計算機算法教學(xué)課件

計算機算法算法基礎(chǔ)與分類排序算法查找算法圖論算法動態(tài)規(guī)劃貪心算法分治算法回溯與分支限界法contents目錄01算法基礎(chǔ)與分類03算法表示算法可以用自然語言、偽代碼、流程圖等多種方式進行描述和表示。01算法定義算法是一組明確的、有序的、可重復(fù)的規(guī)則，用于解決特定問題或執(zhí)行特定任務(wù)。02算法特性一個有效的算法應(yīng)該具有確定性、有限性、輸入/輸出性、可行性等特性。算法定義及特性衡量算法運行時間隨輸入規(guī)模增長而增長的速率。時間復(fù)雜度衡量算法所需存儲空間隨輸入規(guī)模增長而增長的速率?？臻g復(fù)雜度有助于評估算法的效率，指導(dǎo)算法優(yōu)化和改進。復(fù)雜度分析意義算法復(fù)雜度分析排序算法搜索算法圖論算法分治算法常見算法分類01020304用于對一組數(shù)據(jù)進行排序，如冒泡排序、快速排序等。用于在數(shù)據(jù)集中查找特定元素，如線性搜索、二分搜索等。用于解決與圖形相關(guān)的問題，如最小生成樹、最短路徑等。將問題分解為若干個子問題，遞歸地解決子問題，如歸并排序、快速傅里葉變換等。02排序算法總結(jié)詞通過重復(fù)地遍歷待排序的數(shù)列，一次比較兩個元素，如果他們的順序錯誤就把他們交換過來。遍歷數(shù)列的工作是重復(fù)地進行直到?jīng)]有再需要交換，也就是說該數(shù)列已經(jīng)排序完成。詳細描述冒泡排序的基本思想是，對于未排序的序列，通過相鄰元素之間的兩兩比較和交換，將較大的元素逐漸往后移，較小的元素逐漸往前移，直到整個序列有序。冒泡排序總結(jié)詞在未排序的序列中找到最小（或最大）的元素，存放到排序序列的起始位置，然后再從剩余未排序的元素中繼續(xù)尋找最?。ɑ蜃畲螅┰?，然后放到已排序序列的末尾。以此類推，直到所有元素均排序完畢。詳細描述選擇排序的基本思想是，在未排序的序列中找到最?。ɑ蜃畲螅┰?，存放到已排序序列的起始位置，然后再從剩余未排序的元素中繼續(xù)尋找最?。ɑ蜃畲螅┰兀缓蠓诺揭雅判蛐蛄械哪┪?。以此類推，直到所有元素均排序完畢。選擇排序插入排序?qū)⒁粋€數(shù)據(jù)插入到已經(jīng)排好序的有序數(shù)據(jù)中，從而得到一個新的、個數(shù)加一的有序數(shù)據(jù)?？偨Y(jié)詞插入排序的基本思想是，將一個數(shù)據(jù)插入到已經(jīng)排好序的有序數(shù)據(jù)中，從而得到一個新的、個數(shù)加一的有序數(shù)據(jù)。插入排序在實現(xiàn)上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的額外空間的排序），因而在從后向前掃描過程中，需要反復(fù)把已排序元素逐步向后挪位，為最新元素提供插入空間。詳細描述通過一趟排序?qū)⒁判虻臄?shù)據(jù)分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有數(shù)據(jù)都比另一部分的所有數(shù)據(jù)要小，然后再按此方法對這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)分別進行快速排序，整個排序過程可以遞歸進行，以此達到整個數(shù)據(jù)變成有序序列。總結(jié)詞快速排序的基本思想是，通過一趟排序?qū)⒁判虻臄?shù)據(jù)分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有數(shù)據(jù)都比另一部分的所有數(shù)據(jù)要小，然后再按此方法對這兩部分?jǐn)?shù)據(jù)分別進行快速排序，整個排序過程可以遞歸進行，以此達到整個數(shù)據(jù)變成有序序列。詳細描述快速排序VS采用分治法（DivideandConquer）策略對數(shù)組進行排序。將數(shù)組分成兩個子數(shù)組，分別對子數(shù)組進行排序，然后將排好序的子數(shù)組合并成一個有序數(shù)組。詳細描述歸并排序的基本思想是，將數(shù)組分成兩個子數(shù)組，分別對子數(shù)組進行排序（使用歸并排序遞歸地進行），然后將排好序的子數(shù)組合并成一個有序數(shù)組。這個過程可以遞歸進行，直到子數(shù)組的長度為1，此時直接返回該子數(shù)組即可?？偨Y(jié)詞歸并排序03查找算法線性查找時間復(fù)雜度O(n)，其中n是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的元素數(shù)量。適用場景適用于小規(guī)模數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，且數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的元素?zé)o序。O(logn)，其中n是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的元素數(shù)量。適用于有序數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如數(shù)組、鏈表等。二分查找適用場景時間復(fù)雜度時間復(fù)雜度O(1)，在最理想的情況下。但在哈希沖突嚴(yán)重的情況下，時間復(fù)雜度可能達到O(n)。適用場景適用于鍵值對查找頻繁的場景，如字典、數(shù)據(jù)庫等。哈希表查找根據(jù)樹形結(jié)構(gòu)的性質(zhì)而定，如二叉搜索樹的平均時間復(fù)雜度為O(logn)。時間復(fù)雜度適用于需要快速查找且數(shù)據(jù)量較大的場景，如文件系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫索引等。適用場景樹形結(jié)構(gòu)查找04圖論算法鄰接矩陣、鄰接表、邊列表等。深度優(yōu)先搜索（DFS）、廣度優(yōu)先搜索（BFS）、Dijkstra算法等。圖的表示圖的遍歷圖的表示與遍歷Dijkstra算法用于求解單源最短路徑問題。Bellman-Ford算法用于求解帶負(fù)權(quán)重的單源最短路徑問題。Floyd-Warshall算法用于求解所有頂點之間的最短路徑問題。最短路徑問題Prim算法用于求解帶權(quán)重的最小生成樹問題。要點一要點二Kruskal算法用于求解無向圖的最小生成樹問題。最小生成樹問題123Ford-Fulkerson算法：用于求解最大網(wǎng)絡(luò)流問題。Dinic算法：用于求解最大網(wǎng)絡(luò)流問題的分層算法。Edmonds-Karp算法：用于求解最大網(wǎng)絡(luò)流問題的廣度優(yōu)先搜索算法。網(wǎng)絡(luò)流問題05動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃是一種通過將問題分解為子問題并將其結(jié)果存儲在表格中以避免重復(fù)計算的方法。動態(tài)規(guī)劃的關(guān)鍵在于正確地選擇狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移邊界，從而使得子問題的解能夠有效地復(fù)用和避免重復(fù)計算。動態(tài)規(guī)劃算法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度通常比暴力枚舉算法要低，因此在處理大規(guī)模問題時具有優(yōu)勢。動態(tài)規(guī)劃的基本思想是將原問題分解為若干個子問題，然后逐個求解子問題，并把子問題的解存入一個表格，在求解原問題的過程中，利用這個表格，避免求解重復(fù)的子問題。動態(tài)規(guī)劃原理及思想背包問題是一類常見的動態(tài)規(guī)劃問題，其基本形式是給定一組物品，每個物品都有自己的重量和價值，求在不超過背包承重限制的情況下，使得背包中物品的總價值最大。動態(tài)規(guī)劃解決背包問題的思路是先解決子問題，然后將子問題的解組合起來解決原問題。具體來說，就是將物品按照單位重量價值從大到小排序，然后從價值最大的物品開始逐個考慮是否放入背包中，如果放入背包中，則更新背包的承重限制和總價值。常見的背包問題有完全背包問題、多重背包問題和分?jǐn)?shù)背包問題等。背包問題最長公共子序列問題是一種常見的動態(tài)規(guī)劃問題，其基本形式是給定兩個序列，求這兩個序列的最長公共子序列的長度。最長公共子序列問題的應(yīng)用非常廣泛，例如在生物信息學(xué)中用于比較基因序列、在計算機視覺中用于特征匹配等。動態(tài)規(guī)劃解決最長公共子序列問題的思路是先解決子問題，然后將子問題的解組合起來解決原問題。具體來說，就是將兩個序列分別作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的兩個參數(shù)，然后根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程計算出每個位置的最長公共子序列長度。最長公共子序列問題其他經(jīng)典動態(tài)規(guī)劃問題其他經(jīng)典動態(tài)規(guī)劃問題包括矩陣鏈乘法問題、編輯距離問題、最長遞增子序列問題等。這些問題的解決方法通常都是通過定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移邊界，將原問題分解為若干個子問題，然后逐個求解子問題，并利用子問題的解來求解原問題。06貪心算法第二季度第一季度第四季度第三季度貪心策略貪心思想局部最優(yōu)解動態(tài)規(guī)劃貪心策略原理及思想在每一步選擇中都采取在當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)（即最有利）的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是最好或最優(yōu)的算法策略。在每一步選擇時，都采取當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是全局最好或最優(yōu)的算法思想。在每一步選擇中都追求當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)解，而不是考慮全局最優(yōu)解。貪心算法并不是通過重復(fù)計算已經(jīng)計算過的子問題來得到最優(yōu)解，而是通過不斷地做出在當(dāng)前狀態(tài)下最優(yōu)的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是全局最優(yōu)的算法。問題描述給定一組活動，每個活動有一個開始時間和結(jié)束時間，要求從中選擇最大的活動集合，使得任意兩個活動不沖突。貪心策略按照結(jié)束時間對活動進行排序，然后依次選擇結(jié)束時間最早的活動，這樣可以保證當(dāng)前選擇的活動與已選活動不沖突?；顒舆x擇問題活動選擇問題0102031.將活動按照結(jié)束時間進行排序。2.初始化一個空的活動集合。算法步驟3.依次選擇結(jié)束時間最早的活動，將其加入到活動集合中。4.重復(fù)步驟3，直到所有活動都被選擇完畢?；顒舆x擇問題問題描述給定一組權(quán)值，構(gòu)造一棵哈夫曼樹，使得樹中所有葉子節(jié)點的權(quán)值之和最小。貪心策略每次選擇當(dāng)前未被選擇節(jié)點中權(quán)值最小的兩個節(jié)點，將其合并為一個新的節(jié)點，并重新計算新節(jié)點的權(quán)值。哈夫曼編碼問題032.初始化一個空的哈夫曼樹。01算法步驟021.將所有節(jié)點按照權(quán)值進行排序。哈夫曼編碼問題0102033.依次選擇權(quán)值最小的兩個節(jié)點，將其合并為一個新的節(jié)點，并重新計算新節(jié)點的權(quán)值。4.將新節(jié)點加入到哈夫曼樹中。5.重復(fù)步驟3和4，直到所有節(jié)點都被合并完畢。哈夫曼編碼問題Dijkstra算法和Bellman-Ford算法都是貪心算法在解決最短路徑問題中的應(yīng)用。Dijkstra算法用于求解單源最短路徑問題，而Bellman-Ford算法用于求解多源最短路徑問題。最短路徑問題Kruskal算法和Prim算法都是貪心算法在解決最小生成樹問題中的應(yīng)用。Kruskal算法采用并查集數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，而Prim算法采用優(yōu)先隊列實現(xiàn)。最小生成樹問題其他經(jīng)典貪心算法問題07分治算法01分治策略是一種解決問題的基本方法，其基本思想是將一個復(fù)雜的問題分解為若干個較小的、相似的子問題，然后遞歸地解決這些子問題，最后將子問題的解合并以得到原問題的解。02分治策略的關(guān)鍵在于如何將問題分解，并選擇合適的子問題遞歸求解。03分治策略通常適用于具有以下特點的問題：問題規(guī)模較大，但可以分解為若干個規(guī)模較小的子問題；子問題與原問題具有相似性，可以通過相同的算法或策略解決；子問題的解可以合并為原問題的解。分治策略原理及思想歸并排序是一種典型的分治算法，它將一個無序數(shù)組分解為若干個子數(shù)組，遞歸地對子數(shù)組進行排序，最后將有序的子數(shù)組合并成一個有序的數(shù)組。為了優(yōu)化歸并排序，可以采用一些技巧，如使用二分查找法找到子數(shù)組的中間元素，以減少合并次數(shù)；或者采用多路歸并排序，將數(shù)組分成多個子數(shù)組，同時對多個子數(shù)組進行排序和合并。歸并排序的時間復(fù)雜度為O(nlogn)，其中n是數(shù)組的長度。歸并排序優(yōu)化VS大整數(shù)乘法問題是一個經(jīng)典的分治算法應(yīng)用，它通過將大整數(shù)分解為較小的數(shù)，然后遞歸地計算較小數(shù)的乘積，最后將結(jié)果合并得到大整數(shù)的乘積。大整數(shù)乘法問題的關(guān)鍵在于如何有效地分解大整數(shù)和合并子問題的解?？梢圆捎秘Q式乘法的思想，將大整數(shù)分解為多個因數(shù)，然后分別計算它們的乘積，最后將結(jié)果相加得到最終的乘積。大整數(shù)乘法問題其他經(jīng)典的分治算法問題包括快速排序、堆排序、矩陣乘法等。這些問題的共同點是它們都可以通過分治策略進行求解，即將問題分解為若干個子問題，遞歸地解決子問題，最后將子問題的解合并以得到原問題的解。其他經(jīng)典分治算法問題08回溯與分支限界法回溯法原理及思想回溯法是一種通過探索所有可能的解來求解問題的算法，它采用了一種深度優(yōu)先的搜索策略，通過不斷探索解空間樹來尋找問題的解。當(dāng)遇到無法繼續(xù)深入的情況時，回溯法會回溯到上一個狀態(tài)，繼續(xù)嘗試其他可能的解。回溯法的基本思想是從一個狀態(tài)出發(fā)，逐步深入，在每一步中都嘗試所有可能的解，并逐步構(gòu)建解空間樹?；厮莘ǖ暮诵氖羌糁瘮?shù)，用于判斷當(dāng)前狀態(tài)是否滿足問題的約束條件，如果不滿足則直接回溯。N皇后問題是一個經(jīng)典的回溯問題，要求在一個N×N的棋盤上放置N個皇后，使得任意兩個皇后都不能處于同一行、同一列或同一對角線上。解決N皇后問題的方法是使用回溯法，從第一行開始逐行放置皇后，在每一行中嘗試所有可能的放置位置，并使用剪枝函數(shù)判斷當(dāng)前位置是否合法。當(dāng)找到一個合法的N皇后放置方案時，回溯法會停止搜索并輸出該方案。N皇后問題求解解決0-1背包問題的常用方法是動態(tài)規(guī)劃算法，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程逐步計算出最優(yōu)解。動態(tài)規(guī)劃算法的時間復(fù)雜度為O(nW)，其中n為物品數(shù)量，W為背包容量。0-1背