高等數(shù)學上冊期末考試試卷_第1頁
高等數(shù)學上冊期末考試試卷_第2頁
高等數(shù)學上冊期末考試試卷_第3頁
高等數(shù)學上冊期末考試試卷_第4頁
高等數(shù)學上冊期末考試試卷_第5頁
已閱讀5頁,還剩11頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

一數(shù)學考試卷一

2005-2006學年第一學期

一.填空題(每小題3分,共15分)

1,極限limxsin—=—,limxsin—=0,limxsin—

X72%乃XXT8X

K--------

X-COSt兀

在f=上對應點處的切線方程為y=x。

{y=sint4-----

3.設/(x)的一個原函數(shù)為如X,則尸(犬)=一二。

X

4.函數(shù)在[凡們上連續(xù),是/G)可導的必要條件;是/(幻可積的充分條件。

Y—fL

5.曲線4'介于41之間的弧長為

j=2f—

二.選擇題(每小題3分,共15分)

1.極限lim(l—工)2、等于(D)A.e2

B.-eC.2eD.

18

X2

2.當%—0時,[ftan3/是的(I)).

Jo

A.高階無窮小B.等價無窮小C.低階無窮小D.同階無窮小

3.曲線y=x"在區(qū)間(A)上是凸的。

A.(―<x),—2)B.(―2,+8)C.(—00,2)D.(2,+00)

,,,1+e.、

4.曲線y=-----r(I))。

l-e-r

A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線

C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線乂有鉛直漸近線

5-廣義積分廣洋=(人)

TTTT

A.-B.-C.發(fā)散D.Tl

24

三.解答題(每小題7分,共57分)

1.求極限limcscxi°tx。

XTOy

1/1\12

———(1-cosx)-x

CSCx-cotX2

解:hm----------=

10XXTOx-----------------x->0%22

2.求極限limx(e^-l)?

X—>00

11-1

解:limx(ex-l)=lim---lim=1o

X->00XT8JX-?00

X

3.已知函數(shù)/(1)=二一,求/'(x)。

X1+x

解:令,=,,則/⑴=,所以/(x)=」一1

/(x)'=—

X.,1l+t1+x(1+X)2

1d—

4.設函數(shù)》=/小3工*〉0),求dy。

解:對函數(shù)y=/in3*(x>0)兩邊取對數(shù),得Iny=sin3x」nx,

再對x求一階導數(shù),得—=3cos3xlnx+sin3x--,

)'x

所以V=xsin3v(3cos3x-Inx+sin3x?—),dy=yfdxxs,n3v(3cos3x-Inx+sin3x?—)dx。

xx

Q

5.求函數(shù)y=2x+—(1>0)的單調區(qū)間及其極值(8分)。

x

o

解:求導數(shù)了二2--,令y'=0,得x=±2(負舍)

xr

(0,2):!(2,+,。)

y'+

y

所以函數(shù)的單調增區(qū)間為(2,+8),單調減區(qū)間為(0,2)。x=2是極小值點,極小值為Mm=8。

1+arcsinx.

6.求積分——,axo

解:jl+:1*¥網(wǎng)=arcsinx+jarcsinxd(arcsinx)=arcsinx+—(arcsinx)2+C(C為任意常

V1-x22

數(shù))。

23

7.求積分j3(V9-X+sinx)(lx。

解:|(V9-x2+sin3%)(k=^yj9-x2dx+Jsin3xdx,

因為函數(shù)),=內二3"在區(qū)間[-3,3]是偶函數(shù),而函數(shù)),=5m3兀在區(qū)間[-3,3]是奇函數(shù)。所以,

2

有^9-xdx=2/飛9-x?dx,[sin3xdx=0。

J;(19一X2+sin32)dx=2,也―/dx

科I------ra,949129兀

令x=3sin/,貝ijj,9一工2心=p9cos2tdt=—p(l+cos2r)dr=—(t+—sin2r)=—,

22204

所以J3(J^二?+sin3x)dx=?o

2x

8.求積分esinxcLro

Jo

解:e2xsinxdx=;/sinxde?”=-^(sinx-e2x|^-£e2xcosxdx)

2x

=£cosxd/*=一;(cosx-/";+£esinxdx)

2x2x

=_;(cosx?e2];+£esinxdx)=+1)-;£esinxdr

所以。e2Asinxdx=;(《2,+1)。

四.計算拋物線y2=2x與直線y=x—4所圍的圖形的面積(8分)。

解:先求交點,得(2,-2),(8,4)o

4

所求面積5=f(y+4-亡)dy=(,y2+4y_1y3)

=18。

2

,^226-2

五.設函數(shù)/(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內可導,且/(0)=/(1)=0,/(1)=1,證明在(0,1)內有

一點使/&)=1(5分)。

證明:因為函數(shù)/(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內可導,且/(0)=/⑴=0,/(1)=1,

構造新函數(shù)尸(x)=/(x)-x,則F(;)=;,F(l)=-1,由零點定理,P(x)在區(qū)間(;,1)內

至少存在一個零點(L1),「①)=0,

函數(shù)在區(qū)間[0,〃]上連續(xù),在(0,〃)內可導,且尸(0)=0,F①)=0,由羅爾定理,得

尸(x)在區(qū)間(0,〃)內至少存在一個自€(0,〃),使得F'0=0,而(0,〃)u(0,1),所以在(0,1)內有

一點&,使/《)=1。

2006-2007學年第一學期

填空題(每小題3分,共30分)

1./(x)=(x-2)、叵^的定義域是[-1,1)

V1-x---------------------

2.limcosx?sin一=03.lim|1--j=e

XXf8VXJ------

z-?___VV<2

4.設/(x)=「一、是連續(xù)函數(shù),則〃a)=12.

2xx>2

5.函數(shù)/(x)在x0處可導是/(x)在x0處連續(xù)的充分條件.

6.(”+1。4=10x9+10vlnl0.

7.已知/(%)=一2,則lim""。一")-=6.

hTOh

8.Ve-xdx^1.9.若fix,,則/(x)=2/3.

1/(%)=12①----------

10.由曲線y=/(x),直線x=a,x=/>(a<b)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉而成的

旋轉體的體積的定積分表達式是p/2(x)dx.

二.解答題(每小題7分,共35分)

1.計算limx?(2-arctanx].

—(2)

題內一..f-arctanx-x2..2x.

解:原式=lim-------------=lim―4y=lim-------=lim-----=1

2.計算lim(」——U-

xT01xtanxx)

HAI.x-tanx..xcosx-sinxxcosx-sinx

解:原式=lim--------=lim-----------lim

?3°xtanx1°xcosxx->0

-xsinx]_

lim

xf03

3.設函數(shù)y=lnH,求yL

X+1

1-212x

解:y=-x-ln(x+1),y=

22x+1

x=e21求電,d2y

9.設參數(shù)方程■

[y=2t3+2dxdr"

dy_6t123d2y6te-2'-6re-2'

解:Q/2-2/

dx_2e2''dx22e2'

10.已知y=y(x)是由方程siny+xe*=0所確定的隱函數(shù),求dy.

解:原方程兩邊對x求導,得cosy-y'+e,v+xe>'?>'=()

解得y'=---------或,'=——--------

cosy+xesiny一cosy

,>

從而dy=------e--------dr

siny-cosy

三.解答題(每小題6分,共18分)

2

1.計算jxarctanxdr.解:原式=jarctanxdlgx?)=-^xarctanJ2dx

22

=—xarctanx--j(1-2)dx=—xarctanx-—[x-arctanx]+C

121

=—(x+l)arctanx--x+C

1.計算『匕皿dr.

JlX

2.解:原式=j(l+lnx)d(l+lnx)=1[(l+lnx)2],=ln2+1(ln2)2

2

3.計算[.Xdr.解:令x=2sinr,則dx=2cosfdf,

J74^7

原式=j;int?2cos疝=2j(l-cos2x)dr=2x-sin2x+C

,1,

四.證明:》>0時,ex>l+x+—x-.

2

證:方法1.f(x)-ex-l-x--^x2,求導得/'(x)=e*-1一x

又因為_T(x)="-l〉0

所以r(x)在[0,+oo)上單調遞增,則r(x)>/(0)=0,

這說明/(x)在[0,+oo)上單調遞增,故/(x)〉/(0)=0,即原不等式成立.

x.123112

方法2.e—1+xH—xH---x21+xH—x,(0<J<x)

2!3!2!

五.求曲線y-Inx(2<x<6)的一條切線,使得該切線與直線x-2,x-6及曲線y=Inx所

圍成的圖形面積A為最小.

解:設&Inf)為曲線y=Inx上任意一點,則此點處的切線方程為

y=-(x-/)+ln/,即y=2+lnf-l,于是所求面積為

tt

A=[[—FInf—1—Inxdx=——Fxlnf—xlnx=4(In/H—)+2In2—61n6.

令”=4p■—?1=0,得f=4,又當f<4時,—<0,當f〉4時,—>0,故f=4時,

dtVt)dtdt

A取得極小值,也是最小值.

從而得到所求的切線方程為><=-(x-4)+ln4

4

六.設不恒為常數(shù)的函數(shù)“X)在口,切上連續(xù),在(a,b)內可導,且/(a)=/(b),證明在

(?,b)內至少存在一點J,使得尸(4)>0.

證:因/(a)=/(b)且不恒為常數(shù),故至少存在一點ce(a,b)使得/(c)H/(a)=/(b),

于是/(c)>/(a)或/(c)<f(a).

不妨設/(c)>/(a),則在[a,c]上/(x)滿足Lagrange定理條件,故至少存在一點

Je(a,c)u(a,b),使

/?J?-/⑷>0.對于/(c)<f(a)情形,類似可證.

c-a

2007-2008學年第一學期

一、填空題(共50分每小題2分)

1.Jn6—2)的定義域是(2,3)U(3,+8).

2.limx-cos—=0.

x-3------x-)-----—-

4.設/(尤)=”■―十2),則丁=1是f(x)的可去間斷點.

x-1

5.函數(shù)y=—「有2.個間斷點.

1-M

6.xf0,sinl是。的等價(等價、高階)無窮小.

(e\x<0

7.設/0)=〈是連續(xù)函數(shù),則〃=」_.

[a+x,x>0

8.已知:(2)=3,則lim"2〃)/(2)=一1

53〃

9.曲線y=sinx在點(〃,0)處的切線方程為x+y-?=0.

10.設y=arctanx2,則dy=———dr.

1+x

11.設函數(shù)/(x)在點與處可微,則lim/(x)=/(x0).

XTX0_________

[x=at2dy3b

12.若〈,則工=——t.13.函數(shù)y="—x—1的單調增加區(qū)間是[0,+oo).

=#Jx2a---------

14.函數(shù)y=x+」(X>0)的圖形的凹區(qū)間是(0,+8).

X---------

15.設/(無)在X。處可導且X。是/(X)的極值點,則,(為)=0.

dsinr..x

16.x=0是函數(shù)y=x-ln(l+x)的極小值點?17.—----dt=sme.

dx

cosJdt

'0

18.sin(3x+1)cLx=—;cos(3x+1)+C.19.limI

x->0X

d

20.若/(x)dx=2A+x3+C,則/(=)=2Mn2+3x2.21.—/(x).

dx

廣義積分「:讓的斂散性是發(fā)散.

22.

Ji%

23.用定積分表示光滑曲線弧y=/(x)上相應于a<x<b的一段弧的弧長

24.拋物線y=/與>2=》在第一象限所圍的圖形的面積4=%.

25.由曲線y=",直線x=0,x=l及%軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的立體的體積

V=f(e2-1).

二、解答題(共15分每小題5分)

1.limx(Vl+x2-x)=lim/丁--

…,*,1+爐+工

2.lim±『=lim^—=lim—=-

xf。x~2x22

「sinx-tanx-sinx(cosx-l)「sinxcosx-1八

3.lim------------=hm---------------=lim--------------=0

10xioxcosxxcosx

三、解答題(共15分每小題5分)

1.設y=ln(x+Jl+L')+a+tan—+/,求y.

x

i。)iri1

------1-|——-|---------------

X+V1+X2IA/1+X2J1+(5)2\X2)1+x2

2.設函數(shù)y=%加入(1>o),求dy.

Iny=sinx-lnx

,ix[sinxs,nvSnX

y=xsn(zcosx-lnx+-----)xdy=x(cosx?Inx+^)dx

xx

3.已知y=y(x)是由方程"+孫=e所確定的隱函數(shù),求y'(0).

不力士i?一。dy_ydy_y_,

yy

dxdrdxe+xdrt=0e+xJ=o

四、解答題(共10分每小題5分)

1.jxe'dr=Je'd(x2)=;"+C

2.f^3lnxd.¥=flnxd(—x4)=—[x4InxJ--fx4-—dx=41n2--[x4]^=41n2--

JJi444Jx1616

五、(6分).設拋物線丁=。/+。%+。過原點,當OWxWl時y20,又已知該拋物線與x軸及直

線x=l所圍圖形的面積為,,試確定仇。,使此圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.

3

解:由拋物線y=。》2+Z?x+c過原點,得c=0,..............r

?.?面積S=1(+bx)dxb=—(1-a),...............1’

J3233

從而體積v=7+2(]_。)])2山,_££_+—+—.........r

J311352727

,,,/4a1、

V=7T(——+—)...r

13527

553

令V'=0,得唯一駐點a=—,從而當a=—,b=—,c=0時,旋轉體的體積最

442

小..........2'

六、(4分)"》)在[a,+8)上連續(xù),/(a)=0,/"(x)>0,下面有兩種證法證明

g(x)="幻在(a,+8)內單調增加:

(x-a)

法一???/(無)在[a,幻(x>a)上連續(xù),在(a,x)內可導,,由拉格朗日定理得

:G)(a<=<x),

x-a

將/(?)=0代入上式得g(x)=/工=-C),

(x-a)

?.?在(a,+8)內/"(X)>O,,/'(X)在(氏+8)內單調增加,:./0在(。,+00)內單調增加,

由此g(x)=.在(a,+8)內也單調增加.

(x-a)

法二,設F(x)=f'(x)(x-a)-f(x),

(x-a)-

則F'(x)=f\x)(x-a).

:在(a,+oo)內內"(x)>0,x-a>0,F'(x)>0,由題設知尸(x)在[a,+8)上連續(xù),

,在[a,+8)上單調增加,又f(a)=0,.,.在(a,+oo)內/(%)>0,從而在(a,+8)內

g'(x)>0,由此g(x)=jQ在(a,+8)內單調增加.

(x-a)

問題:哪一種證法是正確的?哪一種證法是錯誤的?為什么?

解:法二是正確的,法一是錯誤的,.........2'

因為隨著x的增大J并不?定增大..........2'

2008-2009試卷(A卷)答案

一、填空題(共50分每空2分)

1./.")=%1(x+i)的定義域是(TO)U(0,+8).2.lim^x-sin-^=£.

4.2.

“783n-3

In(l-x)

6.lim-----------=-1.

x-----------

a+x+x,x<0

7.當。=3時,函數(shù)〃%)=41.,c在x=0處連續(xù).

------I-sin3x,x>0

8.設函數(shù)/(x)在點與處可微,則lim/(x)=f(x0).

9.設/(X)=(X—2)(X+3),貝心=」_是/⑴的可去間斷點.

x-4

10.若y=xtan(l-x),則y'=tan(l-x)-xsec2(1-x)

11.若y=21n(/+l),則y=4%?+].

2

他若yx”=1+1,則,dv本二3dy_3_

dr24r

13.曲線y=,在(1,1)點處的切線方程為x+y-2=0.

X-----------

14.函數(shù)/(x)=/-/+i的單調減區(qū)間為血%]或(0,%),極大值為1

15.函數(shù)y=x—2(無>0)的圖形的凸區(qū)間是(0,+oo).

x------

17.cos(3x+l)d.x=|sin(3x+l)+C.

F&=ln2

19.cosx

1+sinx

20.設/(無)的一個原函數(shù)是e23則/(x)=2e

21.廣義積分「2'出=的斂散性是22.1國心=%

23.由曲線y=%2,直線x=0,x=1及x軸所圍成的平面圖形繞次軸旋轉一周而成的立體

的體積V=%.

二、計算題(共12分每小題6分)

xx

1111e-\-Xe-1

1.lim(--------).解:lim(--------)=lim-------=lim---------

2°xex-1xex-1z°x(e'-l)ex-1+xex

1

lim

A-?0e'+e'+xc2

sin-tanxsinx-tanx

2.lim解:lim

x->0x3x->0x3

sinx(cosx-l)smxCOSR-11

=limlim

A->0x3cosxxfOxX2cosx2

三、解答題(共12分每小題6分)

y=(cosx)sm',求dy.

ysin2x

解:Iny=sinxUncosx-=(cosA:-Incosx-

ycosx

qin之Y

dy=(cosx)s'n”(cosx-Incosx------)dr

cosx

2.已知y=y(x)是由方程e'+6孫+/—1=0所確定的隱函數(shù),求了(0).

角軋+6y+6x?-4-2x=0

dx'dx

dj_2x+6ydy2x+6y

=0

yy

dxe+6xdxx=0e+6xx=0

四、解答題(共12分每小題6分)

=|『<1(34)

解:疝=-e^+C

y[x3

*2卜]nxdr-\x2Inx],--fx2-dr

2.x\nxdx.解:

2Lj2Jx

=21n2一步];3

=21n2--

4

五、(6分)證明:當x>l時,(/—l)lnx>(x—1>.

證明:只需證明(x+l)lnx>(x-l).

令〃x)=(x+l)lnx—(x—1).......2'

/V)=ln%+->0,在工+8)單調遞增..........2'

/(1)=0,當x>l時,/(x)>0,

即(x2-l)lnx>(x-l)2.2'

六、(8分)設有曲線y=4/(04%(1)和直線丫=。(0<。<4).記它們與y軸所圍圖形

的面積為吊,它們與直線x=l所圍圖形的面積為A2-問。為何值時,可使A=4+4最

小?并求出A的最小值.

解:A=4+A,=4'

A,(c)=Vc-1

令A(c)=-1=0,得c=l.2,

2'

另解:

214

-c2-c+-4'

33

A(c)=c7-1

令A'(c)=c2-1=0,得c=1.2'

A"(l)=2>0,c=l為最小值點.

2-4

minA==r2-c+y]=1.2'

C=1

2008-2009試卷(B卷)答案

一、填空題(共50分每小題2分)

1.〃幻=』-7^’的定義域是[-1,0)11(0,1]

x-----------

(n(i\

2.limx-sin—=0,limx-sin—=1.

AJ——sixJ~

lim[1+—(2n-l)(n+l)2

3.4.lim

Xn—>x3n23

i.x2+x—23In(l-x)

5.lim——;----6.lim-----------—1

fx-125x

2+x,x<0

7.設/(x)=-是連續(xù)函數(shù),則a=2.

acosx,x>0-

8.設函數(shù)/(x)在點x0處可微,則lim/(x)=/(/).

Af0____________

x3-l

9.若要使〃x)=在x=l處連續(xù),則必須補充定義/(1)=3.

x—\

10.若y=4+lnx+eT,則(擊+《一e-*)dx

x+1sinx-(x+l)cosx

?2

sinxsm~x

x=1+廣dy3d2y3

12.若?9貝II二———t

y=t3dx2dx24f

13.曲線y=cosx在點f1,0)處的切線方程為x+y-£=0.

14.函數(shù)/(幻=爐-V+l的單調減區(qū)間為[0,%]或(0,%),極大值為」

15.函數(shù)y=的圖形的凸區(qū)間是(—8,—2).

16.設/(%)的一個原函數(shù)為Inx,則/(x)=」.

X

17.cos(3x+l)dr=jsin(3x+l)+C.

7cosx

----

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論