概率與數(shù)列遞推30題（馬爾科夫鏈）

錯誤之處+Q2531478713反饋給我概率與數(shù)列遞推30題（馬爾科夫鏈）人教A版數(shù)學(xué)《選擇性必修三》【P81】如圖，一個質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每隔1ｓ等可能地向左或向右移動一個單位，共移動６次．求下列事件的概率.（1）質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)；（2）質(zhì)點(diǎn)位于４的位置．【解析】（1）質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)，說明質(zhì)點(diǎn)向左、向右各移動３次，其對應(yīng)的概率；（2）質(zhì)點(diǎn)位于４的位置，說明質(zhì)點(diǎn)向左移動１次，向右移動５次，其對應(yīng)的概率.【P91】甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第１次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人．求次傳球后球在甲手中的概率．【解析】記第次傳球后球在甲手中的概率為，則第次傳球后球在甲手中的概率為，開始時球在甲手中，則．若第次傳球后球在甲手中，則第次傳球后球不在甲手中，即第次傳球后球在乙或丙手中，所以第次傳球后球不在甲手中的概率為，又乙或丙在第次把球傳到甲手上的概率為，于是有，即，，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為得等比數(shù)列，所以，所以.

1.（單選）設(shè)一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．【詳解】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是，.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的，∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當(dāng)時，，故選：D.2.甲乙二人輪流擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，由甲先擲.規(guī)定:若甲出1點(diǎn)，則由甲繼續(xù)擲，否則下一次由乙擲；若乙擲出3點(diǎn)，則由乙繼續(xù)擲，否則下一次由甲擲.兩人始終按此規(guī)則進(jìn)行.記第次由甲擲的概率為，則，.【解析】“甲擲到1點(diǎn)”或“乙擲到3點(diǎn)”的概率為，“甲未擲到1點(diǎn)”或“乙未擲到3點(diǎn)”的概率為，設(shè)第次由甲擲的概率為，則由乙擲的概率為，第一次由甲擲，故第二次由甲的概率，于是，第次由甲擲的概率為，所以，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，當(dāng)，時也滿足上式，于是，.當(dāng)時，.3.某種質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個面上分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，將這個玩具拋擲次，記第次拋擲后玩具與桌面接觸的面上所標(biāo)的數(shù)字為，數(shù)列的前和為．記是3的倍數(shù)的概率為．（1）求，；（2）求．解：（1）拋擲一次，一共有個結(jié)果，出現(xiàn)一個0和一個3時符合要求，故，拋擲兩次，一共有個結(jié)果，出現(xiàn)，，，，，時，符合要求，故計6種情況，故．（2）設(shè)被3除時余1的概率為，被3除時余2的概率為，則，①，②，③①②③，得：，化簡，得，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得．

4.（2023·佛山二模）有個編號分別為的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是，從第個盒子中取到白球的概率是.【答案】記事件表示從第個盒子中取出白球，則，，，，，，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.5.（2023·唐山調(diào)研）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，?次由甲傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設(shè)第次傳球后球在甲手中的概率為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D.【答案】表示第次傳球后球在甲手中的概率，所以，A選項(xiàng)正確.表示第次傳球后球在甲手中的概率，則，B選項(xiàng)錯誤.，即，C選項(xiàng)正確.，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以所以，，D選項(xiàng)錯誤.6.（多選）如圖，一只螞蟻從正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)每一次行動順時針或逆時針經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，其中順時針的概率為，逆時針的概率為.設(shè)螞蟻經(jīng)過步到達(dá)B、D兩點(diǎn)的概率分別為，.下列說法正確的有（ACD）A.B.C.D.【解析】有四種情形：A→B→C→B，A→D→A→B，A→B→A→B，A→D→C→B，，故選項(xiàng)A正確；對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，從頂點(diǎn)A出發(fā)，只能到達(dá)A點(diǎn)或C點(diǎn)，此時，；當(dāng)為奇數(shù)時，從頂點(diǎn)A出發(fā)，只能到達(dá)B點(diǎn)或D點(diǎn)，此時，即從頂點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)B、D兩點(diǎn)為不可能事件，即，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，先計算從B點(diǎn)或D點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過兩步到達(dá)B點(diǎn)的概率，分別為，，現(xiàn)計論從頂點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)B點(diǎn)的兩種情形：①D從頂點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)B點(diǎn)，再經(jīng)過兩步到達(dá)B點(diǎn)的概率為，②從頂點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)D點(diǎn)，再經(jīng)過兩步到達(dá)B點(diǎn)的概率為，所以，所以，，易得，故選項(xiàng)C正確；所以，故選項(xiàng)D正確.7.（多選）如圖，有一只青蛙在正方形池塘的頂點(diǎn)ABCD之間跳躍，假設(shè)青蛙它跳向相鄰頂點(diǎn)的概率為，跳向不相鄰頂點(diǎn)的概率為.若青蛙一開始位于頂點(diǎn)A處，記青蛙跳躍次后仍位于頂點(diǎn)A上的概率為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.青蛙跳躍2次后位于B點(diǎn)的概率為B.是等比數(shù)列C.青蛙跳動奇數(shù)次后只能位于點(diǎn)A的概率始終小于D.存在整數(shù)，使得青跳動次后位于C點(diǎn)和D點(diǎn)的概率相等【答案】ABC【解析】青蛙跳躍次后仍位于頂點(diǎn)A上的概率為，則青蛙跳躍次后仍位于頂點(diǎn)A的概率為，不位于頂點(diǎn)A的概率為，位于B、C、D的概率都為，第次跳躍，為D跳躍至A的概率是，為B跳躍至A的概率是，為C跳躍至A的概率是，于是有，，即，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，當(dāng)時，代入驗(yàn)證成立，于是，.設(shè)青蛙跳躍次后位于頂點(diǎn)C上的概率為，則青蛙跳躍次后位于頂點(diǎn)C的概率為，不位于頂點(diǎn)C的概率為，位于A、B、D的概率都為，第次跳躍，為A跳躍至C的概率是，為B跳躍至C的概率是，為D跳躍至C的概率是，于是有，，即，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，設(shè)青蛙跳躍次后位于頂點(diǎn)B上的概率為，則青蛙跳躍次后位于頂點(diǎn)C的概率為，不位于頂點(diǎn)C的概率為，位于A、B、D的概率都為，第次跳躍，為A跳躍至B的概率是，為C跳躍至B的概率是，為D跳躍至B的概率是，于是有，，即，，，，即青蛙跳躍次后位于頂點(diǎn)B上的概率為，于是青蛙跳躍次后位于頂點(diǎn)D上的概率為，綜上，易得答案為ABC.8.（2024·武漢9調(diào)）甲，乙，丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中，投擲次骰子后，記球在甲手中的概率為，則，.【解析】記第次球在甲手中的概率為，記第次球在手中的概率為，記第次球在丙手中的概率為，則有①，②，③，由②，③得④，由①，④得，，即，，，.

9.（2019·全國Ⅰ卷）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.（1）求X的分布列.（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，.假設(shè)，.①證明：為等比數(shù)列；②求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.【解析】（1）X的所有可能取值為－1，0，1.，，，所以X的分布列為X－101P（2）①證明由（1）得，，.因此，故，則.又因?yàn)椋詾楣葹?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.②由①得.由于，故，所以.表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.10.（2023·杭州二模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為元，賭博過程為如圖所示的數(shù)軸．當(dāng)賭徒手中有n元時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：（1）請直接寫出與的數(shù)值；（2）證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差；（3）當(dāng)時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時，的統(tǒng)計含義.【解答】（1）當(dāng)時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當(dāng)時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記事件“賭徒有n元是最后輸光的”，事件“賭徒有n元下一場贏”，由全概率公式，，即，所以，所以是一個等差數(shù)列．設(shè)，則，故，得.（3）由，即，，當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會有100%的概率輸光.11.校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到。記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為，即.（1）求；（2）證明:數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.【解析】（1）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故.（2）第次觸球?yàn)榧椎母怕蕿?，則當(dāng)時，第次觸球?yàn)榧椎母怕蕿?，第次觸球不是甲的概率為，則，從而，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，，，故第19次觸球者是甲的概率大.12.馬爾可大鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具各“無記億”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球，從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.（1）求分布列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求的期望.【解析】（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：，，，012（2）由全概率公式可知即，所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以.（3）由全概率公式可知即，又，所以，，又，，，，所以.13.（2023·濟(jì)南開學(xué)考試）甲、乙兩人進(jìn)行拋擲骰子游戲，兩人輪流地擲一枚質(zhì)均勻的骰子.規(guī)定：先擲出點(diǎn)數(shù)6的獲勝，游戲結(jié)束.（1）記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為，若每人最多拋擲兩次骰子，求比賽結(jié)束時，X的分布列和期望；（2）已知甲先擲，求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率.【解析】（1）依題意，拋擲骰子一次獲勝的概率，的可能值為1，2，3，4，，，，所以的分布列為：1234期望；（2）設(shè)甲拋擲第次骰子且不獲勝的事件的概率為，，當(dāng)時，，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，當(dāng)時，甲拋擲第次骰子且獲勝的事件的概率為，顯然當(dāng)時，滿足上式，所以甲恰好拋次骰子并獲得勝利的概率為，.14.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.（1）求，和，；（2）求與的遞推關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望(用n表示).【解析】（1），，（2）當(dāng)時，，①，②2×①＋②，得從而，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以，n∈N*.③由②，有，又，所以，n∈N*.由③，有，n∈N*.故，n∈N*.Xn的概率分布為Xn012P則，n∈N*.15.(2020·湖北武漢9月起點(diǎn)質(zhì)量監(jiān)測)武漢又稱江城，是湖北省省會，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，黃鶴樓與東湖便是其中的兩個．為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已參觀黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否參觀東湖的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的總得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）①若從游客中隨機(jī)抽取m(m∈N*)人，記這m人的總分恰為m分的概率為Am，求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和；②在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查的過程中，記已調(diào)查過的人的累計得分恰為n分的概率為Bn，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）X的所有可能取值為3，4，5，6.，，，，所以X的分布列為X3456Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以E(X)＝3×eq\f(1,8)＋4×eq\f(3,8)＋5×eq\f(3,8)＋6×eq\f(1,8)＝eq\f(9,2).（2）①總分恰為m分的概率，所以數(shù)列{Am}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．其前10項(xiàng)和.②因?yàn)橐颜{(diào)查過的人的累計得分恰為n分的概率為Bn，得不到n分的情況只有先得(n－1)分，再得2分，概率為．所以，即．所以．所以，易知，所以16．某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為X，求X的期望；（2）若累計得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．①證明數(shù)列是等比數(shù)列；②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，，，，．∴X的分布列為：X3456P（2）①證明：n＝1，即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，，則，累計得分為i分的情況有兩種：（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為，（Ⅱ）累計得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為，所以，，所以數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．②，累加法得，所以活動參與者得到紀(jì)念品的概率為：．

17．安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關(guān)系；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率，所以3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.，的分布列為0123故.（2）依題意，，即.（3）由（2）知，則當(dāng)時，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.，即.所以，所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.18．某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務(wù)公司提供、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購買時每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為、購買的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù).記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為.（1）求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記第二次來公司購買產(chǎn)品的3個人中有個人購買產(chǎn)品，求的分布列并求；（3）經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備、產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不必說明理由）.【詳解】（1）依題意，知，則當(dāng)時，可得，數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.（2）第二次買A產(chǎn)品的概率；第二次買B產(chǎn)品的概率第二次來的3人中有個人購買產(chǎn)品，的所有可能取值為0、1、2、3有的分布列為0123故（3）由（1）知：，∴當(dāng)趨于無窮大時，，即第次來購買產(chǎn)品的概率約為，故公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備產(chǎn)品320份、產(chǎn)品480份.19．袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機(jī)取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補(bǔ)一個白球放入袋中．重復(fù)上述過程次后，袋中白球的個數(shù)記為．（1）求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于的表達(dá)式．【詳解】（1）由題意可知3，4，5．當(dāng)時，即二次摸球均摸到白球，其概率是；當(dāng)時，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是；當(dāng)時，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，所以隨機(jī)變量的概率分布如下表：數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)，0，1，2，3，4，5．則，．，，，，，，∴，由此可知，，又，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，即.20.（2024·荊荊恩起點(diǎn)考試）甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個黑球的概率為，恰有3個黑球的概率.（1）求，；（2）設(shè)，證明：；（3）求的數(shù)學(xué)期望的值.【解析】（1），；（2）此操作后，甲盒中有一個黑球的概率，由全概率公式所以，所以，所以，即；（3）由，得，，，所以，所以.21.（

2023·新課標(biāo)Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)椋?，所以?dāng)時，，故．22.（2023·蘇北四市一模）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍．（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有23的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個數(shù)X（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1=1，p2=0．

①試證明：{pn-13}為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?/p>

【答案】（1）依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為p=13×13=19，

X0123P5126481所以X的期望E(X)=3×19=13．

（2）①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，

則當(dāng)n≥2時，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn-1，

第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-pn-1，

則pn=pn-1×0+(1-pn-1)×12=-12pn-1+12，

即23.一袋中有大小形狀相同的2個白球和10個黑球，從中任取一球.如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該球不再放回，另補(bǔ)一個白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后，記袋中的白球個數(shù)為.（1）求；（2）設(shè)，求；（3）證明：.【解析】（1）可能得取值為2，3，，，；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，第次操作后，有個白球的可能性有兩種：第次操作后袋中有個白球，顯然每次取出球后，球的總數(shù)保持不變，即袋中有個白球，個黑球，第次取出來的也是白球的概率為，第次袋中有個白球，第次取出來的是黑球，由于每次總數(shù)為12個，故此時黑球數(shù)為個，這種情況發(fā)生的概率為，所以，（3）第次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類情況：第次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，由于白球和黑球的總數(shù)為12，所以，，所以.24.（2021·廣東·惠來縣第一中學(xué)高三月考）某商城玩具柜臺元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送元旦禮品．而每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個．（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒．通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為．①求數(shù)列通項(xiàng)公式；②若禮品店每賣出一個甲系列的盲盒可獲利20元，賣出一個乙系列的盲盒可獲利15元，由樣本估計總體，若禮品店每天可賣出1000個盲盒，且買的人之前都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天利潤為多少元？．【詳解】解：（1）由題意，，（2）①由題意可知：，當(dāng)時，，，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的人都已購買過很多次，所以，對于每一個人來說，某天來購買盲盒時，可以看作趨向無窮大，由樣本估計總體可知：購買甲系列盲盒的概率近似于，假設(shè)用表示一天中購買甲系列盲盒的個數(shù)，則，所以，即購買甲系列盲盒的個數(shù)的期望為400，所以禮品店應(yīng)賣出甲系列盲盒400個，乙系列盲盒600個．估計利潤為：（元）.25.一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始時在第0站.棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次，若擲出奇數(shù)點(diǎn)棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站.直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r，游戲結(jié)束.（1）求，，，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率【解析】（1）棋子開始在第0站是必然事件，所以.棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以，棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為，②前2兩次均擲出奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以.棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又?jǐn)S子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為，②棋子先跳到第站，又?jǐn)S子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以；（2），，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，所以獲勝的概率為.26.在某排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊(duì)員控制，此后排球僅在A隊(duì)員、B隊(duì)員和C隊(duì)員三人中傳遞，已知每當(dāng)球由A隊(duì)員控制時，傳給B隊(duì)員的概率為，傳給C隊(duì)員的概率為，每當(dāng)球由B隊(duì)員控制時，傳給A隊(duì)員的概率為，傳給C隊(duì)員的概率為，每當(dāng)球由C隊(duì)員控制時，傳給A隊(duì)員得概率為，傳給B隊(duì)員的概率為.記，，為經(jīng)過次傳球后球分別恰由A隊(duì)員、B隊(duì)員、C隊(duì)員控制的概率.（1）若，B隊(duì)員控制球的次數(shù)為，求（2）若，，，，.證明：為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率與的大小.【解析】（1）由題知的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為X012P（2），，，，兩式相加得，①，因?yàn)?，所以，代入①得，即，化簡得，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，所以.因此經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率為27.（2023·惠州一模）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù).（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?/p>

（2）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋á瘢┳C明：為等比數(shù)列；（Ⅱ）證明：當(dāng)時，.【解析】（1）設(shè)“第1天選擇米飯?zhí)撞汀?，“?天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第1天不選擇米飯?zhí)撞汀?，于是，，，，，由全概率公式；?）（Ⅰ）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀保瑒t，，，，，所以，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（Ⅱ），當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，；當(dāng)為正偶數(shù)時，；綜上所述，當(dāng)時，.28.湖南省會城市長沙又稱星城，是楚文明和湖湘文化的發(fā)源地，是國家首批歷史文化名城。城內(nèi)既有岳麓山、橘子洲等人文景觀，又有岳麓書院、馬王堆漢墓等名勝古跡，每年都有大量游客來長沙參觀旅游.為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人計劃只游覽岳麓山，另外的人計劃既游覽岳麓山又參觀馬王堆，每位游客若只游覽岳麓山，則記1分；若既游覽岳麓山又參觀馬王堆，則記2分，假設(shè)每位首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客計劃是否參觀馬王堆相互獨(dú)立，視頻率為概率.（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）從游客中隨機(jī)抽取人，記這人的合計得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是