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學(xué)習(xí)任務(wù)1.了解空間直角坐標(biāo)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)的概念.(直觀想象)3.能在空間直角坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01(1)如圖所示,怎樣才能刻畫地球的衛(wèi)星在空間中的位置?(2)在直線上建立數(shù)軸后,就可以用一個(gè)數(shù)刻畫點(diǎn)在直線上的位置;平面向量中,我們借助平面向量基本定理以及兩個(gè)互相垂直的單位向量,引進(jìn)了平面向量的坐標(biāo).空間向量是否可以引進(jìn)類似的坐標(biāo)?知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系(1)建系:在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以_______的方向?yàn)檎较?,以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系.i,j,k(2)有關(guān)概念坐標(biāo)軸__軸、__軸、__軸原點(diǎn)點(diǎn)__坐標(biāo)向量__,__,__坐標(biāo)平面____平面、____平面和____平面,它們把空間分成__個(gè)部分xyzOijkOxyOyzOxz八(3)建系的常用規(guī)則①畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.②在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向___的正方向,食指指向___的正方向,如果中指指向___的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.x軸y軸z軸
xi+yj+zk(x,y,z)xyz
思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)空間直角坐標(biāo)系中x軸與y軸的夾角為45°. (
)提示:空間直角坐標(biāo)系中,三條坐標(biāo)軸相互垂直.(2)空間直角坐標(biāo)系中有三個(gè)坐標(biāo)平面,它們把空間分成四個(gè)部分. (
)提示:空間直角坐標(biāo)系中,三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成8個(gè)部分.(3)在空間中可建立無數(shù)個(gè)空間直角坐標(biāo)系. (
)提示:原點(diǎn)位置不同,就得到不同的空間直角坐標(biāo)系.××√
××√√關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)類型2求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)類型3求空間向量的坐標(biāo)
類型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)【例1】長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的長(zhǎng)、寬、高分別為|AB|=8,|AD|=3,|AA′|=5.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并求頂點(diǎn)A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐標(biāo).[解]
如圖所示,以A為原點(diǎn),分別以有向直線AB,AD,AA′為x軸、y軸、z軸的正方向,以1為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則點(diǎn)A,B,C,D都在平面xAy內(nèi),因而其豎坐標(biāo)z都為0,因此A,B,C,D的坐標(biāo)分別是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).由于點(diǎn)A′,B′,C′,D′都在一個(gè)垂直于z軸的平面A′B′C′D′內(nèi),又|AA′|=5,所以這四點(diǎn)的豎坐標(biāo)z都是5.又過A′,B′,C′,D′分別作xAy平面的垂線,垂足分別為A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y分別與A,B,C,D的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y相同.因此A′,B′,C′,D′的坐標(biāo)分別是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5).反思領(lǐng)悟
1.若已給出坐標(biāo)系,不用再建系,若未給出坐標(biāo)系,建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則:(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);(2)充分利用幾何圖形的對(duì)稱性.2.求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),一般先找這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影,確定其兩個(gè)坐標(biāo),再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào))進(jìn)而確定第三個(gè)坐標(biāo).[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.在棱長(zhǎng)均為2a的正四棱錐P-ABCD中,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(1)寫出正四棱錐P-ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)寫出棱PB的中點(diǎn)M的坐標(biāo).
類型2求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)【例2】在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,1,4).(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);[解]
由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后,它在x軸的分量不變,在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),所以對(duì)稱點(diǎn)為P1(-2,-1,-4).(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);[解]
由于點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對(duì)稱后,它在x軸、y軸的分量不變,在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),所以對(duì)稱點(diǎn)為P2(-2,1,-4).(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2,-1,-4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).[解]
設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x,y,z),則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).發(fā)現(xiàn)規(guī)律
點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)軸,坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?提示:關(guān)于誰對(duì)稱,誰保持不變,其余坐標(biāo)相反,如點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y,-z),關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,z).
(-3,-2,-1)
(3,-2,-1)(5,2,3)
反思領(lǐng)悟
用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)03
1234
√12342.已知點(diǎn)A(3,2,-3),則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(
)A.(-3,-2,3) B.(-3,2,-3)C.(-3,2,3) D.(-3,-2,-3)C
[點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱后,它在y軸上的分量不變,在x軸,z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,2,3).]√1234
√1234
(1,0,0)(1,0,1)回顧本節(jié)知識(shí),自主完成以下問題:1.在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標(biāo)系?提示:(1)觀察圖形,尋找兩兩垂直的三條直線,必要時(shí)作輔助線.(2)讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).(3)充分利用幾何圖形的對(duì)稱性.2.如何確定空間一點(diǎn)P的坐標(biāo)?提示:先將P投射(沿與z軸平行的方向)到Oxy平面上的一點(diǎn)P1,由P1P的
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