福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期入學(xué)質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年第二學(xué)期福建省部分優(yōu)質(zhì)高中高一年級(jí)入學(xué)質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）友情提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（）A. B. C. D.2.數(shù)學(xué)符號(hào)的使用對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，“”作為等號(hào)使用首次出現(xiàn)在《礪智石》一書中，表達(dá)等式關(guān)系，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，則命題：，，的否定為（）A.，， B.，，C.，， D.，，3.已知下列表格表示的是函數(shù)，則的值為（）01230214A. B. C.0 D.14.在羅貫中所著的《三國(guó)演義》中經(jīng)典的戰(zhàn)役赤壁之戰(zhàn)是中國(guó)歷史上以弱勝?gòu)?qiáng)的著名戰(zhàn)役之一，東漢建安十三年（公元208年），曹操率二十萬(wàn)眾順江而下，周瑜、程普各自督領(lǐng)一萬(wàn)五千精兵，與劉備軍一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大敗曹軍.第49回“欲破曹公，宜用火攻；萬(wàn)事俱備，只欠東風(fēng)”，你認(rèn)為“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.某校高一5班有學(xué)生50人，為迎接國(guó)慶節(jié)的到來(lái)，班級(jí)組織了兩個(gè)活動(dòng)，其中活動(dòng)參與的人數(shù)有30人，活動(dòng)參與的人數(shù)有25人，由于個(gè)人原因有5人兩個(gè)活動(dòng)都沒(méi)有參與，則該班僅參與一個(gè)活動(dòng)的人數(shù)為（）A.40 B.35 C.30 D.256.函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.7.如圖直角坐標(biāo)系中，角、角的終邊分別交單位圓于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.8.某企業(yè)從2011年開(kāi)始實(shí)施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬(wàn)元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值（萬(wàn)元）與新政策實(shí)施年數(shù)（年）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：，（，且），（，且），選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，預(yù)測(cè)該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（）年份20112012201320142015201620172018201920202021年產(chǎn)值278309344383427475528588655729811A.924萬(wàn)元 B.976萬(wàn)元 C.1109萬(wàn)元 D.1231萬(wàn)元二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為2B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增10.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).某數(shù)學(xué)小組類比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，11.設(shè)，當(dāng)時(shí)，規(guī)定，如，.則下列選項(xiàng)正確的是（）A.（，）B.C.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，則的子集個(gè)數(shù)為512D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知，，則________.13.為豐富學(xué)生課余生活，拓寬學(xué)生視野，某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，高一（1）班參加社團(tuán)的學(xué)生有21人，參加社團(tuán)的學(xué)生有18人，兩個(gè)社團(tuán)都參加的有7人，另外還有3個(gè)人既不參加社團(tuán)也不參加社團(tuán)，那么高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_______.14.已知不是常數(shù)函數(shù)，且滿足：，.①請(qǐng)寫出函數(shù)的一個(gè)解析式________；②將你寫出的解析式得到新的函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.16.（15分）已知函數(shù)（，）.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明.17.（15分）已知函數(shù).請(qǐng)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問(wèn)題.條件①：；條件②：.（注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分）.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明；（3）設(shè)函數(shù)，指出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.18.（17分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，并求（表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，）.（參考數(shù)據(jù)：，）.19.（17分）有如下條件：①對(duì)，，2，，均有；②對(duì)，，2，，均有；③對(duì)，，2，3，；若，則均有；④對(duì)，，2，3，；若，則均有.（1）設(shè)函數(shù)，，請(qǐng)寫出該函數(shù)滿足的所有條件序號(hào)，并充分說(shuō)明理由；（2）設(shè)，比較函數(shù)，，值的大小，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)函數(shù)，滿足條件②，求證：的最大值.（注：導(dǎo)數(shù)法不予計(jì)分）2023~2024學(xué)年第二學(xué)期福建省部分優(yōu)質(zhì)高中高一年級(jí)入學(xué)質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷參考答案閱卷說(shuō)明：參考答案是用來(lái)說(shuō)明評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的。如果考生的答案、方法、步驟與本參考答案不同，但解答科學(xué)合理的同樣給分。有錯(cuò)的，根據(jù)考生錯(cuò)誤的性質(zhì)參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)及閱卷教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)適當(dāng)扣分。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案BDBBBACC二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。注意：全部選對(duì)的得6分，第9題選對(duì)其中一個(gè)選項(xiàng)得2分，第10、11題選對(duì)其中一個(gè)選項(xiàng)得3分。有錯(cuò)選的得0分。題號(hào)91011答案ABBCDBD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.3 13.3514.（答案不唯一，形如，，是周期為的奇函數(shù)均可）；0或2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本題滿分13分，第一小題6分，第二小題7分）解：（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以，是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，解得，；（2）由（1）得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取得最小值.16.（本題滿分15分，第一小題6分，第二小題9分）解：（1）為奇函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)?，又，故為奇函?shù)；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，且，則，因?yàn)?，，且，所以，，?dāng)時(shí)，，即，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，故單調(diào)遞增17.（本題滿分15分，第一小題5分，第二小題5分，第三小題5分）解：（1）令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋暨x①：因?yàn)?，即為奇函?shù)，則，整理得，注意到對(duì)任意上式均成立，可得，解得；若選②：因?yàn)?，即為偶函?shù)，則，整理得，注意到對(duì)任意上式均成立，可得，解得.（2）若選①：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：對(duì)任意，，且，則，因?yàn)椋瑒t，，，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；若選②：則，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：對(duì)任意，，且，則，因?yàn)?，則，，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）若選①：則，則，由（2）可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合，，可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若選②：則，則，由（2）可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合，，可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).18.（本題滿分17分，第一小題5分，第二小題6分，第三小題6分）解：（1）令，，解得，，又，得的單調(diào)增區(qū)間是和；令，，解得，，又，得的單調(diào)減區(qū)間是和.函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是和；（2）若，，使成立，則，，的值域應(yīng)為的值域的子集.由（1）知，在單調(diào)遞減，的值域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，則，開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸是，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即，解得，所以；（3）由（1）知在上是減函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上無(wú)零點(diǎn)，綜上，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).，，，.19.（本題滿分17分，第一小題8分，第二小題4分，第三小題5分）解：（1）選①④理由：由在上遞增，故①滿足，②不滿足；由，且，則，，，故