高等數(shù)學上冊期末考試試卷

一數(shù)學考試卷一

2005-2006學年第一學期

一.填空題（每小題3分，共15分）

1,極限limxsin—=—,limxsin—=0，limxsin—

X72%乃XXT8X

K--------

X-COSt兀

在f=上對應點處的切線方程為y=x。

{y=sint4-----

3.設/（x）的一個原函數(shù)為如X,則尸（犬）=一二。

X

4.函數(shù)在［凡們上連續(xù)，是/G）可導的必要條件；是/（幻可積的充分條件。

Y—fL

5.曲線4'介于41之間的弧長為

j=2f—

二.選擇題（每小題3分，共15分）

1.極限lim（l—工）2、等于（D）A.e2

B.-eC.2eD.

18

X2

2.當%—0時，［ftan3/是的（I））.

Jo

A.高階無窮小B.等價無窮小C.低階無窮小D.同階無窮小

3.曲線y=x"在區(qū)間（A）上是凸的。

A.(―<x),—2)B.(―2,+8)C.(—00,2)D.(2,+00)

,,,1+e.、

4.曲線y=-----r（I））。

l-e-r

A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線

C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線乂有鉛直漸近線

5-廣義積分廣洋=（人）

TTTT

A.-B.-C.發(fā)散D.Tl

24

三.解答題（每小題7分，共57分）

1.求極限limcscxi°tx。

XTOy

1/1\12

———(1-cosx)-x

CSCx-cotX2

解:hm----------=

10XXTOx-----------------x->0%22

2.求極限limx(e^-l)?

X—>00

11-1

解:limx(ex-l)=lim---lim=1o

X->00XT8JX-?00

X

3.已知函數(shù)/(1)=二一，求/'(x)。

X1+x

解：令，=,，則/⑴=,所以/(x)=」一1

/(x)'=—

X.,1l+t1+x(1+X)2

1d—

4.設函數(shù)》=/小3工*〉0),求dy。

解：對函數(shù)y=/in3*(x>0)兩邊取對數(shù)，得Iny=sin3x」nx,

再對x求一階導數(shù)，得—=3cos3xlnx+sin3x--,

)'x

所以V=xsin3v(3cos3x-Inx+sin3x?—),dy=yfdxxs,n3v(3cos3x-Inx+sin3x?—)dx。

xx

Q

5.求函數(shù)y=2x+—(1>0)的單調區(qū)間及其極值(8分)。

x

o

解：求導數(shù)了二2--，令y'=0,得x=±2(負舍)

xr

(0,2)：!(2,+,。)

y'+

y

所以函數(shù)的單調增區(qū)間為(2,+8),單調減區(qū)間為(0,2)。x=2是極小值點，極小值為Mm=8。

1+arcsinx.

6.求積分——,axo

解：jl+：1*￥網(wǎng)=arcsinx+jarcsinxd(arcsinx)=arcsinx+—(arcsinx)2+C(C為任意常

V1-x22

數(shù))。

23

7.求積分j3(V9-X+sinx)(lx。

解：|(V9-x2+sin3%)(k=^yj9-x2dx+Jsin3xdx,

因為函數(shù))，=內二3"在區(qū)間［-3,3］是偶函數(shù)，而函數(shù))，=5m3兀在區(qū)間［-3,3］是奇函數(shù)。所以,

2

有^9-xdx=2/飛9-x?dx,[sin3xdx=0。

J；(19一X2+sin32)dx=2,也―/dx

科I------ra,949129兀

令x=3sin/,貝ijj,9一工2心=p9cos2tdt=—p(l+cos2r)dr=—(t+—sin2r)=—,

22204

所以J3(J^二？+sin3x)dx=?o

2x

8.求積分esinxcLro

Jo

解：e2xsinxdx=；/sinxde?”=-^(sinx-e2x|^-￡e2xcosxdx)

2x

=￡cosxd/*=一;(cosx-/"；+￡esinxdx)

2x2x

=_；(cosx?e2]；+￡esinxdx)=+1)-；￡esinxdr

所以。e2Asinxdx=；(《2,+1)。

四.計算拋物線y2=2x與直線y=x—4所圍的圖形的面積(8分)。

解：先求交點,得(2,-2),(8,4)o

4

所求面積5=f(y+4-亡)dy=(，y2+4y_1y3)

=18。

2

,^226-2

五.設函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內可導，且/(0)=/(1)=0,/(1)=1,證明在(0,1)內有

一點使/&)=1(5分)。

證明：因為函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內可導，且/(0)=/⑴=0,/(1)=1,

構造新函數(shù)尸(x)=/(x)-x,則F(；)=；,F(l)=-1,由零點定理，P(x)在區(qū)間(；,1)內

至少存在一個零點(L1)，「①)=0，

函數(shù)在區(qū)間［0,〃］上連續(xù)，在(0,〃)內可導，且尸(0)=0,F①)=0,由羅爾定理，得

尸(x)在區(qū)間(0,〃)內至少存在一個自€(0,〃),使得F'0=0,而(0,〃)u(0,1),所以在(0,1)內有

一點&，使/《)=1。

2006-2007學年第一學期

填空題(每小題3分，共30分)

1./(x)=(x-2)、叵^的定義域是[-1,1)

V1-x---------------------

2.limcosx?sin一=03.lim|1--j=e

XXf8VXJ------

z-?___VV<2

4.設/(x)=「一、是連續(xù)函數(shù)，則〃a)=12.

2xx>2

5.函數(shù)/(x)在x0處可導是/(x)在x0處連續(xù)的充分條件.

6.(”+1。4=10x9+10vlnl0.

7.已知/(%)=一2,則lim""。一")-=6.

hTOh

8.Ve-xdx^1.9.若fix,，則/(x)=2/3.

1/(%)=12①----------

10.由曲線y=/(x),直線x=a,x=/>(a<b)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉而成的

旋轉體的體積的定積分表達式是p/2(x)dx.

二.解答題(每小題7分，共35分)

1.計算limx?(2-arctanx].

—(2)

題內一..f-arctanx-x2..2x.

解：原式=lim-------------=lim―4y=lim-------=lim-----=1

2.計算lim(」——U-

xT01xtanxx)

HAI.x-tanx..xcosx-sinxxcosx-sinx

解:原式=lim--------=lim-----------lim

?3°xtanx1°xcosxx->0

-xsinx]_

lim

xf03

3.設函數(shù)y=lnH，求yL

X+1

1-212x

解：y=-x-ln(x+1)，y=

22x+1

x=e21求電，d2y

9.設參數(shù)方程■

[y=2t3+2dxdr"

dy_6t123d2y6te-2'-6re-2'

解：Q/2-2/

dx_2e2''dx22e2'

10.已知y=y(x)是由方程siny+xe*=0所確定的隱函數(shù)，求dy.

解：原方程兩邊對x求導，得cosy-y'+e，v+xe>'?>'=()

解得y'=---------或,'=——--------

cosy+xesiny一cosy

,>

從而dy=------e--------dr

siny-cosy

三.解答題(每小題6分，共18分)

2

1.計算jxarctanxdr.解：原式=jarctanxdlgx?)=-^xarctanJ2dx

22

=—xarctanx--j(1-2)dx=—xarctanx-—[x-arctanx]+C

121

=—(x+l)arctanx--x+C

1.計算『匕皿dr.

JlX

2.解：原式=j(l+lnx)d(l+lnx)=1[(l+lnx)2],=ln2+1(ln2)2

2

3.計算[.Xdr.解：令x=2sinr,則dx=2cosfdf,

J74^7

原式=j；int?2cos疝=2j(l-cos2x)dr=2x-sin2x+C

,1,

四.證明：》>0時，ex>l+x+—x-.

2

證：方法1.f(x)-ex-l-x--^x2,求導得/'(x)=e*-1一x

又因為_T(x)="-l〉0

所以r(x)在［0,+oo)上單調遞增，則r(x)>/(0)=0，

這說明/(x)在［0,+oo)上單調遞增，故/(x)〉/(0)=0,即原不等式成立.

x.123112

方法2.e—1+xH—xH---x21+xH—x,(0<J<x)

2!3!2!

五.求曲線y-Inx(2<x<6)的一條切線，使得該切線與直線x-2,x-6及曲線y=Inx所

圍成的圖形面積A為最小.

解：設&Inf)為曲線y=Inx上任意一點，則此點處的切線方程為

y=-(x-/)+ln/,即y=2+lnf-l,于是所求面積為

tt

A=［［—FInf—1—Inxdx=——Fxlnf—xlnx=4(In/H—)+2In2—61n6.

令”=4p■—?1=0,得f=4,又當f<4時，—<0,當f〉4時，—>0,故f=4時,

dtVt)dtdt

A取得極小值，也是最小值.

從而得到所求的切線方程為><=-(x-4)+ln4

4

六.設不恒為常數(shù)的函數(shù)“X)在口,切上連續(xù)，在(a,b)內可導，且/(a)=/(b),證明在

(?,b)內至少存在一點J,使得尸(4)>0.

證:因/(a)=/(b)且不恒為常數(shù)，故至少存在一點ce(a,b)使得/(c)H/(a)=/(b),

于是/(c)>/(a)或/(c)<f(a).

不妨設/(c)>/(a)，則在［a,c］上/(x)滿足Lagrange定理條件，故至少存在一點

Je(a,c)u(a,b),使

/?J?-/⑷>0.對于/（c）<f（a）情形,類似可證.

c-a

2007-2008學年第一學期

一、填空題（共50分每小題2分）

1.Jn6—2）的定義域是（2,3）U（3,+8）.

2.limx-cos—=0.

x-3------x-)-----—-

4.設/（尤）=”■―十2）,則丁=1是f（x）的可去間斷點.

x-1

5.函數(shù)y=—「有2.個間斷點.

1-M

6.xf0,sinl是。的等價（等價、高階）無窮小.

（e\x<0

7.設/0）=〈是連續(xù)函數(shù)，則〃=」_.

[a+x,x>0

8.已知:（2）=3,則lim"2〃）/（2）=一1

53〃

9.曲線y=sinx在點（〃,0）處的切線方程為x+y-?=0.

10.設y=arctanx2,則dy=———dr.

1+x

11.設函數(shù)/(x)在點與處可微，則lim/(x)=/(x0).

XTX0_________

[x=at2dy3b

12.若〈，則工=——t.13.函數(shù)y="—x—1的單調增加區(qū)間是[0,+oo).

=#Jx2a---------

14.函數(shù)y=x+」(X>0)的圖形的凹區(qū)間是(0,+8).

X---------

15.設/（無）在X。處可導且X。是/（X）的極值點，則，（為）=0.

dsinr..x

16.x=0是函數(shù)y=x-ln（l+x）的極小值點?17.—----dt=sme.

dx

cosJdt

'0

18.sin(3x+1)cLx=—；cos(3x+1)+C.19.limI

x->0X

d

20.若/(x)dx=2A+x3+C,則/(=)=2Mn2+3x2.21.—/(x).

dx

廣義積分「:讓的斂散性是發(fā)散.

22.

Ji%

23.用定積分表示光滑曲線弧y=/（x）上相應于a<x<b的一段弧的弧長

24.拋物線y=/與>2=》在第一象限所圍的圖形的面積4=%.

25.由曲線y=",直線x=0,x=l及％軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的立體的體積

V=f(e2-1).

二、解答題（共15分每小題5分）

1.limx(Vl+x2-x)=lim/丁--

…，*，1+爐+工

2.lim±『=lim^—=lim—=-

xf。x~2x22

「sinx-tanx-sinx(cosx-l)「sinxcosx-1八

3.lim------------=hm---------------=lim--------------=0

10xioxcosxxcosx

三、解答題（共15分每小題5分）

1.設y=ln(x+Jl+L')+a+tan—+/,求y.

x

i。)iri1

------1-|——-|---------------

X+V1+X2IA/1+X2J1+(5)2\X2)1+x2

2.設函數(shù)y=%加入（1>o）,求dy.

Iny=sinx-lnx

,ix[sinxs,nvSnX

y=xsn(zcosx-lnx+-----)xdy=x(cosx?Inx+^)dx

xx

3.已知y=y(x)是由方程"+孫=e所確定的隱函數(shù)，求y'(0).

不力士i?一。dy_ydy_y_,

yy

dxdrdxe+xdrt=0e+xJ=o

四、解答題(共10分每小題5分)

1.jxe'dr=Je'd(x2)=；"+C

2.f^3lnxd.￥=flnxd(—x4)=—[x4InxJ--fx4-—dx=41n2--[x4]^=41n2--

JJi444Jx1616

五、(6分).設拋物線丁=。/+。%+。過原點，當OWxWl時y20,又已知該拋物線與x軸及直

線x=l所圍圖形的面積為，，試確定仇。，使此圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.

3

解：由拋物線y=。》2+Z?x+c過原點，得c=0,..............r

?.?面積S=1(+bx)dxb=—(1-a),...............1’

J3233

從而體積v=7+2(]_。)])2山，_￡￡_+—+—.........r

J311352727

,,,/4a1、

V=7T(——+—)...r

13527

553

令V'=0,得唯一駐點a=—,從而當a=—,b=—,c=0時，旋轉體的體積最

442

小..........2'

六、(4分)"》)在［a,+8)上連續(xù)，/(a)=0,/"(x)>0,下面有兩種證法證明

g(x)="幻在(a,+8)內單調增加：

(x-a)

法一???/(無)在［a,幻(x>a)上連續(xù)，在(a,x)內可導，,由拉格朗日定理得

:G)(a<=<x)，

x-a

將/(?)=0代入上式得g(x)=/工=-C)，

(x-a)

?.?在(a,+8)內/"(X)>O,，/'(X)在(氏+8)內單調增加，：./0在(。,+00)內單調增加,

由此g(x)=.在(a,+8)內也單調增加.

(x-a)

法二,設F(x)=f'(x)(x-a)-f(x),

(x-a)-

則F'(x)=f\x)(x-a).

:在(a,+oo)內內"(x)>0,x-a>0,F'(x)>0,由題設知尸(x)在［a,+8)上連續(xù),

，在［a,+8)上單調增加，又f(a)=0,.,.在(a,+oo)內/(％)>0,從而在(a,+8)內

g'(x)>0,由此g(x)=jQ在(a,+8)內單調增加.

(x-a)

問題：哪一種證法是正確的？哪一種證法是錯誤的？為什么？

解：法二是正確的，法一是錯誤的，.........2'

因為隨著x的增大J并不?定增大..........2'

2008-2009試卷(A卷)答案

一、填空題（共50分每空2分）

1./."）=%1（x+i）的定義域是（TO）U（0,+8）.2.lim^x-sin-^=￡.

4.2.

“783n-3

In（l-x）

6.lim-----------=-1.

x-----------

a+x+x,x<0

7.當。=3時，函數(shù)〃%)=41.,c在x=0處連續(xù).

------I-sin3x,x>0

8.設函數(shù)/(x)在點與處可微，則lim/(x)=f(x0).

9.設/(X)=(X—2)(X+3),貝心=」_是/⑴的可去間斷點.

x-4

10.若y=xtan(l-x),則y'=tan(l-x)-xsec2(1-x)

11.若y=21n(/+l),則y=4%?+].

2

他若yx”=1+1，則,dv本二3dy_3_

dr24r

13.曲線y=,在(1,1)點處的切線方程為x+y-2=0.

X-----------

14.函數(shù)/(x)=/-/+i的單調減區(qū)間為血%］或(0,%),極大值為1

15.函數(shù)y=x—2(無＞0)的圖形的凸區(qū)間是(0,+oo).

x------

17.cos(3x+l)d.x=|sin(3x+l)+C.

F&=ln2

19.cosx

1+sinx

20.設/(無)的一個原函數(shù)是e23則/(x)=2e

21.廣義積分「2'出=的斂散性是22.1國心=%

23.由曲線y=%2,直線x=0,x=1及x軸所圍成的平面圖形繞次軸旋轉一周而成的立體

的體積V=%.

二、計算題(共12分每小題6分)

xx

1111e-\-Xe-1

1.lim(--------).解：lim(--------)=lim-------=lim---------

2°xex-1xex-1z°x(e'-l)ex-1+xex

1

lim

A-?0e'+e'+xc2

sin-tanxsinx-tanx

2.lim解：lim

x->0x3x->0x3

sinx(cosx-l)smxCOSR-11

=limlim

A->0x3cosxxfOxX2cosx2

三、解答題(共12分每小題6分)

y=(cosx)sm'，求dy.

ysin2x

解：Iny=sinxUncosx-=(cosA:-Incosx-

ycosx

qin之Y

dy=(cosx)s'n”(cosx-Incosx------)dr

cosx

2.已知y=y(x)是由方程e'+6孫+/—1=0所確定的隱函數(shù)，求了(0).

角軋+6y+6x?-4-2x=0

dx'dx

dj_2x+6ydy2x+6y

=0

yy

dxe+6xdxx=0e+6xx=0

四、解答題(共12分每小題6分)

=|『<1(34)

解:疝=-e^+C

y[x3

*2卜]nxdr-\x2Inx],--fx2-dr

2.x\nxdx.解:

2Lj2Jx

=21n2一步]；3

=21n2--

4

五、(6分)證明：當x>l時，(/—l)lnx>(x—1>.

證明：只需證明(x+l)lnx>(x-l).

令〃x)=(x+l)lnx—(x—1).......2'

/V)=ln%+->0,在工+8)單調遞增..........2'

/(1)=0,當x>l時，/(x)>0,

即(x2-l)lnx>(x-l)2.2'

六、（8分）設有曲線y=4/（04%（1）和直線丫=。（0＜。＜4）.記它們與y軸所圍圖形

的面積為吊，它們與直線x=l所圍圖形的面積為A2-問。為何值時，可使A=4+4最

小？并求出A的最小值.

解：A=4+A,=4'

A，(c)=Vc-1

令A(c)=-1=0,得c=l.2,

2'

另解:

214

-c2-c+-4'

33

A(c)=c7-1

令A'(c)=c2-1=0,得c=1.2'

A"(l)=2>0,c=l為最小值點.

2-4

minA==r2-c+y]=1.2'

C=1

2008-2009試卷（B卷）答案

一、填空題(共50分每小題2分)

1.〃幻=』-7^’的定義域是[-1,0)11(0,1]

x-----------

(n(i\

2.limx-sin—=0,limx-sin—=1.

AJ——sixJ~

lim[1+—(2n-l)(n+l)2

3.4.lim

Xn—>x3n23

i.x2+x—23In(l-x)

5.lim——；----6.lim-----------—1

fx-125x

2+x,x<0

7.設/(x)=-是連續(xù)函數(shù)，則a=2.

acosx,x>0-

8.設函數(shù)/(x)在點x0處可微，則lim/(x)=/(/).

Af0____________

x3-l

9.若要使〃x)=在x=l處連續(xù)，則必須補充定義/(1)=3.

x—\

10.若y=4+lnx+eT,則(擊+《一e-*)dx

x+1sinx-(x+l)cosx

?2

sinxsm~x

x=1+廣dy3d2y3

12.若?9貝II二———t

y=t3dx2dx24f

13.曲線y=cosx在點f1,0)處的切線方程為x+y-￡=0.

14.函數(shù)/(幻=爐-V+l的單調減區(qū)間為［0,%］或(0,%),極大值為」

15.函數(shù)y=的圖形的凸區(qū)間是(—8,—2).

16.設/(%)的一個原函數(shù)為Inx,則/(x)=」.

X

17.cos(3x+l)dr=jsin(3x+l)+C.

7cosx

----