30；【思路點(diǎn)撥】〔1〕設(shè)該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2019年底全市汽車(chē)擁有量為150萬(wàn)輛,而截止到2019年底,全市的汽車(chē)擁有量已達(dá)216萬(wàn)輛可列方程求解．〔2〕設(shè)全市每年新增汽車(chē)數(shù)量為y萬(wàn)輛,那么2019年底全市的汽車(chē)擁有量為216×90%+y萬(wàn)輛,2019年底全市的汽車(chē)擁有量為〔216×90%+y〕×90%+y萬(wàn)輛根據(jù)要求到2019年底全市汽車(chē)擁有量不超過(guò)231.96萬(wàn)輛可列不等式求解．【答案】該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為20%；該市每年新增汽車(chē)數(shù)量最多不能超過(guò)30萬(wàn)輛．10.國(guó)家發(fā)改委公布的?商品房銷(xiāo)售明碼標(biāo)價(jià)規(guī)定?,商品房銷(xiāo)售實(shí)行一套一標(biāo)價(jià)．商品房銷(xiāo)售價(jià)格明碼標(biāo)價(jià)后,可以自行降價(jià)、打折銷(xiāo)售,但漲價(jià)必須重新申報(bào)．某市某樓盤(pán)準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價(jià)對(duì)外銷(xiāo)售,由于新政策的出臺(tái),購(gòu)房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商對(duì)價(jià)格兩次下調(diào)后,決定以每平方米4050元的均價(jià)開(kāi)盤(pán)銷(xiāo)售．〔1〕求平均每次下調(diào)的百分率；〔2〕某人準(zhǔn)備以開(kāi)盤(pán)均價(jià)購(gòu)置一套100平方米的房子,開(kāi)發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷(xiāo)售；②不打折,送兩年物業(yè)管理費(fèi),物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元．請(qǐng)問(wèn)哪種方案更優(yōu)惠？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：〔1〕設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x．5000×〔1－x〕2=4050．〔1－x〕2=0.81,∴1－x=±0.9,∴x1=0.1=10%,x2=1.9〔不合題意,舍去〕．〔2〕方案一的兩年總費(fèi)用為：100×4050×+2×12×1.5×100=400500元；方案二的總費(fèi)用為：100×4050－2×12×1.5×100=401400元；∴方案一優(yōu)惠．【思路點(diǎn)撥】〔1〕關(guān)系式為：原價(jià)×〔1－降低率〕2=現(xiàn)在的價(jià)格,把相關(guān)數(shù)值代入后求得適宜的解即可；〔2〕①費(fèi)用為：總房?jī)r(jià)××平米數(shù)；②求出兩種方案的費(fèi)用并進(jìn)行比擬即可．【答案】平均每次下調(diào)的百分率為10%；方案一優(yōu)惠.自助餐1.一種藥品原價(jià)每盒25元,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒16元．設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x,那么x滿(mǎn)足〔〕A．16〔1+2x〕=25 B．25〔1－2x〕=16 C．16〔1+x〕2=25 D．25〔1－x〕2=16【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為：25×〔1－x〕；第二次降價(jià)后的價(jià)格為：25×〔1－x〕2；∵兩次降價(jià)后的價(jià)格為16元,∴25〔1－x〕2=16．【思路點(diǎn)撥】等量關(guān)系為：原價(jià)×〔1－降價(jià)的百分率〕2=現(xiàn)價(jià),把相關(guān)數(shù)值代入即可．【答案】D．2.要組織一次籃球邀請(qǐng)賽,參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng),方案安排15場(chǎng)比賽,設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,那么x滿(mǎn)足的關(guān)系式為〔〕A．x〔x+1〕=15 B．x〔x－1〕=15 C．x〔x+1〕=15 D．x〔x－1〕=15【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：每支球隊(duì)都需要與其他球隊(duì)賽〔x－1〕場(chǎng),但2隊(duì)之間只有1場(chǎng)比賽,可列方程為：x〔x－1〕=15．【思路點(diǎn)撥】關(guān)系式為：球隊(duì)總數(shù)×每支球隊(duì)需賽的場(chǎng)數(shù)÷2=15,把相關(guān)數(shù)值代入即可．【答案】B．3.某菜農(nóng)2019年的年收入為10萬(wàn)元,預(yù)計(jì)2019年年收入可達(dá)14.4萬(wàn)元,設(shè)平均每年的年收入增長(zhǎng)率為x,那么依題意可列方程為．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)平均每年的年收入增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意2019年的年收入為10〔1+x〕萬(wàn)元,2019年為10〔1+x〕2萬(wàn)元．那么10〔1+x〕2=14.4；【思路點(diǎn)撥】一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×〔1+增長(zhǎng)率〕,2019年的年收入為10〔1+x〕萬(wàn)元,在2019年的根底上再增長(zhǎng)x,就是2019年的年收入,即可列出方程．【答案】10〔1+x〕2=14.4．4.股市規(guī)定：股票每天的漲、跌幅均不超過(guò)10%,即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后,便不能再漲,叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后,便不能再跌,叫做跌停．假設(shè)一支股票某天跌停,之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià),假設(shè)這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x,那么x滿(mǎn)足的方程是．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過(guò)程】解：設(shè)這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x,由題意得〔1－10%〕〔1+x〕2=1．【思路點(diǎn)撥】股票一次跌停就跌到原來(lái)價(jià)格的90%,再?gòu)?0%的根底上漲到原來(lái)的價(jià)格,且漲幅只能≤10%,設(shè)這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x,每天相對(duì)于前一天就上漲到1+x,由此列出方程解答即可．【答案】〔1－10%〕〔1+x〕2=1．5.甲乙兩件服裝的進(jìn)價(jià)共500元,商場(chǎng)決定將甲服裝按30%的利潤(rùn)定價(jià),乙服裝按20%的利潤(rùn)定價(jià),實(shí)際出售時(shí),兩件服裝均按9折出售,商場(chǎng)賣(mài)出這兩件服裝共獲利67元．〔1〕求甲乙兩件服裝的進(jìn)價(jià)各是多少元；〔2〕由于乙服裝暢銷(xiāo),制衣廠經(jīng)過(guò)兩次上調(diào)價(jià)格后,使乙服裝每件的進(jìn)價(jià)到達(dá)242元,求每件乙服裝進(jìn)價(jià)的平均增長(zhǎng)率；〔3〕假設(shè)每件乙服裝進(jìn)價(jià)按平均增長(zhǎng)率再次上調(diào),商場(chǎng)仍按9折出售,定價(jià)至少為多少元時(shí),乙服裝才可獲得利潤(rùn)〔定價(jià)取整數(shù)〕．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；【解題過(guò)程】解：〔1〕設(shè)甲服裝的進(jìn)價(jià)為x元,那么乙服裝的進(jìn)價(jià)為〔5