兩角和與差的公式

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等．如T(α±β)可變形為tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在銳角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對(duì)任意角α，β都成立．(×)(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.(√)(5)設(shè)sin2α＝－sinα，α∈(eq\f(π,2)，π)，則tan2α＝eq\r(3).(√)1．(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，則tan2α等于()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)答案C解析∵sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，∴sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(5,2).化簡(jiǎn)得：4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(3,4).故選C.2．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，則tan2α等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)答案B解析由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，等式左邊分子、分母同除cosα得，eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝－3，則tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).3．(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，則sinθ＋cosθ＝________.答案－eq\f(\r(10),5)解析∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，∴tanθ＝－eq\f(1,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinθ＝－cosθ，,sin2θ＋cos2θ＝1，))且θ為第二象限角，解得sinθ＝eq\f(\r(10),10)，cosθ＝－eq\f(3\r(10),10).∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).4．(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值為_(kāi)_______．答案1解析∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值為1.題型一三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用例1(1)設(shè)tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1,3)，cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),3)，則cos(α＋eq\f(β,2))等于()A.eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)答案(1)A(2)C解析(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(3,1－2)＝－3.故選A.(2)cos(α＋eq\f(β,2))＝cos[(eq\f(π,4)＋α)－(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))]＝cos(eq\f(π,4)＋α)cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＋sin(eq\f(π,4)＋α)sin(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))．∵0<α<eq\f(π,2)，則eq\f(π,4)<eq\f(π,4)＋α<eq\f(3π,4)，∴sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)<β<0，則eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，則sin(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(6),3).故cos(α＋eq\f(β,2))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).故選C.思維升華三角函數(shù)公式對(duì)使公式有意義的任意角都成立．使用中要注意觀(guān)察角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系．(1)若α∈(eq\f(π,2)，π)，tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,7)，則sinα等于()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)(2)計(jì)算：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°(eq\f(1,tan5°)－tan5°)＝________.答案(1)A(2)eq\f(\r(3),2)解析(1)∵tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,7)，∴tanα＝－eq\f(3,4)＝eq\f(sinα,cosα)，∴cosα＝－eq\f(4,3)sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝eq\f(9,25).又∵α∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinα＝eq\f(3,5).(2)原式＝eq\f(2cos210°,4sin10°cos10°)－sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－eq\f(sin20°,sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin(30°－10°),2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°cos10°＋2cos30°sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).題型二三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值為()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)(2)化簡(jiǎn)：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan(\f(π,4)－x)sin2(\f(π,4)＋x))＝________.(3)求值：eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)＝________.答案(1)B(2)eq\f(1,2)cos2x(3)eq\r(3)解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).故選B.(2)原式＝eq\f(\f(1,2)(4cos4x－4cos2x＋1),\f(2×sin(\f(π,4)－x),cos(\f(π,4)－x))·cos2(\f(π,4)－x))＝eq\f((2cos2x－1)2,4sin(\f(π,4)－x)cos(\f(π,4)－x))＝eq\f(cos22x,2sin(\f(π,2)－2x))＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.(3)原式＝eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝eq\r(3).思維升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化簡(jiǎn)：eq\f((1＋sinα＋cosα)·(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)),\r(2＋2cosα))＝________.(2)在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值為_(kāi)_______．答案(1)cosα(2)eq\r(3)解析(1)原式＝eq\f((2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))·(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)),\r(4cos2\f(α,2))).因?yàn)棣痢?0，π)，所以coseq\f(α,2)>0，所以原式＝eq\f((2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))·(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)),2cos\f(α,2))＝(coseq\f(α,2)＋sineq\f(α,2))·(coseq\f(α,2)－sineq\f(α,2))＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝cosα.(2)因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝eq\f(2π,3)，eq\f(A＋C,2)＝eq\f(π,3)，taneq\f(A＋C,2)＝eq\r(3)，所以taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(C,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(A,2)tan\f(C,2)))＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(A,2)tan\f(C,2)))＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\r(3).題型三三角函數(shù)公式運(yùn)用中角的變換例3(1)已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).則sin(α－β)＝________，cosβ＝________.(2)(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知sin2α＝eq\f(2,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案(1)－eq\f(\r(10),10)eq\f(9,50)eq\r(10)(2)A解析(1)∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，從而－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又∵tan(α－β)＝－eq\f(1,3)<0，∴－eq\f(π,2)<α－β<0.∴sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).∵α為銳角，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(3,5)×(－eq\f(\r(10),10))＝eq\f(9\r(10),50).(2)因?yàn)閏os2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2)＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)，所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6)，選A.思維升華1.解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．2．常見(jiàn)的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝(α＋eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)＋β)等．(1)設(shè)α、β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ等于()A.eq\f(2\r(5),25) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)(2)已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，則sin(α＋eq\f(7π,6))的值是________．答案(1)A(2)－eq\f(4,5)解析(1)依題意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2(α＋β))＝±eq\f(4,5).又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因?yàn)閑q\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，eq\r(3)sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋eq\f(7π,6))＝－sin(eq\f(π,6)＋α)＝－eq\f(4,5).高考中的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)問(wèn)題典例：(1)若tan2θ＝－2eq\r(2)，π<2θ<2π，則eq\f(2cos2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin(θ＋\f(π,4)))＝________.(2)(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，則()A．3α－β＝eq\f(π,2) B．2α－β＝eq\f(π,2)C．3α＋β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)(3)(2012·大綱全國(guó))已知α為第二象限角，sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，則cos2α等于()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),9)C.eq\f(\r(5),9)D.eq\f(\r(5),3)(4)(2012·重慶)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)等于()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)思維點(diǎn)撥(1)注意和差公式的逆用及變形．(2)“切化弦”，利用和差公式、誘導(dǎo)公式找α，β的關(guān)系．(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1尋求sinα±cosα與sinαcosα的聯(lián)系．(4)利用和角公式將已知式子中的角向特殊角轉(zhuǎn)化．解析(1)原式＝eq\f(cosθ－sinθ,sinθ＋cosθ)＝eq\f(1－tanθ,1＋tanθ)，又tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，即eq\r(2)tan2θ－tanθ－eq\r(2)＝0，解得tanθ＝－eq\f(1,\r(2))或tanθ＝eq\r(2).∵π<2θ<2π，∴eq\f(π,2)<θ<π.∴tanθ＝－eq\f(1,\r(2))，故原式＝eq\f(1＋\f(1,\r(2)),1－\f(1,\r(2)))＝3＋2eq\r(2).(2)由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(eq\f(π,2)－α)．∵α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α－β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，eq\f(π,2)－α∈(0，eq\f(π,2))，∴由sin(α－β)＝sin(eq\f(π,2)－α)，得α－β＝eq\f(π,2)－α，∴2α－β＝eq\f(π,2).(3)方法一∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,3)，∴2sinαcosα＝－eq\f(2,3)，即sin2α＝－eq\f(2,3).又∵α為第二象限角且sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)>0，∴2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋eq\f(3,4)π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴2α為第三象限角，∴cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\f(\r(5),3).方法二由sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)兩邊平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,3)，∴2sinαcosα＝－eq\f(2,3).∵α為第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝eq\r((sinα－cosα)2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(\r(15),3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(\r(3),3)，,sinα－cosα＝\f(\r(15),3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(\r(3)＋\r(15),6)，,cosα＝\f(\r(3)－\r(15),6).))∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(\r(5),3).(4)原式＝eq\f(sin(30°＋17°)－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案(1)3＋2eq\r(2)(2)B(3)A(4)C溫馨提醒(1)三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)要結(jié)合式子特征，靈活運(yùn)用或變形使用公式．(2)三角求值要注意角的變換，掌握常見(jiàn)的配角技巧．方法與技巧1．巧用公式變形：和差角公式變形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1?tanx·tany)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方變形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).2．重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱(chēng)；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀(guān)察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危д`與防范1．運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通．2．在(0，π)范圍內(nèi)，sin(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)所對(duì)應(yīng)的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：30分鐘)1．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(13,18)B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22)D.eq\f(1,6)答案C解析因?yàn)棣粒玡q\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((α＋β)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tan(α＋β)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tan(α＋β)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).2．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，則sinθ等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(7),4)D.eq\f(3,4)答案D解析由sin2θ＝eq\f(3,8)eq\r(7)和sin2θ＋cos2θ＝1得(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(3\r(7),8)＋1＝(eq\f(3＋\r(7),4))2，又θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(3＋\r(7),4).同理，sinθ－cosθ＝eq\f(3－\r(7),4)，∴sinθ＝eq\f(3,4).3．已知tanα＝4，則eq\f(1＋cos2α＋8sin2α,sin2α)的值為()A．4eq\r(3) B.eq\f(65,4)C．4 D.eq\f(2\r(3),3)答案B解析eq\f(1＋cos2α＋8sin2α,sin2α)＝eq\f(2cos2α＋8sin2α,2sinαcosα)，∵tanα＝4，∴cosα≠0，分子、分母都除以cos2α得eq\f(2＋8tan2α,2tanα)＝eq\f(65,4).4．(2013·重慶)4cos50°－tan40°等于()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)－1答案C解析4cos50°－tan40°＝eq\f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin(50°＋30°)－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)sin50°＋cos50°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)sin50°,cos40°)＝eq\r(3).5．已知cos(x－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋cos(x－eq\f(π,3))的值是()A．－eq\f(2\r(3),3) B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±1答案C解析cosx＋cos(x－eq\f(π,3))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx)＝eq\r(3)cos(x－eq\f(π,6))＝－1.6．eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝________.答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝eq\f(1－cos100°,2(1＋sin10°))＝eq\f(1－cos(90°＋10°),2(1＋sin10°))＝eq\f(1＋sin10°,2(1＋sin10°))＝eq\f(1,2).7．已知α、β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tanα＝________.答案1解析根據(jù)已知條件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β為銳角，則sinβ＋cosβ>0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.8.eq\f(\r(3)tan12°－3,(4cos212°－2)sin12°)＝________.答案－4eq\r(3)解析原式＝eq\f(\f(\r(3)sin12°,cos12°)－3,2(2cos212°－1)sin12°)＝eq\f(\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),cos12°),2cos24°sin12°)＝eq\f(2\r(3)sin(－48°),2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,sin24°cos24°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).9．已知eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＝－2tanα，試確定使等式成立的α的取值集合．解因?yàn)閑q\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＝eq\r(\f((1＋sinα)2,cos2α))－eq\r(\f((1－sinα)2,cos2α))＝eq\f(|1＋sinα|,|cosα|)－eq\f(|1－sinα|,|cosα|)＝eq\f(1＋sinα－1＋sinα,|cosα|)＝eq\f(2sinα,|cosα|)，所以eq\f(2sinα,|cosα|)＝－2tanα＝－eq\f(2sinα,cosα).所以sinα＝0或|cosα|＝－cosα>0.故α的取值集合為{α|α＝kπ或2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．10．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cosβ的值．解(1)因?yàn)閟ineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，兩邊同時(shí)平方，得sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\f(\r(3),2).(2)因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－π<－β<－eq\f(π,2)，故－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，得cos(α－β)＝eq\f(4,5).cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘)11．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)<α<0，則eq\f(2sin2α＋sin2α,cos(α－\f(π,4)))等于()A．－eq\f(2\r(5),5)B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(2\r(5),5)答案A解析由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).又－eq\f(π,2)<α<0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10).故eq\f(2sin2α＋sin2α,cos(α－\f(π,4)))＝eq\f(2sinα(sinα＋cosα),\f(\r(2),2)(sinα＋cosα))＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).12．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，則tanα的值等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案D解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝eq\f(1,4)，∴cos2α＝eq\f(1,4)，∴cosα＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)(舍去)，∴α＝eq\f(π,3)，∴tanα＝eq\r(3).13．若tanθ＝eq\f(1,2)，θ∈(0，eq\f(π,4))，則sin(2θ＋eq\f(π,4))＝________.答案eq\f(7\r(2),10)解析因?yàn)閟in2θ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(4,5)，又由θ∈(0，eq\f(π,4))，得2θ∈(0，eq\f(π,2))，所以cos2θ＝eq\r(1－sin22θ)＝eq\f(3,5)，所以sin(2θ＋eq\f(π,4))＝sin2θcoseq\f(π,4)＋cos2θsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(