第三章(第五節(jié))

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁互相自立的隨機變量若事件滿意,則稱與互相自立.隨機變量互相自立的定義定義7設為兩個隨機變量,若對隨意實數(shù)有,則稱與互相自立,簡稱自立.自立判別定理:設,分離是,的分布函數(shù),則與互相自立,隨意,隨意.二.離散型隨機變量互相自立判別定理:定理一設二維離散型隨機變量的分布律為則與互相自立的充要條件是:.三.延續(xù)型隨機變量互相自立判別定理:定理二設二維延續(xù)型隨機變量的概率密度為.分離是關于和的邊沿概率密度,則與互相自立的充要條件是:,(幾乎到處).證實,,,, 與互相自立, ,(幾乎到處)四.有限多個或可列個隨機變量的互相自立性定義設為個隨機變量,對隨意實數(shù)，元函數(shù)稱為個隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)..定義8設為個隨機變量,對隨意實數(shù)，成立則稱個隨機變量互相自立.定理個隨機變量互相自立對隨意實數(shù)，成立.定理三設是維延續(xù)型隨機變量,概率密度為,的概率密度為,則互相自立.定義9設為可列無窮多個隨機隨機變量,若對隨意的正整數(shù)，及隨意互不相同的正整數(shù)，都互相自立，則稱可列無窮多個隨機隨機變量互相自立.例1設二維隨機變量的分布函數(shù)為,(1)求邊沿分布函數(shù);(2)求的概率密度,邊沿概率密度;(3)驗證隨機變量與互相自立.解(1);;(2);;;(3)顯然,對隨意實數(shù),恒有,所以與互相自立.(或顯然,對隨意實數(shù),成立,所以與互相自立)例2設二維離散型隨機變量的分布律為YX012-10.10.20.120.20.10.3(1)求關于和關于的邊沿分布律;(2)驗證與是否自立？解(1)關于和關于的邊沿分布律如表YX012-10.10.20.10.420.20.10.30.60.30.30.4(2),,,顯然,由定理一知,與不自立.例3設,(1)求,,(2)試證:與互相自立的充要條件是.解由題設條件知,的概率密度為,,(1)由第四節(jié)例2知,;(2)充足性(即由與自立)若則,,因此,與自立.須要性若與自立,則對隨意實數(shù),成立,異常地對有,即,從而.證畢.例4某型號鉆頭的壽命(以鉆進深度m為單位)順從參數(shù)的指數(shù)分布.欲打一口深為500m的井,求恰好需用兩只鉆頭的概率.解設第一只鉆頭的壽命為,第二只鉆頭的壽命為,則與自立且有相同的指數(shù)分布.由題意知,,故的概率密度為,由題意知“恰好需用兩只鉆頭”,.例5設隨機變量與自立且同順從分布.求:(1)的概率密度;(2)的二次方程有實根的概率;(3)隨機變量的分布函數(shù)、概率密度.解由題設條件知,,,,(1)因為與自立,由定理二得的概率密度,,,顯然有對稱性;(2)令的二次方程有實根,,又,所以;(3),(A)當時,,(B)當時,,(C)當時,記，,于是,.例6接連不斷地擲一顆勻稱的骰子,直到浮上點數(shù)大于2為止,以表示擲骰子的次數(shù).以表示最后一次擲出的點數(shù).求二維隨機變量的分布律;(2)求關于,的邊沿分布律;(3)證實與互相自立.解依題意知,的可能取值為;的可能取值為3,4,5,6設第次擲時出1點或2點,第次擲時出點,則,,,“擲骰子次,最后一次擲出點,前次擲出1點或2點”,(各次擲骰子浮上的點數(shù)互相自立)于是的分布律為,,.(例如)(2),;,;(或由題意知,“擲骰子次,最后一次擲出的點數(shù)大于2,前次擲出1點或2點”,于是,;“在擲出點數(shù)大于2的條件下,擲出的是點”,于是,)(3)因為,即成立,.所以與互相自立.例設二維隨機變量的概率密度為,,（1）求關于的邊沿概率密度；（2）求關于的邊沿概率密度；（3