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董秋仙主講線性代數(shù)1精選2021版課件線性代數(shù)行列式矩陣向量空間線性方程組相似變換及其二次型2精選2021版課件
n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行(列)展開(kāi)克萊姆法則第一章行列式3精選2021版課件第一節(jié)、行列式的概念
二階和三階行列式
n階行列式的定義
幾種特殊的行列式4精選2021版課件二階行列式一、二階和三階行列式設(shè)二元線性方程組
用消元法解得
令
稱為二階行列式5精選2021版課件同理引進(jìn)三階行列式三元線性方程組
D=6精選2021版課件把n個(gè)不同元素排成一列稱為這n個(gè)元素的全排列。(簡(jiǎn)稱排列)用Pn表示所有排列的種數(shù)。定義稱在n!種排列中從小到大次序的那個(gè)排列為自然排列(或標(biāo)準(zhǔn)排列).注意:不失一般性,我們將n個(gè)元素看成n個(gè)自然數(shù),7精選2021版課件一個(gè)排列的逆序總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。
在一個(gè)排列中,如果一個(gè)大的數(shù)排在小的數(shù)之前,就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。例如
排列312有2個(gè)逆序,即31;32定義8精選2021版課件分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和,即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù),這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法例如求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為1;5的前面沒(méi)有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序數(shù)為1;9精選2021版課件32514于是排列32514的逆序數(shù)為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。定義例如:排列312的逆序數(shù)為2,故它是偶排列。10精選2021版課件3)當(dāng)每項(xiàng)第一個(gè)下標(biāo)按自然排列時(shí),該項(xiàng)前面正負(fù)號(hào)取決于第二個(gè)下標(biāo)排列的奇偶性。1)二階行列式有2!=2項(xiàng),三階行列式有3!=6項(xiàng)。2)每項(xiàng)都是分別來(lái)自不同的行,不同的列之元素的乘積。特點(diǎn):11精選2021版課件作出表中位于不同的行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積,并冠以符號(hào)得到形如二、n階行列式的定義定義12精選2021版課件這樣的排列共有n!個(gè),因而形如上式共有n!項(xiàng),所有這n!項(xiàng)的代數(shù)和稱為n階行列式.記為:簡(jiǎn)記為13精選2021版課件特別:當(dāng)n=1時(shí),一階行列式不要與絕對(duì)值符號(hào)相混淆。當(dāng)n=2、3時(shí),與前面定義的二、三階行列式一致。行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;14精選2021版課件注意:n階行列式還可以定義為是自然數(shù)1,2,3……n的一個(gè)排列,式中把列標(biāo)排成一個(gè)自然排列.15精選2021版課件證:三、幾種特殊的行列式1)主對(duì)角行列式16精選2021版課件證:依行列式的定義2)副對(duì)角行列式17精選2021版課件證:故D中可能不為0的元素在所有排列其下標(biāo)應(yīng)有能滿足上述關(guān)系的3)下三角行列式排列只有一個(gè)自然排列12……n,所以D不可能為零的項(xiàng)只有一項(xiàng)此時(shí)t=018精選2021版課件分析:展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是所以不為零的項(xiàng)只有4)
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