高數(shù)期末考試

高數(shù)期末考試模擬試題

一、填空題________1

1.函數(shù)y=arcsinVl—x2+-----------的定義域?yàn)?/p>

V1—x

2.函數(shù)y=x+e'上點(diǎn)(0,1)處的切線方程是。

f(Xo+2h)-f(Xo-3h)

3.設(shè)f(X)在Xo可導(dǎo)且f'(Xo)=A,則1im------------------------------

h-*oh

4.設(shè)曲線過（0,1）,且其上任意點(diǎn)（X,Y）的切線斜率為2X,則該曲線的方程

是

x

5.f---------dx=o

1—x4

1

6.1imXsin-----=o

xf8X

7.設(shè)f(x,y)=sin(xy),貝ljfx(x,y)=

RVR2-X2

8.累次積分/dxff（X2+Y2）dy化為極坐標(biāo)下的累次積分為

00

d3y3d2y

9.微分方程-----+——(-------)2的階數(shù)為—

dx3xdxJ

10.設(shè)級數(shù)￡a”發(fā)散，則級數(shù)Ea?

n=ln=1000

二、單項(xiàng)選擇題內(nèi),

(一)每小題1分，共10分

1

1,設(shè)函數(shù)f(x)=一g(x)=l—X,則f[g(x)]=()

111

①1----------②1+—③-----------------@X

XX1—X

1

2.x-0時(shí)，xsin-------1-1是()

x

①無窮大量②無窮小量③有界變量④無界變量

3.下列說法正確的是()

①若f(X)在X=Xo連續(xù)，則f(X)在X=X?？蓪?dǎo)

②若f(X)在X=Xo不可導(dǎo)，則f(X)在X=Xo不連續(xù)

③若f(X)在X=Xo不可微，則f(X)在X=Xo極限不存在

④若f(X)在X=Xo不連續(xù)，則f(X)在X=Xo不可導(dǎo)

4.若在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)<0,f"(x))0,則在(a,b)

內(nèi)曲線弧丫=f(x)為()

①上升的凸?、谙陆档耐够、凵仙陌蓟、芟陆档陌蓟?/p>

5.設(shè)F'(x)=G'(x),則()

①F(X)+G(X)為常數(shù)

②F(X)-G(X)為常數(shù)

③F(X)-G(X)-0

dd

(4)------IF(x)dx=-------fG(x)dx

dxdx

1

6.f|x|dx=()

①0②1③2④3

7.方程2x+3y=1在空間表示的圖形是()

①平行于Xoy面的平面

②平行于oz軸的平面

③過oz軸的平面

④直線

X

8.設(shè)f(x,y)=x3+y3+x2ytg——，貝Uf(tx,ty)=()

y

①tf(x,y)②12f(x,y)

1

③13f(x,y)④——f(x,y)

a?+18

9.設(shè)a會(huì)0,且1im--------=p,則級數(shù)￡an()

n—8an=l

①在p〉1時(shí)收斂，p〈1時(shí)發(fā)散

②在P21時(shí)收斂，p〈1時(shí)發(fā)散

③在pWl時(shí)收斂，P>1時(shí)發(fā)散

④在P〈1時(shí)收斂，P)1時(shí)發(fā)散

10.方程y'+3xy=6x2y是()

①一階線性非齊次微分方程

②齊次微分方程

③可分離變量的微分方程

④二階微分方程

(-)每小題2分，共20分

11.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

①y=e^'②y=x“l(fā)

(3)y=xJcosx④y=ln|x|

12.設(shè)f(x)在(a,b)可導(dǎo)，a<xt(x2<b,則至少有一點(diǎn)€s(a,b)

使()

①f(b)-f(a)=f'(C)(b-a)

②f(b)—f(a)=f'(C)(x2—xi)

③f(X2)—f(xi)=f*(€)(b—a)

④f(x2)—f(Xi)=f'(4)(x2—xD

13.設(shè)f(X)在X=Xo的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是f(X)在X=Xo可導(dǎo)的()

①充分必要的條件

②必要非充分的條件

③必要且充分的條件

④既非必要又非充分的條件

d

14.設(shè)2f(x)cosx=---[f(x)]",則f(0)=1,

則f(x)=()

dx

①C0SX②2—cosx③1+sinx④1—

sinx

15.過點(diǎn)(1,2)且切線斜率為4x3的曲線方程為y=()

①X，②X'+c③x"+1④X'一

1

1X

16.1imf3tgt2dt=()

x—0x30

1

①o②1③——④00

3

Xy

17.1imxysin----------=()

x-0x2+y2

yf0

①0②1③8④S

in1

18.對微分方程y“=f(y,y'),降階的方法是()

①設(shè)y'=p,則y"=p'

dP

②設(shè)y'=P,則y"=

dy

dP

③設(shè)y'=P,則y〃=P--------

dy

1dp

④設(shè)y'=P,則y〃=------------

Pdy

oooo

19.設(shè)基級數(shù)￡anx"在x°(x0)收斂，則￡anxn在|x|(|xo

()

n=on=o

①絕對收斂②條件收斂③發(fā)散④收斂性與an有關(guān)

sinx

20.設(shè)D域由y=x,y=x?所圍成,貝打f----------do=()

Dx

11sinx

①Jdxf----------dy

0XX

1sinx

②fdy---------dX

0X

1Vxsinx

③fdxf---------dy

0XX

1Jxsinx

④fdyf---------dX

0XX

三、計(jì)算題（每小題5分，共45分）

/x—1

1.設(shè)y=/-----求y

Vx(x+3)

sin(9x2—16)

2.求1im

x-4/33x—4

dx

3.計(jì)算/

(1+ex)

t1

dy

4.設(shè)x=f(cosu)arctgudu,y=J(sinu)arctgu

du求------o

0t

dx

5.求過點(diǎn)A(2,1,-1),B(1,1,2)的直線方程。

6.設(shè)u=ex+Vy+sinz,求du。

xasin0

7.計(jì)算ffrsinOdrd。。

00

y+1

8.求微分方程dy=(----------)2dx通解。

x+1

3

9.將f(x)=---------展成的幕級數(shù)。

(1-x)(2+x)

四、應(yīng)用和證明題（共15分）

1.（8分）設(shè)一質(zhì)量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度

（比例常數(shù)為k〉0）求速度與時(shí)間的關(guān)系。

1

2.(7分)借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)x〉l時(shí)，2Jx）3--------

x

附：高數(shù)（一）參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題（每小題1分，共10分）

1.(—1,1)

2.2x-y+1=0

3.5A

4.y=x2+1

1

5.------arctgx'+c

2

6.1

7.ycos(xy)

冗/2JI

8.Jd0ff(r2)rdr

00

9.三階

10.發(fā)散

二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫在題干的

（）內(nèi)，1?10每小題1分，11?20每小題2分，共30分）

（一）每小題1分，共10分

1.③2.③3.④4.④5.②

6.②7.②8.⑤9.④10.③

（二）福小題2分，共20分

11.?12.④13.⑤14.③15.③

16.②17.?18.③19.①20.②

三、計(jì)算題（每小題5分，共45分）

1

1.解：1ny=------[1n(x-1)-1nx—1n(x+3)]（2分）

2

11111

y=(------------)(2分)

y2x-1xx+3

1/X-1111

y'=——/------------(-------------------------)(1分)

2Vx(x+3)x—1xx+3

18xcos(9x16)

2.解：原式=]im--------------------------------(3分)

x-4/33

18(4/3)cosL9(4/3)2-16]

=----------------------------------------------=8(2分)

3

1+ex-ex

3.解：原式=/--------------dx(2分)

(1+ex)2

dxd(1+ex)

=f---------------f---------------(]分)

1+ex(1+ex)2

1+e'-ex1

=f--------------dx+-----------(]分)

1+e'1+ex

1

=x-1n(1+ex)H------------+c(1分)

1+ex

4.解：因?yàn)閐x=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arc

tgtdt(3分)

dy—(sint)arctgtdt

所以------=----------------------------------=-tgt

(2分)

dx(cost)arctgtdt

5.解：所求直線的方向數(shù)為{1,0,—3}(3分)

x—1y—1z—2

所求直線方程為--------=--------=--------(2分)

10-3

6.解：du=ex+7y+sinzd(x+Jy+sinx)(3分)

DCACA

BCCBA

DABAD

ADBDA

二課程代碼：00020

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共20小題，每小題2分，共40分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的

括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)函數(shù)式工)=上，則f(2x)=()

XX-1

c2(XT)D2(XT)

-2x'x

2.已知f(x)=ax+b,且f(-l)=2,f(l)=-2,則f(x)=()

A.x+3B.x-3

C.2xD.-2x

3.lim(上尸=()

XT8X+1

A.eB.e_1C.ooD.l

4.函數(shù)y=—的連續(xù)區(qū)間是()

(x+2)(x-1)

A.(-oo,-2)U(-l,+oo)

B.(-oo,-l)U(-l,+oo)

C.(-00,-2)U(-2,-1)U(TM)

D.[3,+oo)

(x+l)ln(x+l)2x*1在x=-l連續(xù)，則a=(

5.設(shè)函數(shù)f(x)=,)

a,x=-l

A.lB.-1C.2D.O

6.設(shè)y=lnsinx,貝Udy=()

A.-cotxdxB.cotxdx

C.-tanxdxD.tanxdx

7.設(shè)y=ax(a>O,a^1),則y(n)*=o=()

A.0B.l

C.lnaD.(lna)"

8.設(shè)一產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量x的函數(shù)C(x),則生產(chǎn)X。個(gè)單位時(shí)的總成本變化率(即邊際成本)

是()

egD.^ll

dxdx1x=x0

9.函數(shù)y=e"-x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)()

A.單調(diào)減小B.單調(diào)增加

C.不增不減D.有增有減

10.如可微函數(shù)f(x)在X。處取到極大值f(x0),則()

,,

A.f(xo)=OB.f(x0)>0

,

C.f(x0)<0Df(X。)不一定存在

11.j[f(x)+xf,(x)]dx=()

A.f(x)+CB.Jxf(x)dx

D.|[x+f(x)]dx

C.xf(x)+C

12.設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是則［xf(x)dx=()

A.—+CB.X5+C

3

5

x

C.-x3+CD.—+C

315

13.fe我dx=()

B.2/e&dx

A.0

cje'dxD.3j\2exdx

14.下列廣義積分中，發(fā)散的是()

A-B傷

Ax

c?墻

DJ卷

15.滿足下述何條件，級數(shù)f(J”一定收斂()

n=l

n

A.Z5有界

B.limUn=0

n—>oo

i=l

C.lim-^-=r<l00

D.^IUn1收斂

fu

nn=l

16.基級數(shù)￡(X-l)n的收斂區(qū)間是(

)

n=l

A.(0,2]B.(0,2)

c.[0,2)D.(-l,l)

C)7

17.設(shè)z=e丫測絲=()

5y

2

2x

B.^-ey

y

1一

C.--e'yD.--e丫

yy

18.函數(shù)z=(x+D、(y-2)2的駐點(diǎn)是()

A.(l,2)B.(-L2)

C.(-l,-2)D.(l,-2)

19.JJcosxcosydxdy=()

0^x<-

2

OKy《

A.OB.lC.-lD.2

20.微分方程包=1+sinx滿足初始條件y(0)=2的特解是(

)

dx

A.y=x+cosx+lB.y=x+cosx+2

C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3

二、簡單計(jì)算題(本大題共5小題，每小題4分，共20分)

21求.極限lim(Jn+3-G)Jn-1.

nfoo

22設(shè).y=xx,求y().

23.求不定積分f—四迎一dx.

JI+sinxcosx

24.求函數(shù)z=ln(l+x、y2)當(dāng)x=l,y=2時(shí)的全微分.

25.用級數(shù)的斂散定義判定級數(shù)￡一■的斂散性.

念Jn+Jn+1

三、計(jì)算題(本大題共4小題，每小題6分，共24分)

26設(shè).z=xy+xF(u),u=2,F(u)為可導(dǎo)函數(shù)，求x絲+y—.

x5xdy

27.計(jì)算定積分1=fxInV7dx.

28.計(jì)算二重積分1=jjcos(x2+y2)dxdy淇中D是由x軸和y=所圍成的閉區(qū)域.

D

29.求微分方程x吆+y-ex=0滿足初始條件y(l)=e的特解.

dx

四、應(yīng)用題(本大題共2小題，每小題8分，共16分)

30.已知某廠生產(chǎn)x件某產(chǎn)品的成本為C=25000+200x+—X2.問

40

(1)要使平均成本最小,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

(2)如產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

31.求由曲線y=J7,直線x+y=6和

10.設(shè)函數(shù)y=lnX,則它的彈性函數(shù)且=.

Ex

11.函數(shù)/)=/e"的單調(diào)增加區(qū)間為.

12.不定積分\-^=________________.

J2x+3

13.設(shè)段)連續(xù)且J：/(f)df=x2+cos2x,則於)=_______________.

14.微分方程xdy?ydx=2dy的通解為.

Q27

15.設(shè)z=xe￡則.

dxdy

三、計(jì)算題(一)(本大題共5小題，每小題5分，共25分)

k—e“龍〉0

16.設(shè)函數(shù)f(x)=/在40處連續(xù)，試求常數(shù)

3x4-1x<0

e'I~

17.求函數(shù)f(x)=——；—+xarctanVx的導(dǎo)數(shù).

sin-x

-)

X"

18.求極限lim-------------

ioxer-sinx

19.計(jì)算定積分/sin岳dr.

20.求不定積分產(chǎn)\心.

Jl+x2

四、計(jì)算題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)

21.求函數(shù)式x)=x3-62+9x-4在閉區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值.

22.已知_/(3x+2)=2re，計(jì)算/f(x)dx.

23.計(jì)算二重積分,其中。是由直線y=xx=l以及x軸所圍的區(qū)域.

五、應(yīng)用題(本大題9分)

24.已知矩形相鄰兩邊的長度分別為x,y,其周長為4.將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體(如

圖).問當(dāng)各為多少時(shí)可使旋轉(zhuǎn)體的體積最大？

21-3/2

22-eA-l

23x-arctgx+C

243/2

25y+2=0

26tA2f(x,y)

27-l/(2sqrt(x)sqrt(y))

282pi/3

291/2

30(c_lx+c_2)eA(4x)

31.解:原式=+.￡-)

_]；ln(l+7)].

klim，…?inn~

zhzsin”工

K1

32?解；?"(工”3G多

.廣—笈(.二3)

?㈠+])3

33.解:原式二J：土二里如

=(尹_*血)|?

x

4

34,^：vg=(l+yMn(14.y)

索=x(l+,y)x-*

,??心=■“+影

(1+y)*ln(l+x(l+y)Li4

35.解:fCz)-y,一%-

1一號工

=,圣小?i<4

四

36.證:令A(yù)<X)=/(X)—g(H)

VA<a)=/(a)-g(a)=0Mb)=/(?-g(6)=0

:.對Mz)在［a,可上應(yīng)用羅爾定理得

在(a,B)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,使得A*(c)=0

而五'(工)=/(工)一g'Cr)

從而/(c)=/?)

37.證：1

；.5<5+3cosGW8

從而J■■答e.J~~z"'44

854-3cosx5

由定積分性質(zhì)得；

J：卷心《J：?點(diǎn)嬴盧《「W七

即:金&L/七7=工〈出

、

DCACA

BCCBA

DABAD

ADBDA

21-3/2

22-eA-l

23x-arctgx+C

243/2

25y+2=0

26tA2f(x,y)

27-l/(2sqrt(x)sqrt(y))

282pi/3

291/2

30(c_lx+c_2)eA(4x)

31.解二原式=

uar，?s)nz.x弓)

vln(l-i-j：2)i、/

=iim”——尸—?inn-r-n"?-

arzsm'x

二1

32.解C=(緊;y

jG+i?

33.解：原式=]--—^c￡r

=(-1-x—^-sin2x)|j

F

34.解：，；言=(1+y)xln(l+y)

意=工(1+》產(chǎn)

,??&=?"+熱

=(l+y)xln(l+y)dz+x(l+y)^ldy

35.解:f(N)-y--馬—

1一丁

系r|Vl

=自轟不?i<4

2。0乙

四

36.證:令"￡)=fGO-gG)

\*A<a)=/(a)——0A(d)=，S)—gS)=0

二對人(工)在［a力］上應(yīng)用羅爾定理得

在(a,6)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,使得附0=0

而6’Gr)=f(H)—g'Gr)

從而/(c)=/“)

37.證：?；0&cos/4l

；.545+3cosz工《8

從而34汗急

由定積分性質(zhì)得；

J：i?&<J：甲W工心wJ：冷心

即:金wj：S+iod/zW"

大一上學(xué)期高數(shù)期末考試

一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

1.^/(x)=cosx(x+binx|),貝1J在X=0處有()

(A)r(o)=2(B)r(o)=i(or(o)=o(D)/⑺不可導(dǎo).

設(shè)a(x)=^~,/?(x)=3-3^［x,貝!］當(dāng)x—>1時(shí)()

2.1+x.

(A)a(x)與"工)是同階無窮小，但不是等價(jià)無窮小；⑺)a(x)與儀x)

是等價(jià)無窮??；

(C)是比夕(X)高階的無窮??；(D)伙工)是比。(幻高階的

無窮小.

3.若尸(幻=1⑵-xW)",其中y(x)在區(qū)間上(-1,1)二階可導(dǎo)且

/'(x)>0,則().

(A)函數(shù)/(%)必在x=()處取得極大值；

(B)函數(shù)F(x)必在x=0處取得極小值；

(C)函數(shù)尸(%)在x=0處沒有極值，但點(diǎn)(0/(。))為曲線y=「(x)的拐點(diǎn)；

(D)豳"X)在X=()處沒有極值,點(diǎn)(0,尸⑼)也不是曲線y=尸⑶的拐點(diǎn)。

4郎(X)是連續(xù)函數(shù)，且/(X)=X+21,貝！J/(x)=()

x2'+2

(A)T(B)T+(C)x-1(D)X+2.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

Iim(l+3x)

已知二三是〃x）的一個(gè)原函數(shù),

X

Vx2arcsinx4-1,

----/■——dx=

JK

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.設(shè)函數(shù)y=y（x）由方程e"'+sin（孫）=1確定，求V（x）以及V（0）.

xex<0

設(shè)/(x)=?9

O<x<1

g(x)=^f(xt)dt=4

12.設(shè)函數(shù)/（*）連續(xù)，。，且…。x一，4為常數(shù).求

g'（x）并討論g'（x）在X=0處的連續(xù)性.

,y（l）=

13.求微分方程盯+2y=xIn*滿足9的解.

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線y=y（x）（XN°）,過點(diǎn)（°」），且曲線上任一點(diǎn)

“（/，打）處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線x=x°所圍成

面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.

五、解答題（本大題io分）

15.過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍

成平面圖形D.

（1）求D的面積A；（2）求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)/J）在［°川上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的qdo，iJ,

jf(x)dx>qjf(x)d.

九冗

\f{xydx=0f/（x）cosxdx=0

17.設(shè)函數(shù)/（X）在[°，句上連續(xù)，且W,o

證明：在（°，萬）內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)54,使/值）=/（$）=0?（提

X

尸口）=[f（x）dx

示：設(shè)0）

解答

一、單項(xiàng)選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

71

6-1(/C---O----S---X--)、2+C-4

.6.2x.7.2.8.3

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.解：方程兩邊求導(dǎo)

ex+y（l+y'）+cos（盯）（盯'+y）=0

*+ycos(xy)

x+y+xcos(xy)

%=0,y=0,y'(0)=-1

10.解：u=x17xhdx=du

原西T式=—1—)d,u=-1)du

7z)7

=y(InIizI-2InIw+11)+c

1.2

=-Inlx71——lnll+x7l+C

77

2

U.解：l'3fMdx=^xe-dx+^2x-xdx

=￡xrf(-e~x)+fy/l-(x-l)2dx

^cos20d0(令-1=sin6)

2

=----2e'-1

4

12.解：由/（°）=°,知g（°）=°。

1w

g(x)=jf(xt)dt=-----------

(xwO)

X

xf(x)-jf(u)du

0(x*0)

x2

g，(0)=lim__--=lim2

XTOXXT。2x2

X

Xf(x)-jf(u)du

Hmg，(x)=lim----------%---------=A---=—,,、

—…。x222,g(x)在x=O處連續(xù)。

dy2

—+—v=Inx

13.解：dxx

-f,「rldI

y=e>x(\elxInxdx+C)

=—xlnx——x+Cx~2

39

j(l)=--,C=0j=—xlnx-—x

9,39

四、解答題(本大題10分)

14.解:由已知且y'=2>dx+y,

將此方程關(guān)于X求導(dǎo)得y"=2y+<

特征方程：r2-r-2=0解出特征根：。=-1，々=2.

x2x

其通解為y=Cte-+C2e

c=—C=—

代入初始條件y(°)=y'(°)=i,得?3,23

y=-e~x+—e2x

故所求曲線方程為：’33

五、解答題(本大題10分)

y-1111ro=—(x-x0)

15.解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為(Xo，Ex。)，切線方程：*0

1

V=—X

由于切線過原點(diǎn)，解出“。=%從而切線方程為：e

1]

A=\(ey-ey)dy=-e-l

則平面圖形面積02

V——乃e2

(2)三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為匕，則?3

曲線y=lnx與*軸及直線*=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積

為V2

1

y2

V2=^(e-e)dy

V=V.-V=-(5e2-12e+3)

D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積'226V

六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共12分)

夕1g<71

J7(x)dx-qj7(x)d=J7(x)dx-q(J7(x)dx+J/(x)d>

16.證明：00。0q

qi

=