三角函數(shù)的概念同角三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式

學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二章三角函數(shù)及三角恒等變換撰稿人：三人行教育陳結(jié)剛【知識(shí)導(dǎo)讀】任意角任意角的概念角度制與弧度制任意角的三角函數(shù)弧長與扇形面積公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)和角公式差角公式幾個(gè)三角恒等式倍角公式同角三角函數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式正弦定理與余弦定理解斜三角形及其應(yīng)用化簡、計(jì)算、求值與證明【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它與數(shù)學(xué)的其它部分如解析幾何、立體幾何及向量等有著廣泛的聯(lián)系，同時(shí)它也提供了一種解決數(shù)學(xué)問題的重要方法——“三角法”．這一部分的內(nèi)容，具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：1．公式多.公式雖多，但公式間的聯(lián)系非常密切，規(guī)律性強(qiáng).弄清公式間的相互聯(lián)系和推導(dǎo)體系，是記住這些公式的關(guān)鍵.2．思想方法豐富.化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論和函數(shù)與方程的思想貫穿于本單元的始終，類比的思維方法在本單元中也得到充分的應(yīng)用.如將任意角的三角函數(shù)值的問題化歸為銳角的三角函數(shù)的問題，將不同名的三角函數(shù)問題化成同名的三角函數(shù)的問題，將不同角的三角函數(shù)問題化成同角的三角函數(shù)問題等.3．變換靈活.有角的變換、公式的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換、三角函數(shù)表達(dá)形式的變換及一些常量的變換等，并且有的變換技巧性較強(qiáng).4．應(yīng)用廣泛.三角函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其它知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)非常多，它是解決立體幾何、解析幾何及向量問題的重要工具，并且這部分知識(shí)在今后的學(xué)習(xí)和研究中起著十分重要的作用，比如在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)及其它各門科學(xué)技術(shù)都有廣泛的應(yīng)用.第一節(jié)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式【基礎(chǔ)知識(shí)】1、角的概念：．（正角：逆時(shí)針；負(fù)角：順時(shí)針；零角）；2、象限角：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，則終邊落在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限的角.（終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個(gè)象限；）3、終邊相同的角：與α角終邊相同的角的集合（連同α角在內(nèi)），可記為S={＝k·360＋α，k∈Z}．4、區(qū)域角和對(duì)頂角的表示： α αS={k·360＋α≤≥k·360＋，k∈Z}．S={k·180＋α≤≥k·180＋，k∈Z}．5、弧度的定義：把長度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角定義為1弧度的角；弧度與角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）6、弧長公式：.扇形面積公式：7、任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則；；（從定義中不難得出：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域?yàn)镽；正切函數(shù)的定義域?yàn)椋?、掌握判斷三角函數(shù)值的符號(hào)的規(guī)律，熟記特殊角的三角函數(shù)值．①符號(hào)可以簡記為：一正（第一象限內(nèi)全為正值），二正弦（第二象限內(nèi)只有正弦值為正），三切（第三象限只有正切值為正），四余弦（第四象限內(nèi)只有余弦值為正）．②熟記、、、、的三角函數(shù)值，三角函數(shù)線三角函數(shù)線9、三角函數(shù)線：正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.10.同角三角函數(shù)關(guān)系式：sin2α+cos2α=1（平方關(guān)系）；=tanα（商數(shù)關(guān)系）；11、誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).【基礎(chǔ)練習(xí)】1．化成的形式是．第二或第四象限2．已知為第三象限角，則所在的象限是．第二或第四象限3．已知角的終邊過點(diǎn)，則=，=．正4．的符號(hào)為．正5．已知角的終邊上一點(diǎn)（），且，求，的值．解：由三角函數(shù)定義知，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．【范例解析】例1.如圖，，分別是終邊落在，位置上的兩個(gè)角，且，．（1）求終邊落在陰影部分（含邊界）時(shí)所有角的集合；（2）終邊落在陰影部分，且在區(qū)間時(shí)所有角的集合；（3）求始邊在位置上，終邊在位置上所有角的集合．解：（1）；（2）；（3），．點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)中應(yīng)注意文字語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化；第（3）問要注意角的方向．例2.（1）已知角的終邊經(jīng)過一點(diǎn)，求的值；（2）已知角的終邊在一條直線上，求，的值．分析：利用三角函數(shù)定義求解．解：（1）由已知，．當(dāng)時(shí)，，，，則；當(dāng)時(shí)，，，，則．（2）設(shè)點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，則；當(dāng)時(shí)，角是第一象限角，則；當(dāng)時(shí)，角是第三象限角，則．點(diǎn)評(píng)：要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．例3.（1）若，則在第_____________象限．（2）若角是第二象限角，則，，，，中能確定是正值的有____個(gè)．解：（1）由，得，同號(hào)，故在第一，三象限．（2）由角是第二象限角，即，得，，故僅有為正值．點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確表示角的范圍，由此確定三角函數(shù)的符號(hào)．例4.一扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？分析：選取變量，建立目標(biāo)函數(shù)求最值．解：設(shè)扇形的半徑為x㎝，則弧長為㎝，故面積為，當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)，，，所以當(dāng)弧度時(shí)，扇形面積最大25．點(diǎn)評(píng)：由于弧度制引入，三角函數(shù)就可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)．【反饋演練】二1．若且則在第_______象限．二三2．已知，則點(diǎn)在第________象限．三3．已知角是第二象限，且為其終邊上一點(diǎn)，若，則m的值為_______．4．將時(shí)鐘的分針撥快，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度為．5．若，且與終邊相同，則=．6．已知1弧度的圓心角所對(duì)的弦長2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長是_______，這個(gè)圓心角所在的扇形的面積是___________．三7．已知，，則點(diǎn)在第象限．三8．已知，角的終邊與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則角的集合為____________________．三9．設(shè)是第二象限角，且滿足，則是第_______象限的角．三10．（1）已知扇形的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積．（2）若扇形的面積為8，當(dāng)扇形的中心角為多少弧度時(shí)，該扇