《樂律全書》談《淮南子》之下生及上生法

1-《樂律全書》談《淮南子》之下生及上生法(10)上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112何世強HoSaiKeung提要：明?朱載堉著《樂律全書》四十二卷，該書卷四談及《淮南子》十二律長之上生及下生之法，其法比傳統(tǒng)之“三分損益法”佳，但不明其下生及上生數(shù)之來源。關(guān)鍵詞：十二律淮南子極不生第1節(jié)《樂律全書》作者朱載堉簡介朱載堉﹝公元1536年至1611年﹞，字伯勤，號句曲山人，年青時曾自號“狂生”、“山陽酒狂仙客”。明宗室鄭恭王朱厚烷嫡子，出生於懷慶（今河南沁陽）。明仁宗第二子鄭靖王朱瞻埈之後，明太祖朱元璋之九世孫，明成祖朱棣之八世孫，明仁宗朱高熾之七世孫。早年即從外戚何瑭習天文、算術(shù)。朱載堉乃明律學家、音樂家、數(shù)學家，發(fā)明“十二平均律”。其著作有《樂律全書》、《律呂正論》、《律呂質(zhì)疑辨惑》、《嘉量算經(jīng)》、《律呂精義》、《律曆融通》、《算學新說》、《瑟譜》等。第2節(jié)《淮南子》十二律之“下生”與“上生”算法《樂律全書?卷四》記載西漢?劉安《淮南子》十二律之下生與上生法，其下生數(shù)為500749，其上生數(shù)為1000749，朱載堉無說明以上之下生數(shù)及上生數(shù)之來源?！痘茨献?天文訓》曰：故律曆之數(shù)，天地之道也。下生者倍即乘以即乘以2。照此看來，《淮南子》所用之下生數(shù)為23，其上生數(shù)為43，與傳統(tǒng)相同。下生為“損”，上生為“益”，分子為三，故曰“三分損益法”?！稑仿扇珪吩啤痘茨献印匪弥律鷶?shù)500749=0.6675567比23=0.6666667略大，其上生數(shù)1000749=1.3351135亦比43=《淮南子?天文訓》曰：黃鍾為宮，宮者，音之君也，故黃鍾亦作“鐘”?！痘茨献印分f可列成簡表如下：十二律律數(shù)月份配月份上/下生黃鍾8111十一月下生林鍾林鍾546六月上生太蔟太蔟721正月下生南呂南呂488八月上生姑洗姑洗643三月下生應鍾應鍾42以43較準確。10十月上生蕤賓蕤賓575五月上生大呂大呂7612十二月下生夷則夷則517七月上生夾鍾夾鍾682二月下生無射無射459九月上生仲呂仲呂604四月極不生以下為以月份排序：十二律律數(shù)月份配月份上/下生太蔟721正月下生南呂夾鍾682二月下生無射姑洗643三月下生應鍾仲呂604四月極不生蕤賓575五月上生大呂林鍾546六月上生太蔟夷則517七月上生夾鍾南呂488八月上生姑洗無射459九月上生仲呂應鍾4210十月上生蕤賓黃鍾8111十一月下生林鍾大呂7612十二月下生夷則《晉書?志第六?律曆上》曰：時淮南王安延致儒博，亦為律呂。云黃鍾之律九寸而宮音調(diào)，因而九之，九九八十一(81)，故黃鍾之數(shù)立焉，位在子。林鍾位在未，其數(shù)五十四(54)。太蔟其數(shù)七十二(72)，南呂之數(shù)四十八(48)，姑洗之數(shù)六十四(64)，應鍾之數(shù)四十二(42)，蕤賓之數(shù)五十七(57)，大呂之數(shù)七十六(76)，夷則之數(shù)五十一(51)，夾鍾之數(shù)六十八(68)，無射之數(shù)四十五(45)，中呂之數(shù)六十(60)，極不生?！稑仿扇珪?卷四》認為《淮南子》十二律配十二辰如下表所示：十二律律數(shù)位於配月份上/下生黃鍾81子十一月下生林鍾林鍾54未六月上生太蔟太蔟72寅正月下生南呂南呂48酉八月上生姑洗姑洗64辰三月下生應鍾應鍾42亥十月上生蕤賓蕤賓57午五月上生大呂大呂76丑十二月下生夷則夷則51申七月上生夾鍾夾鍾68卯二月下生無射無射45戌九月上生仲呂仲呂60巳四月極不生又《宋書?卷十一?志第一?志序?曆上》曰：鍾以三成，故置一而三之，凡積分十七萬七千一百四十七，為黃鍾之實。故黃鍾位子，主十一月，下生林鍾。林鍾之數(shù)五十四，主六月，上生太蔟。太蔟之數(shù)七十二，主正月，下生南呂。南呂之數(shù)四十八，主八月，上生姑洗。姑洗之數(shù)六十四，主三月，下生應鍾。應鍾之數(shù)四十三，主十月，上生蕤賓。蕤賓之數(shù)五十七，主五月，上生大呂。大呂之數(shù)七十六，主十二月，下生夷則。夷則之數(shù)五十，主七月，上生夾鍾。夾鍾之數(shù)六十七，主二月，下生無射。無射之數(shù)四十五，主九月，上生中呂。中呂之數(shù)六十，主四月，極不生。“積分十七萬七千一百四十七”指311=177147，此數(shù)之來源可參閱筆者另文〈《樂律全書》之地支數(shù)與律數(shù)算法之關(guān)係(8)〉。以下為《樂律全書》談《淮南子》各律之算式：﹝一﹞今設(shè)黃鍾八十一分﹝或作8110寸﹞。﹝二﹞黃鍾下生林鍾，林鍾=500749×黃鍾即林鍾=500749×81分=40500749分=54.07209613分=54﹝或作5410寸﹞《樂律全書?卷四》曰：舊法置八十一分為實，下生者以五百乘之，得四萬○五百分，以七百四十九為法除之，得五十四分為林鍾，餘數(shù)在半分以下棄之不用?！皩崱敝副怀龜?shù)或分子，“法”指除數(shù)或分母，“餘數(shù)”指小數(shù)點後之數(shù)，末句指四捨五入取整數(shù)，餘數(shù)在0.5分以下捨去﹝即捨去0.07209613，下同﹞。﹝三﹞林鍾上生太蔟，太蔟=1000749×即太蔟=1000749×54分=54000749=72.09612817分=72﹝或作7210寸﹞舊法置五十四分為實，上生者以一千乘之，得五萬四千分，以七百四十九為法除之，得七十二分為太蔟，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝四﹞太蔟下生南呂，即南呂=500749×太蔟即南呂=500749×72分=36000749=48.06408545分=48﹝或作4810寸﹞舊法置七十二分為實，下生者以五百乘之，得三萬六千分，以七百四十九為法除之，得四十八分為南呂，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝五﹞南呂上生姑洗，即姑洗=1000749×南呂即姑洗=1000749×48分=48000749分=64.08544726分=64﹝或作6410寸﹞舊法置六十四分為實，上生者以一千乘之，得四萬八千分，以七百四十九為法除之，得六十四分為姑洗，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝六﹞姑洗下生應鍾，即應鍾=500749×姑洗即應鍾=500749×64分=32000749分=42.72363151分=43﹝或作4310寸﹞舊法置六十四分為實，下生者以五百乘之，得三萬二千分，以七百四十九為法除之，得四十二分，餘數(shù)在半分以上，取之以四十三分為應鍾。餘數(shù)在0.5分以上﹝即0.72363151進成1﹞，取43為應鍾之律。﹝七﹞應鍾上生蕤賓，即蕤賓=1000749×應蕤賓=1000749×43分=43000749分=57.40987984分=57﹝或作5710寸﹞舊法置四十三分為實，上生者以一千乘之，得四萬三千分，以七百四十九為法除之，得五十七分為蕤賓，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝八﹞蕤賓上生大呂，即大呂=1000749×蕤賓大呂=1000749×57分=57000749分=76.10146862分=76﹝或作7610寸﹞舊法置五十七分為實，上生者以一千乘之，得五萬七千分，以七百四十九為法除之，得七十六分為大呂，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝九﹞大呂下生夷則，即夷則=500749×大呂即夷則=500749×76分=38000749分=50.73431242分=51﹝或作5110寸﹞舊法置七十六分為實，下生者以五百乘之，得三萬八千分，以七百四十九為法除之，得五十分，餘數(shù)在半分以上，取之以五十一分為夷則。﹝十﹞夷則上生夾鍾，即夾鍾=1000749×夷則即夾鍾=1000749×51分=51000749分=68.09078772分﹝或作6810寸﹞舊法置五十一分為實，上生者以一千乘之，得五萬一千分，以七百四十九為法除之，得六十八分為夾鍾，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝十一﹞夾種下生無射，即無射=500749×夾種即無射=500749×68分=34000749分=45.39385848分=45﹝或作4510寸﹞舊法置六十八分為實，下生者以五百乘之，得三萬四千分，以七百四十九為法除之，得四十五分為無射，餘數(shù)在半分以下棄之不用。﹝十一﹞無射上生仲呂，即仲呂=1000749×無射即仲呂=1000749×45分=45000749分=60.369952638分=60﹝或作6寸﹞。舊法置四十五分為實，上生者以一千乘之，得四萬五千分，以七百四十九為法除之，得六十分為仲呂，餘數(shù)在半分以下棄之不用。先算出1000749×60分=80.10680908分，此數(shù)非常接近黃鍾律81從上式可知仲呂上生不能得黃鍾，是為“極不生”?！皹O”，盡也；“不生”指不能上生黃鍾也。以下為《樂律全書?卷四》原文：《樂律全書》原文云黃鍾81分，可寫成8110寸﹝見上圖﹞，仍為10進制數(shù)，其他律亦如是第3節(jié)修正《淮南子》十二律之“下生”與“上生”算法若以小數(shù)八位算，則情況略為不同，最後仲呂上生數(shù)四捨五入後可得黃鍾數(shù)，可算“極能生”，如下表所示﹝單位分﹞：十二律“下生”與“上生”小數(shù)八位取整數(shù)黃鍾8181.0000000081林鍾500749×854.0720961354太蔟1000749×572.1923846872南呂500749×48.1925131448姑洗1000749×64.3424741564應鍾500749×42.9522524443蕤賓1000749×57.3461314357大呂1000749×76.5635933677夷則500749×51.1105429651夾鍾1000749×68.2383751268無射500749×45.55298740046仲呂1000749×60.81840777461若仲呂再上生，得1000749×60.818407774=81.19947633﹝分﹞，取整數(shù)得81，是為黃鍾律，即重返黃鍾，是為“極能生”，或“往而能返”《樂律全書?卷四》曰：舊法以為“極不生”者，言不復上生黃鍾也。同書同章曰：惟《淮南子》及《晉》、《宋》書所載，此法獨非三分損益，蓋與新法頗同?！痘茨献印诽峒叭謸p益，無提及下生數(shù)為500749，上生數(shù)為1000749，無論如何，此兩數(shù)依筆者之算法，可以若黃鍾為81分，依三分損益法計算“上生”與“下生”，如下表所示：十二律“下生”與“上生”﹝單位分﹞四捨五入數(shù)黃鍾8181林鍾81×2354太蔟54×472南呂72×248姑洗48×464應鍾64×23=12843蕤賓1283×43=57大呂5129×43=204876夷則204827×23=409651夾鍾409681×43=1638467無射16384243×23=45仲呂32768729×43=60仲呂上生之數(shù)為60×43=80﹝分﹞，此數(shù)非81，即仲呂不能上生黃鍾，即“極不生”。由於此原因，遂令西漢?淮南王劉安積極尋找另一上生與下生之數(shù)，使仲呂能上生黃鍾，其後劉安尋得下生數(shù)為500749，上生數(shù)為1000749，此兩數(shù)合符要求，下表為三法之綜合表：十二律下生數(shù)為500749，上生數(shù)為1000749﹝下生數(shù)為23，上生數(shù)為原文算法取整數(shù)精確算法小數(shù)八位精確算法取整數(shù)取整數(shù)

﹝單位分﹞黃鍾8181.000000008181林鍾5454.072096135454太蔟7272.192384687272南呂4848.192513144848姑洗6464.342474156