初中九年級數(shù)學(xué)課件-27.3 垂徑定理

27.3垂徑定理

問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶，它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？O觀察現(xiàn)象：想一想：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側(cè)半圓會有什么關(guān)系？O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：O觀察現(xiàn)象：你能得到什么結(jié)論？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。它有無數(shù)條對稱軸●O垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？ABDCOE垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？ABDCOE垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？ABDCOE垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑

1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？ABDCOE垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）此圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？（A）BDCOEA垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。（A）BDCOEA2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.●OABCDM└CD⊥弦AB,如圖∵CD是⊙O的直徑（⊙O中，CD經(jīng)過點O）,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.AM=BM⊙O

中CD為直徑CD⊥AB于M⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符號語言：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？【解析】定理中兩個條件（直徑、垂直于弦）缺一不可，故前三個圖均不能，僅第四個圖可以！【定理辨析】CCOABDOEABCODABODABC應(yīng)用垂徑定理的幾個基本圖形請結(jié)合圖形說出符合垂徑定理的條件和結(jié)論。O探究：ABDCE如圖，若直徑CD平分弦AB交AB于E時，你認為都有哪些結(jié)論成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直徑時，才有垂直AB，平分AB所對的兩條弧。·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。普摚海?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧垂徑定理及其的推論：直線CD（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的劣?。?）平分弦所對的優(yōu)弧以上五個中只要符合兩個條件，就能得到其它三個結(jié)論。APDCBO┓定理辨析1、填空：如圖，在⊙O中

（1）若MN⊥AB，MN為直徑；則（ ），（ ），（ ）；（2）若AC＝BC，MN為直徑；AB不是直徑，則（ ），（ ），（ ）；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則（ ），（ ），（ ）；（4）若AM＝BM，MN為直徑，則（ ），（ ），（ ）。練習(xí)COBAMN2、判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧…………..()（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧………()（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√例1：如圖，已知在圓O中，弦AB的長為8㎝，圓心O到AB的距離為3㎝，求圓O的半徑.EOAB【解析】根據(jù)題意得，AE=4cmOE⊥ABOE=3cm在Rt△OEA中，根據(jù)勾股定理得：AO2=OE2+AE2=32+42=25，AO=5cm.【例題】問題：你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？

趙州橋主橋拱的半徑是多少？

ABODC解：用AB表示主拱橋，設(shè)AB所在圓的圓心為O，過點O作AB的垂線交AB于C。由垂徑定理可知，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高。AB=37.4，CD=7.2，∴AD=18.7，設(shè)OA=OC=ROD=OC-CD=R-7.2.在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9因此，趙州橋的主橋拱的半徑約為27.9米。例3

已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，AC與BD相等嗎？為什么？P.ACDBO注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法．1.（湖州·中考）如圖，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，下列結(jié)論中一定正確的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B【解析】連接OB，則OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因為OC⊥AB于點D，所以AD=BD=3,所以AB=6.答案：62.（畢節(jié)·中考）如圖，AB為⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，且CD＝l，則弦AB的長是

．3.（安徽·中考）如圖，⊙O過點B，C.圓心O在等腰直角△ABC的內(nèi)部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，則⊙O的半徑為（）A.B.C.D.【解析】選D.延長AO交BC于點D，連接OB，根據(jù)對稱性知AO⊥BC，則BD=DC=3.又△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，則AD==3,∴OD=3-1=2,∴OB=通過本課時的學(xué)習(xí)，需要我們：1．理解