六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《鴿巢問題》人教版

六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《鴿巢問題》人教版CONTENTS鴿巢問題基本概念鴿巢問題求解方法典型例題分析與解答練習(xí)題與答案解析學(xué)生常見錯(cuò)誤及糾正方法總結(jié)回顧與拓展延伸鴿巢問題基本概念01鴿巢原理，又稱抽屜原理或箱原理，是一種組合數(shù)學(xué)的基本原理。它表明，如果將多于n個(gè)物體放入n個(gè)容器，則至少有一個(gè)容器包含兩個(gè)或更多的物體。鴿巢原理可以簡(jiǎn)單表述為：如果要把多于n個(gè)物體放到n個(gè)容器里，則至少有一個(gè)容器里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體。鴿巢原理定義鴿巢原理在解決許多數(shù)學(xué)問題中非常有用，特別是在涉及存在性和計(jì)數(shù)的問題中。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，鴿巢原理被用于證明算法的正確性和分析算法的時(shí)間復(fù)雜度。在日常生活中，鴿巢原理也經(jīng)常被用于解決各種問題，例如分配任務(wù)、安排時(shí)間表、組織數(shù)據(jù)等等。鴿巢問題應(yīng)用場(chǎng)景指用于存放物體的容器，可以是一個(gè)盒子、一個(gè)袋子、一個(gè)房間等等。指要放入鴿巢中的物品或元素，可以是球、數(shù)、人等等。指在某個(gè)集合或范圍內(nèi)，至少存在一個(gè)元素滿足某個(gè)條件或性質(zhì)。指計(jì)算某個(gè)集合或范圍內(nèi)滿足某個(gè)條件或性質(zhì)的元素的數(shù)量。鴿巢物體存在性計(jì)數(shù)相關(guān)術(shù)語解析鴿巢問題求解方法02列舉法通過一一列舉的方式，將每種可能的情況都列出來，然后判斷哪種情況符合題目的要求。這種方法適用于問題規(guī)模較小，可以窮舉所有情況的問題。例如，有3只鴿子飛進(jìn)2個(gè)鴿巢，列舉出所有可能的情況：第一個(gè)巢1只，第二個(gè)巢2只；第一個(gè)巢2只，第二個(gè)巢1只；第一個(gè)巢3只，第二個(gè)巢0只。由此可以得出至少有一個(gè)鴿巢有2只或以上的鴿子。先假設(shè)每個(gè)鴿巢中的鴿子數(shù)量盡可能平均，然后逐步調(diào)整假設(shè)，直到找到符合題目要求的解。這種方法適用于問題規(guī)模較大，無法直接列舉所有情況的問題。例如，有100只鴿子飛進(jìn)99個(gè)鴿巢，假設(shè)每個(gè)鴿巢中都有1只鴿子，那么還剩下1只鴿子沒有地方放。根據(jù)鴿巢原理，至少有一個(gè)鴿巢中至少有2只鴿子。假設(shè)法通過構(gòu)造一個(gè)符合題目要求的特殊情況，來證明題目中的結(jié)論。這種方法適用于可以通過構(gòu)造特殊情況來解決問題的情況。例如，有5只鴿子飛進(jìn)3個(gè)鴿巢，可以構(gòu)造一個(gè)特殊情況：第一個(gè)巢放2只鴿子，第二個(gè)巢放2只鴿子，第三個(gè)巢放1只鴿子。由此可以得出至少有一個(gè)鴿巢有2只或以上的鴿子。這個(gè)特殊情況符合題目的要求，因此可以證明題目中的結(jié)論。構(gòu)造法典型例題分析與解答03有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿巢，至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿巢？此題考察的是鴿巢原理的基本應(yīng)用。當(dāng)鴿子的數(shù)量大于鴿巢的數(shù)量時(shí)，至少有一個(gè)鴿巢里會(huì)有多于一只的鴿子。根據(jù)鴿巢原理，5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿巢，至少有一個(gè)鴿巢里有2只鴿子。題目分析解答例題一：簡(jiǎn)單鴿巢問題分析此題在簡(jiǎn)單鴿巢問題的基礎(chǔ)上增加了難度，需要判斷至少有幾個(gè)鴿巢里會(huì)有2只以上的鴿子。題目有11只鴿子飛進(jìn)9個(gè)鴿巢，至少有幾個(gè)鴿巢里要有2只以上的鴿子？解答如果每個(gè)鴿巢里放1只鴿子，那么9個(gè)鴿巢可以放9只鴿子。剩下的2只鴿子無論放進(jìn)哪個(gè)鴿巢，都會(huì)導(dǎo)致那個(gè)鴿巢里有2只以上的鴿子。因此，至少有2個(gè)鴿巢里會(huì)有2只以上的鴿子。例題二：復(fù)雜鴿巢問題一個(gè)盒子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各10個(gè)，至少要取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中有2個(gè)同色的球？此題結(jié)合了鴿巢原理和顏色分類，需要判斷至少要取出多少個(gè)球才能保證有2個(gè)同色的球?？紤]最壞情況，即每次取出的都是不同顏色的球。在這種情況下，第一次取一個(gè)紅球，第二次取一個(gè)黃球，第三次取一個(gè)藍(lán)球。此時(shí)已經(jīng)取了3個(gè)不同顏色的球。再取一個(gè)球時(shí)，無論是哪種顏色，都會(huì)和之前取出的某個(gè)球顏色相同。因此，至少要取出4個(gè)球，才能保證取出的球中有2個(gè)同色的球。題目分析解答例題三：綜合應(yīng)用練習(xí)題與答案解析04有11個(gè)鴿子，要保證至少有一個(gè)鴿巢中至少有2只鴿子，鴿巢至少需要多少個(gè)？題目1題目2題目39只鴿子飛進(jìn)7個(gè)鴿巢，至少有一個(gè)鴿巢有幾只鴿子？13只鴿子飛進(jìn)了5個(gè)鴿巢，至少有一個(gè)鴿巢有幾只鴿子？030201練習(xí)題一：基礎(chǔ)題型六（1）班有個(gè)書架，40名同學(xué)可以任意借閱，試問書架上至少要有多少本書，才能保證至少有一名同學(xué)能借到兩本或兩本以上的書？籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友拿的水果是相同的？練習(xí)題二：提高題型題目2題目1基礎(chǔ)題型答案及解析題目1答案：6個(gè)鴿巢。解析：根據(jù)鴿巢原理，要保證至少有一個(gè)鴿巢中至少有2只鴿子，鴿巢數(shù)量應(yīng)比鴿子數(shù)量少一個(gè)，即11-1=10，但鴿巢數(shù)量應(yīng)為整數(shù)，因此至少需要6個(gè)鴿巢。題目2答案：2只。解析：9只鴿子飛進(jìn)7個(gè)鴿巢，根據(jù)鴿巢原理，至少有一個(gè)鴿巢中有?9/7?=2只鴿子。答案及解析題目3答案：3只。解析：13只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿巢，根據(jù)鴿巢原理，至少有一個(gè)鴿巢中有?13/5?=3只鴿子。答案及解析提高題型答案及解析題目1答案：41本書。解析：要保證至少有一名同學(xué)能借到兩本或兩本以上的書，考慮最差情況：每個(gè)同學(xué)都能借到一本書，則共需要40本書；此時(shí)再增加一本書，則必然有一個(gè)同學(xué)能借到第二本書，因此至少需要41本書。題目2答案：9個(gè)小朋友。解析：四個(gè)水果中任意拿兩個(gè)水果有C(4,2)=6種情況，把這6種情況看作6個(gè)抽屜，把81個(gè)小朋友看作81個(gè)元素，從最不利的情況考慮，前6×(81÷6)=72個(gè)小朋友拿的水果都不相同，那么剩下的81-72=9個(gè)小朋友拿的水果一定與前72個(gè)小朋友中的某一個(gè)相同。因此至少有9個(gè)小朋友拿的水果是相同的。題目3答案及解析：證明過程如下：首先明確任意一個(gè)自然數(shù)被3除的余數(shù)只能是0、1、2中的一個(gè)。根據(jù)抽屜原理，5個(gè)自然數(shù)被3除后必有兩個(gè)余數(shù)相同。假設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a和b（a>b），那么a-b一定是3的倍數(shù)。再假設(shè)另有一個(gè)數(shù)c，若c與a或b中的某一個(gè)數(shù)余數(shù)相同，則這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之差是3的倍數(shù)；若c與a和b余數(shù)均不同，則c與a或b的差必是3的倍數(shù)。因此任意5個(gè)自然數(shù)中，必可找出3個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和能被3整除。答案及解析學(xué)生常見錯(cuò)誤及糾正方法05學(xué)生可能對(duì)鴿巢原理的理解存在偏差，導(dǎo)致無法正確應(yīng)用該原理解決問題。在解題過程中，學(xué)生可能出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，如除法運(yùn)算不準(zhǔn)確等。部分學(xué)生可能在解題時(shí)邏輯不清晰，導(dǎo)致答案不合理或無法理解。理解偏差計(jì)算錯(cuò)誤邏輯混亂常見錯(cuò)誤類型學(xué)生對(duì)鴿巢原理的基本概念和應(yīng)用場(chǎng)景理解不深入，導(dǎo)致在解題時(shí)無法準(zhǔn)確運(yùn)用?；A(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)學(xué)生可能缺乏解題技巧和方法，無法有效地將鴿巢原理應(yīng)用于實(shí)際問題中。缺乏解題技巧部分學(xué)生可能受到思維定勢(shì)的影響，無法從多個(gè)角度思考問題，導(dǎo)致解題思路受限。思維定勢(shì)錯(cuò)誤原因分析通過課堂講解、練習(xí)和討論等方式，幫助學(xué)生深入理解鴿巢原理的基本概念和應(yīng)用場(chǎng)景。強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)教授學(xué)生一些有效的解題技巧和方法，如逆向思維、分類討論等，提高他們解決問題的能力。培養(yǎng)解題技巧鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度思考問題，打破思維定勢(shì)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維能力。拓展思維訓(xùn)練對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行及時(shí)反饋和指導(dǎo)，幫助他們找出錯(cuò)誤原因并加以糾正，同時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略和方法。及時(shí)反饋與調(diào)整糾正方法和建議總結(jié)回顧與拓展延伸06

本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容回顧鴿巢原理的基本表述如果n個(gè)鴿子飛進(jìn)n-1個(gè)鴿巢，那么至少有一個(gè)鴿巢中有兩只鴿子。鴿巢原理的應(yīng)用通過構(gòu)造“鴿巢”來解決一些存在性問題，如整除性問題、染色問題等。利用鴿巢原理解題的步驟確定“鴿巢”和“鴿子”，構(gòu)造鴿巢，應(yīng)用鴿巢原理得出結(jié)論。通過構(gòu)造具體的“鴿巢”或“鴿子”來解決問題。假設(shè)結(jié)論不成立，通過推理得出矛盾，從而證明結(jié)論成立。通過個(gè)別到一般的推理過程，得出一般性結(jié)論。構(gòu)造法反證法歸