2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 4-2直線與圓錐曲線的綜合問題 課件70張

第二章4.2直線與圓錐曲線的綜合問題基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.能從方程聯立的角度理解直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線的位置關系(相交、相切、相離).2.會求有關圓錐曲線的弦長、過焦點的弦、中點弦等問題.3.逐步學會直線與圓錐曲線的綜合性問題(定點、定值、最值、存在性等問題).基礎落實·必備知識全過關知識點1

直線與圓錐曲線的位置關系1.從幾何角度看,可分為三類:沒有公共點,僅有一個公共點及有兩個不同的公共點.2.從代數角度看,可通過將表示直線的方程代入圓錐曲線的方程消元后所得方程解的情況來判斷直線與圓錐曲線的位置關系.設直線l的方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0),圓錐曲線方程f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.(1)若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線對稱軸平行(或重合).(2)若a≠0,設Δ=b2-4ac.當Δ

0時,直線和圓錐曲線相交于不同的兩點;

當Δ

0時,直線和圓錐曲線相切于一點;

當Δ

0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.

名師點睛在使用根的判別式判斷位置關系時一定注意討論二次項系數是否為0,點斜式設直線時注意考慮斜率是否存在.>=<過關自診1.[人教B版教材習題]舉例說明,直線與拋物線只有一個公共點不是它們相切的充分條件.提示

例如拋物線y2=4x與直線y=1只有一個公共點,但它們相交.2.[人教B版教材習題]已知直線l:y=kx+2和橢圓C:=1.分別求直線l與橢圓C有兩個公共點、只有一個公共點和沒有公共點時k的取值范圍.知識點2

直線與圓錐曲線相交時的弦長問題1.斜率為k(k不為0)的直線與圓錐曲線交于點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長|P1P2|=

或|P1P2|=

.

2.當斜率k不存在時,可求出交點坐標,直接運算(用兩點間的距離公式).3.焦點弦:過圓錐曲線焦點的弦叫作焦點弦.4.通徑:若焦點弦垂直于焦點所在的圓錐曲線的對稱軸,此時焦點弦也叫通徑.名師點睛當直線的斜率不存在時,不能用弦長公式解決問題,此時過關自診[人教B版教材習題]已知直線x-2y+2=0與橢圓x2+4y2=4相交于A,B兩點,求線段AB的長.知識點3

圓錐曲線的中點弦問題

點差法是解決“中點弦”問題的特殊方法名師點睛因為Δ>0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件,故在求解有關弦長、對稱問題時,務必要檢驗Δ>0.過關自診1.[人教B版教材習題]已知斜率為2的直線AB過拋物線y2=8x的焦點,求弦AB的長.2.[人教B版教材習題]已知直線l:y=x-3與拋物線C:x2=-8y相交于A,B兩點,且O為坐標原點.(1)求弦長|AB|以及線段AB的中點坐標;(2)判斷

是否成立,并說明理由.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一直線與圓錐曲線的位置關系【例1】

(1)若直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k的值為(

)A.1 B.1或3 C.0 D.1或0D解析

由

得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,則直線為y=2,與拋物線只有一個公共點,符合題意.若k≠0,則Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點時,k=0或1.(2)已知直線y=kx-k+1與橢圓C:x2+my2=3恒有公共點,則實數m的取值范圍是

.

(0,1)∪(1,2]

解析

∵曲線x2+my2=3表示橢圓,∴m>0且m≠1,由題意可知直線恒過定點(1,1),且該點在橢圓內或在橢圓上,所以有1+m≤3,解得m≤2,∴m的取值范圍為(0,1)∪(1,2].規(guī)律方法

直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法用直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的解的個數,可以研究直線與圓錐曲線的位置關系,即用代數法研究幾何問題,這是解析幾何的重要思想方法,直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點問題,實際上是研究方程組解的個數問題.A(2)已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點分別為A1,A2,動直線l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x2-x1的最小值為(

)A探究點二圓錐曲線中的弦長、中點弦問題(1)求橢圓的方程;角度2.中點弦問題【例3】

(1)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),斜率為1的直線與C交于兩點A,B,若線段AB的中點為(4,1),則雙曲線C的漸近線方程是(

)B(2)已知P(1,1)為橢圓

=1內一定點,經過P引一條弦,使此弦被P點平分,則此弦所在的直線方程為

.

x+2y-3=0解析

(方法一)易知此弦所在直線的斜率存在,∴設其方程為y-1=k(x-1),弦所在的直線與橢圓相交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2).(方法二)易知此弦所在直線的斜率存在,∴設斜率為k,弦所在的直線與橢圓相交于A,B兩點,規(guī)律方法

處理中點弦問題常用的求解方法(1)點差法:即設出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率.(2)根與系數的關系:即聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數的關系求解.(2)已知橢圓C的焦點分別為F1(-2,0)和F2(2,0),長軸長為6,設直線y=x+2交橢圓C于A,B兩點,求線段AB的中點坐標.探究點三圓錐曲線中的定點或定值問題角度1.定點問題【例4】

已知橢圓

=1(a>b>0)過點(0,1),其長軸長與短軸長的平方和是焦距的平方的2倍.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q,P,與橢圓分別交于點M,N,各點均不重合且滿足(1)求橢圓的標準方程;(2)若λ1+λ2=-3,試證明:直線l過定點,并求此定點.(1)解

設橢圓的焦距為2c,由題意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,∴a2=3.∴橢圓的標準方程為

+y2=1.規(guī)律方法

定點問題的探索與證明(1)探索直線過定點時,可先設直線方程為y=kx+b,再利用條件建立b,k的等量關系進行消元,借助于直線系的思想找出定點.(2)從特殊情況入手,先探求定點,再證明與變量無關.(1)求橢圓C的方程;(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A,B,點P是直線x=1上的動點,直線PA與橢圓的另一交點為M,直線PB與橢圓的另一交點為N.求證:直線MN經過一定點.角度2.定值問題【例5】

如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點,過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點).(1)證明:動點D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點N1,與(1)中的定直線相交于點N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.(1)證明

依題意可設直線AB的方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8,解

依題設,切線l的斜率存在且不等于0.設切線l的方程為y=ax+b(a≠0),將其代入x2=4y,得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0.由Δ=0,得(4a)2+16b=0,化簡整理得b=-a2.故切線l的方程可寫為y=ax-a2.規(guī)律方法

求定值問題常見的兩種方法(1)先從特殊情況入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.變式訓練5已知A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點,E,F為拋物線上異于點A的兩點,且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數.(1)求直線EF的斜率;(2)由題意可設直線l的方程為l:x=ty+m,P(x3,y3),Q(x4,y4),N(-m,0),把直線l的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.探究點四圓錐曲線中的最值或范圍問題【例6】

在平面直角坐標系xOy中,△ABC的周長為12,AB,AC邊的中點分別為F1(-1,0)和F2(1,0),點M為BC邊的中點.(1)求點M的軌跡方程;(2)設點M的軌跡為曲線T,直線MF1與曲線T另一個交點為N,線段MF2中點規(guī)律方法

圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)求橢圓的方程;(2)過點(1,0)的直線l與C交于M,N兩點,P為線段MN的中點,A為C的左頂點,求直線PA的斜率k的取值范圍.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)直線與圓錐曲線的位置關系.(2)圓錐曲線中的弦長及中點弦問題.(3)定點與定值問題.(4)最值或范圍問題.2.方法歸納:定義法、函數法、整體代換.3.常見誤區(qū):直線與圓錐曲線聯立后化簡不正確,忽略二次項系數為零的特殊情況.成果驗收·課堂達標檢測123451.已知橢圓

以及橢圓內一點P(4,2),則以P為中點的弦所在直線的斜率為(

)B123452.(多選題)[2023廣東佛山高二統考期末]已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線與拋物線C交于A,B兩點,且A在x軸上方,過A,B分別作拋物線C的準線l的垂線,垂足分別為A',B',則(

)A.OA⊥OBB.若|AF|=5,則A的縱坐標為4D.以A'B'為直徑的圓與直線AB相切于FBCD1234512345123453.拋物線y2=4x上不同兩點A,B(異于原點O),若